Teoria dei sistemi - evoluzione e risposta a regime

[dimaios]

Ora una domanda per dimaios:
Ma quella trovata non è (quasi) la risposta totale del sistema a quel determinato ingresso? non mi sembra la risposta a regime permanente, sbaglio?

Siccome il problema più arduo era quello di calcolare la risposta forzata rispetto al segnale d'ingresso ho omesso il calcolo della matrice di transizione che porta alla definizione della risposta complessiva.
Il sistema in questo caso non è controllabile per cui è indispensabile verificare che gli autovalori della parte non raggiungibile siano stabili. Siccome lo sono si può dedurre, senza applicare la scomposizione di Kalman, che il sistema è asintoticamente stabile e la risposta libera non "sfugge" ( tantomeno serve un ingresso opportuno per non farla divergere ).
Magari più tardi pubblico un'idea diversa e probabilmente computazionalmente più interessante per il calcolo della risposta forzata.

[GioArca67]

Certo, ma a prescindere dall'evoluzione libera dello stato iniziale, il testo richiede la risposta a regime permanente, ma abbiamo dato tutta la risposta forzata, sia la parte transitoria sia la parte a regime.
Le prime oscillazioni sono affette da un transitorio: il valor medio scende a zero da un valore localmente non nullo. Si vede anche nelle simulazioni.
Del resto si può calcolare anche come semplice carica di un condensatore verso 1V e verso -1V che non raggiunge mai, ed essendo tau proprio pari al momento in cui cambia l'ingresso arriva al 63% della escursione richiesta.
Quindi la prima volta a 0,63V poi scende del 63% di 1,63V ( |-1 - (0,63)| ) e così via fino a stabilizzarsi fra -0,462 e 0,462.

[dimaios]

In realtà chiede "l'evoluzione in uscita e, se esiste la risposta a regime permanente". Sono due cose diverse (la domanda è scritta molto male ma il senso è deducibile dal contesto ).

[GioArca67]

Sì certo, era chiaro.
Ma la risposta a regime mi sembra che esista.
Inoltre proprio l'OP:

Ora non so come agire per la risposta a regime permanente, potrei usare lo sviluppo in serie di Fourier e usare la formula per l'ingresso sinusoidale ma in teoria nel corso non sarebbe necessario utilizzare Fourier.

La mia osservazione non vuole togliere nulla alla risposta molto chiara e semplice che hai dato.

[dimaios]

Per completezza del thread imposto una soluzione alternativa solo per la parte relativa alla risposta forzata.

Se definiamo la funzione come:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Abbiamo che:



Il vantaggio di questa rappresentazione è che abbiamo due termini all'interno della sommatoria anzichè 3 ed una costante al di fuori.

Si trasforma secondo Laplace e si moltiplica come prima per , e analogamente si scompone con le frazioni parziali ecc, ecc.....

Il calcolo complessivo dovrebbe essere più agevole.

In realtà ho fatto anche un tentativo avendo calcolato:




Da un punto di vista formale è più elegante ma quando si moltiplica per il filtro passa basso e si tenta l'antitrasformazione di Laplace bisogna consultare i "libri sacri" per vedere cosa viene fuori.
Durante un esame certe antitrasformate di "nicchia" non sono disponibili per cui consiglio l'impiego delle prime due tecniche.