Domanda da praticone su filtri passa basso FIR a MM.

[TardoFreak]

Un saluto a tutti i forumisti.
Ieri sera un guru del forum mi ha indicato un bellissimo libro sull' elaborazione digitale dei segnali. Libro interessantissimo che ho iniziato a leggere.
Purtroppo una parte del mio cervello rimane "inloopata" in una domanda.
Molto tempo da, grazie all' aiuto di c1b8 ho avuto modo di sperimentare qualche esempio di filtri passa basso digitali.Ricordo di aver implementato una funzione che mi dava come risultato la media di n campioni. E' evidente che questo implementa un filtro passa basso ed è anche ovvio che la frequenza di taglio di tale filtro è inversamente proporzionale al numero di campioni coinvolti nel calcolo del valore medio. Ho provato la cosa e in effetti il suono ottenuto era anche bello.
Esiste quindi una relazione fra il rapporto fra la frequenza di taglio e la frequenza di campionamento ed il numero di campioni. Dovrebbe esserci una formula, una funzione.
Così... mi viene in mente un qualcosa del genere

Questo per poter calcolare il numero di campioni necessari per scrivere il firmware per un filtro con una , sapendo che la frequenza di campionamento è .

Sono fuori strada?

[g.schgor]

La domanda è di quelle a cui non si può rispondere in poche righe.
I limiti del compionamento sono descritti in questo articolo.
Poi ne riparliamo.

[IsidoroKZ]

Ha ragione g.schgor! Visto che avevo gia` scritto qualcosa poi l'ho perso e riscritto, lo posto comunque, ma e` una risposta molto brutta.

La funzione di trasferimento che ottieni da un FIR e` la trasformata di Fourier (discreta) della funzione descritta dai campioni del filtro FIR. Se tutti i campioni sono uguali per fare una media mobile, la funzione descritta e` una funzione chiamata porta oppure indicata in vari modi, tipicamente una pi greca maiuscola o minuscola.

La trasformata di una porta e` una funzione la cui figura trovi qui e qui figura 12.1 parti i e j.

La funzione sinc ha degli zeri di trasmissione, cioe` delle frequenze a cui non esce niente, e cio` accade quando un periodo di sinusoide e` campionato esattamente da un numero intero di campioni: se hai N coefficienti uguali nel filtro FIR, una sinusoide il cui periodo e` di N campioni non passa attraverso il filtro. E neanche le sinusoidi di frequenza doppia, tripla... fino alla sinusoide di frequenza N che invece passa ma esce come un segnale costante (fenomeno di aliasing che nel resto del messaggio trascuro).

Questa proprieta` l'ho usata parecchie volte per fare filtri che eliminassero i disturbi di rete: prendevo 8 oppure 16 campioni in 20ms, cosi` i 50Hz non passavano e neanche le prime armoniche.

Invece se vuoi la frequenza a cui la funzione di trasferimento e` scesa di 3dB, vuol dire trovare la x tale che sinc(x)=0.707 e questa equazione da` x=1.4 circa. La x e` misurata in frequenza normalizzata.

Per tornare dalle x al mondo delle frequenze e del numero di campioni io faccio cosi`: x=pi greca e` il primo zero del filtro che so essere alla frequenza fc/N dove fc e` la frequenza di campionamento. E quindi pi=(f/fc) N e il fattore di conversione fra x e f e` fc/N.

In pratica la frequenza di taglio a -3dB diventa ft=1.4/3.14 fc/N=0.44*fc/N. Un filtro che campiona a 1kHz con lunghezza di 10 campioni ha una frequenza a -3dB di 44Hz circa.

E` pero` un filtro MOLTO scarso: a meno che non si vogliano sfruttare gli zeri di trasmissione, fa orrore. Qui trovi la funzione di trasferimento del filtro: sull'asse la frequenza 1 indica fc/N perche' hanno usato un'altra espressio e per la sinc.

Vedi che con i numeri di prima (fc=1kHz, N=10) a frequenza di circa 150Hz il segnale e` solo attenuato di 13dB: in pratica attenua come un filtro RC a una cella.

[TardoFreak]

Grazie ad entrambi per le risposte.
Ho letto e ci ho ragionato sopra. In effetti è logico che, con coefficienti identici per ogni cella si ottenga quella orribile risposta (utile però per eliminare una precisa frequenza e le sue armoniche).
Si tratta quindi di utilizzare coefficienti diversi per ogni cella.
Ok, continuo con lo studio per capire il modo per calcolare i coefficienti.
Il primo passo sarà capire come ottenere un filtro passa basso che abbia una risposta come una semplice cella RC.

[dimaios]

Il primo passo sarà capire come ottenere un filtro passa basso che abbia una risposta come una semplice cella RC.

Puoi farlo in diversi modi.
Uno piuttosto semplice è quello di scrivere l'equazione differenziale nel tempo e poi fare la "derivata dei poveri" per discretizzare il sistema.



è il periodo di campionamento.

Con questa trasfomazione passerai da un'equazione differenziale nel continuo ad una equazione alle differenze nel discreto dove il valore futuro della y(t) dipende da quello precedente e dall'ingresso corrente.
In questo modo hai ottenuto un filtro digitale.
Se hai bisogno di una mano siamo qui.

[TardoFreak]

Uhm ... ho trovato in rete siti che calcolano i fattori per i filtri IIR e FIR ma non mi basta. Devo riuscire a calcolarli io sapendo esattamente quello che sto facendo.
E' meglio prendere la cosa con calma e studiare con attenzione. L' argomento è affascinante e, tolto il dubbio che ho esposto, penso di fare cosa buona e giusta evitando di bruciare le tappe.
Grazie mille per la disponibilità.

[g.schgor]

Sull'argomento segnalo anche questo articolo, che può essere utile per chiarire
alcuni aspetti dei filtri digitali.

[TardoFreak]

Articolo illuminante!
In buona sostanza con i filtri FIR si potrebbe ottenere il filtro ideale ma sarebbero necessari molti coefficienti quindi lo si semplifica e lo si aggiusta con l' algoritmo di Hamming.
E' quindi bene utilizzare un filtro FIR quando non vogliamo avere distorsione di fase, accettiamo un ritardo dovuto al numero di campioni (e di fattori) e la risposta in frequenza va bene, anche se non è perfetta.
Useremo un filtro IIR se accettiamo una distorsione di fase. Avremo un ritardo molto più piccolo e più facilità di implementazione.
Uhm... mi pare di capire quindi che i filtri IIR sono quello che più si avvicina ad un filtro analogico, realizzato con componenti elettronici reali.

[dimaios]

TardoFreak, il discorso in realtà è molto più complesso anche se il tuo ragionamento contiene alcune osservazioni importanti.

La prima cosa da chiedersi è cosa si vuole realizzare in digitale.
Ambedue le tipologie hanno pro e contro.

Il punto critico degli IIR è la stabilità. Infatti quando li progetti devi stare molto attento a dove finiscono i poli del filtro altrimenti rischi l'instabilità.
Del resto però se vuoi approssimare una funzione di trasferimento complessa, il filtro IIR in media permette di ottenere il risultato utilizzando meno passi.

Nella tabella di pagina 2 di questo documento trovi un interessante confronto.

Per le caratteristiche dei FIR leggi pure questo.
Per le caratteristiche degli IIR invece c'è questo.

Il miglior trattato sui filtri digitali che abbia trovato sul web è questo.

La prima volta che l'ho letto sono rimasto veramente colpito dalle competenze del Prof. Julius O. Smith III.
e anche dalla sua estrema generosità nel pubblicare gratuitamente il testo.

[TardoFreak]

Diciamo che il mio interesse per l' elaborazione digitale dei segnali viene proprio da un' esigenza di conoscenza legata al mio lavoro.
Mi spiego meglio. Mi è capitato e mi capita di fare dei programmi sui micro che implementano dei controlli. Ora, a scuola mi hanno fatto una capa tanta con teoria sui servomeccanismi, funzioni di trasferimento, regolazioni P, I e D e compagnia cantante.
Poi, passato nel mondo reale quelle nozioni non le ho praticamente mai applicate perché i controlli digitali permettono di fare cose che i controlli analogici non fanno o fanno in modo diverso. Quello che sto cercando di capire è come trasportare la teoria dei servomeccanismi sui micro, per capire se in alcuni casi potrebbe essermi utile o no.
Nel contempo imparo qualcosa di nuovo che mi sarà comunque utile.
Questo è il motivo per cui, in questo preciso momento, mi sto leggendo The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, libro bellissimo che vorrei avere in forma cartacea (ma che mi sto stampando perché amazon non mi ha riconosciuto la carta di credito ).