Esponenti frazionari e radici: una domanda

[jaelec]

...

Ma alla fine, quindi, per te, esplicitamente, quanto vale ?
Lo chiedo, sempre gentilmente, anche agli altri che non hanno già esplicitamente risposto, anche per cercare di capire meglio le posizioni in campo, perché ho letto ma non ho avuto ancora l'opportunità di ponderare meglio le cose, fin dove mi è possibile.

Poi, e lo riporto solo per curiosità, non perché fa testo, nei giorni scorsi ho finalmente usato per la prima volta geogebra per chiedere proprio questo fatto...Ecco la risposta:

Geogebra.png (9.23 KiB) Osservato 10314 volte

[PietroBaima]

Ma alla fine, quindi, per te, esplicitamente, quanto vale ?
Lo chiedo, sempre gentilmente, anche agli altri che non hanno già esplicitamente risposto, anche per cercare di capire meglio le posizioni in campo

Non è uno scambio di opinioni.
Ti è già stato risposto che se non restringi il dominio quella formula non ha senso.
Se lo avesse potresti scrivere:



ma anche



facendo un paio di errori in ogni passaggio.

Se invece dici: restringo il dominio agli interi negativi, allora (-1)^(2/2) =-1
Se restringi a quello dei positivi non ha senso.

Tutto qui.

[GioArca67]

La risposta in [18] mi trova d'accordo.
Ma spesso è possibile dare definizioni differenti che hanno un loro perché.

-1, perché numeratore e denominatore dell'esponente non devono avere fattori comuni.

Questa è la solita americanata matematica per semplificare le cose in modo che uno si affidi a regole empiriche senza capire come stanno davvero le cose.

Il fatto di non avere fattori comuni implica che abbiamo esteso la funzione.
Ogni tanto mi chiedo perché gli americani debbano per forza parlare di matematica...

Tipo questa americanata...

E' una semplificazione estrema? Diciamo di sì.
Ha dei problemi? In alcuni campi. In altri funziona tranquillamente.
Quindi dobbiamo vedere dove occorre applicarla: Possiamo dire che x ²+1 non ha intersezioni con l'asse x, oppure possiamo dire che ha soluzioni nel campo complesso. Perché complicare le cose quando non serve?

[GioArca67]

Poi, e lo riporto solo per curiosità, non perché fa testo, nei giorni scorsi ho finalmente usato per la prima volta geogebra per chiedere proprio questo fatto...Ecco la risposta:

Geogebra.png

Geogebra, come Wolfram Alpha ed altri sono basati su definizioni comuni nel loro mondo di origine... americanate direbbe qualcuno....

Loro prima riducono ai minimi termini, poi trovano x^1... che ovviamente fa x

[PietroBaima]

E' una semplificazione estrema? Diciamo di sì.
Ha dei problemi? In alcuni campi. In altri funziona tranquillamente.
Quindi dobbiamo vedere dove occorre applicarla: Possiamo dire che x ²+1 non ha intersezioni con l'asse x, oppure possiamo dire che ha soluzioni nel campo complesso. Perché complicare le cose quando non serve?

Alla fine della fiera questa è un mio herpes che salta fuori quando si propongono semplificazioni estreme senza capire cosa c'è dietro. Ho esperienza con alcuni americani che dicono: "tu fai così e vedrai che funziona".
Come se il chiedersi il perché delle cose fosse un male.

Hai ragione quando dici che dobbiamo vedere dove occorre applicarla, ma secondo me l'essere critici nell'applicazione corretta del dominio di validità delle funzioni composte non è essere complicati quando non serve.
Se, come ha fatto l'OP, ci chiediamo come mai (-1)^(2/2) può non essere uguale a -1 allora significa che ci stiamo interrogando su qualcosa di fine, che merita una risposta adeguata.

[PietroBaima]

americanate direbbe qualcuno....

[dimaios]

...

Ma alla fine, quindi, per te, esplicitamente, quanto vale ?

Per quanto ho spiegato nel post precedente questa scrittura non ha senso in campo reale per come è definita la potenza frazionaria che richiede base maggiore di zero come presupposto.

P.S. Pietro aveva detto la stessa cosa qualche post prima di questo.

[GioArca67]

...

Ma alla fine, quindi, per te, esplicitamente, quanto vale ?

Per quanto ho spiegato nel post precedente questa scrittura non ha senso in campo reale per come è definita la potenza frazionaria che richiede base maggiore di zero come presupposto.

Perché non avrebbe senso? Ci sono varie definizioni per la potenza con esponente frazionario. Se si decide di seguirle ha senso e per l'orientamento prevalente negli States vale -1 in quanto occorre prima semplificare ai minimi termini l'esponente.
Basta chiarire l'ambito. Man mano che sali di complessità nel contesto applicativo quelle definizioni mostrano i loro limiti. Ma ad un certo livello sono sensate, anche se non sono sicuro che abbiano una così grande utilità.
Se occorre fare sul serio mi pare che PietroBaima abbia ben illustrato la via.
Se sono una palestra di allenamento, male più di tanto non fanno...

[PietroBaima]

Scusate ma io non ho ancora capito se l'OP si ritiene soddisfatto delle risposte o no.

[dimaios]

GioArca67, non ho detto mai che non si può scegliere un altro dominio, mi attengo a quanto mi è stato spiegato ed ho letto sulla maggior parte dei libri che ho studiato. La stragrande maggioranza dei testi propende per la base strettamente positiva e questo comporta grandi vantaggi per cui non vedo perché si debba specificare un dominio diverso. Se non diversamente dichiarato confermo la risposta data che è conseguente ad un vincolo specifico sull'esistenza di quella funzione. In analisi matematica spesso si incontrano definizioni subordinate a specifici vincoli, non ci trovo nulla di strano. Chi ha individuato un vincolo "standard" universalmente riconosciuto per la bontà della posizione, determina il default; se si esce da questo contesto bisogna specificare tutto da capo. Personalmente non mi sono mai trovato nella condizione di ridefinire il dominio della funzione in oggetto per cui mi attengo alla formulazione più classica e consistente. Da un punto di vista teorico è già stato detto più volte che si possono definire altre "regole di ingaggio".