ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Vinus** » 28 mar 2022, 16:30

Salve a tutti, sto ripassando alcuni concetti agli albori di Controlli Automatici e mi sono imbattuto in questa banalissima espressione, che tento di ricondurre in fratti semplici:

$\frac{2s^{2}-3}{(s+1)(s-2)(s+3)}$

Visto che:

1. i poli sono semplici
2. il denominatore è espresso nella forma $\prod(s-\alpha_{i})$

ho deciso di utilizzare il metodo di Heaviside, senza però fare la derivata del denominatore, bensì andando a valutare il fratto relativo al generico polo $\alpha_{i}$ nell'espressione razionale, al cui denominatore viene di volta in volta eliminato il fattore $(s-\alpha_{i})$ .
Procedendo:

$\displaystyle \lim_{ s\to -1}\frac{2s^{2}-3}{(s-2)(s+3)}=\mathbf{\frac{1}{6}}$
$\displaystyle \lim_{ s\to -2}\frac{2s^{2}-3}{(s+1)(s+3)}=\mathbf{\frac{1}{3}}$
$\displaystyle \lim_{ s\to -2}\frac{2s^{2}-3}{(s+1)(s+3)}=\mathbf{\frac{3}{2}}$

A questo punto, il mio dubbio è che il teorema dei residui afferma che la somma degli stessi dev'essere pari a $\frac{b_{m}}{a_{n}}$ (rapporto tra i coefficienti dei termini s di grado massimo di numeratore e denominatore: e quindi in questo caso dovrebbe essere uguale a due)

In questo caso però così non è... #-o

Secondo voi ho sbagliato ad applicare il metodo?

Grazie mille a tutti O_/

da **RenzoDF** » 31 mar 2022, 16:31

Vinus ha scritto:... il teorema dei residui afferma che la somma degli stessi dev'essere pari a $\frac{b_{m}}{a_{n}}$ (rapporto tra i coefficienti dei termini s di grado massimo di numeratore e denominatore...

Sempre nel caso che il grado del denominatore superi solo di uno quello del numeratore.

Vinus ha scritto:... e quindi in questo caso dovrebbe essere uguale a due)

In questo caso però così non è...
...

Sei sicuro?

da **Vinus** » 1 apr 2022, 14:56

Ciao RenzoDF e intanto ti ringrazio per la risposta O_/

Nella fattispecie ho un polinomio a numeratore di grado 2 e a numeratore di grado 3: non rientro quindi nel caso del teorema dei residui? :-k

da **RenzoDF** » 1 apr 2022, 15:22

Mi ringrazi, ma l'hai letta la risposta? :mrgreen:

da **Vinus** » 1 apr 2022, 15:37

RenzoDF ha scritto:Mi ringrazi, ma l'hai letta la risposta?

... e io continuo a ringraziarti! :mrgreen:

Nel mio caso

$\frac{2s^{2}-3}{(s+1)(s-2)(s+3)}$

mi pare che il grado del numeratore sia 2 mentre quello del denominatore sia 3. Quindi (sempre che non mi siano andati in corto anche i neuroni di riserva... :lol: