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Alimentatori senza trasformatore 2: La vendetta!

Indice

Introduzione

Gli alimentatori transformerless sono stati magistralmente descritti da Powermos in [1] . L'analisi colà sviluppata si basa sull'assunzione di segnali sinusoidali per i quali è possibile utilizzare il concetto di reattanza del condensatore, facendo uso di queste approssimazioni:

  • Tensione di uscita piccola rispetto alla tensione di picco della rete
  • Situazione ciclostazionaria
  • Diodi ideali
  • Piccolo ripple di uscita


In questo articolo sarà presentato un differente metodo di calcolo della capacità di caduta, mantenendo solo l'assunzione di piccolo ripple di uscita, e non sarà neppure richiesto che la forma d'onda della rete sia sinusoidale.

Simboli utilizzati


\begin{align}
C_1 \qquad & \text{Condensatore di ingresso}\\ 
C_F \qquad & \text{Condensatore di filtro}\\
f \qquad & \text{Frequenza di rete} \\
I_{DC}\qquad & \text{Corrente di uscita} \\ 
\Delta Q \qquad & \text{Variazione di carica nel condensatore}\\
R_L \qquad & \text{Resistenza di carico} \\
\Delta V_c \qquad & \text{Variazione di tensione su }C_1 \\ 
V_d \qquad & \text{Caduta di tensione sui diodi} \\ 
V_o \qquad & \text{Tensione di uscita} \\
V_{pk} \qquad & \text{Tensione di picco della rete} \\ 
\end{align}

Calcolo della tensione di uscita

Il circuito di riferimento è ripreso (con il permesso dell'autore) dal precedente articolo. Il carico è resistivo, e la tensione di uscita è mantenuta livellata dalla capacità di filtro CF.

Figura 1 - Circuito di riferimento (da [1])

Figura 1 - Circuito di riferimento (da [1])

L'analisi qui presentata non fa uso della reattanza del condensatore, che è definita solo per segnali sinusoidali, ma si svolge nel dominio del tempo, dove si possono trattare un po' più facilmente le non linearità.

La sola assunzione fatta in questa analisi è che la tensione di uscita V_o\, abbia un piccolo ripple e possa essere considerata costante durante un ciclo della tensione di rete.


L'idea base è quella di valutare la variazione di carica attraverso il condensatore C_1\, durante mezzo ciclo della tensione di rete. La carica che transita moltiplicata per il numero di volte in cui avviene in una unità di tempo fornisce la corrente media.

Quando la tensione di linea sale, la corrente scorre nel condensatore verso destra, e vengono accesi i diodi D1 e D4. Durante questo periodo la tensione VAB è quindi uguale alla tensione di uscita (supposta costante) più la caduta sui diodi. Nel semiperiodo successivo, quando la tensione di linea scende, la corrente inverte il senso di percorrenza e si accendono i diodi D2 e D3 e la tensione all'ingresso del ponte vale -V_o-V_d \,. Questo punto dovrebbe essere chiaro se si ricorda che la corrente in un condensatore dipende dalla variazione della tensione sul condensatore. La variazione di tensione sul condensatore determina la corrente che lo attraversa, e questa corrente decide quale coppia di diodi conduce.


Consideriamo adesso cosa capita quando la tensione di rete raggiunge il picco positivo della tensione (fine della salita), e dopo mezzo ciclo quando raggiunge il picco negativo (fine della discesa). La situazione delle tensioni è rappresentata nella figura 2. Le tensioni importanti sono quelle del nodo A e del nodo B. La tensione di rete è rappresentata da un generatore alternato, mentre quella all'ingresso del ponte di Graetz da una batteria.

Figura 2 - Tensioni al picco positivo e negativo della rete

Figura 2 - Tensioni al picco positivo e negativo della rete

Quando la tensione di rete, salendo, raggiunge il suo picco positivo, la tensione del nodo A vale +V_{pk}\,, mentre quella del nodo B vale +V_o+V_d\,. La tensione V_c\, sul condensatore, misurata con il positivo a sinistra, raggiunge il suo valore massimo V_c=V_{pk}-V_o-V_d\,


Mezzo periodo dopo, quando la tensione di rete raggiunge il picco negativo, la tensione del nodo A vale -Vpk\,, la tesione all'ingresso del ponte, nodo B, vale -V_o-V_d\, e quindi la tensione sul condensatore, sempre misurata con il positivo a sinistra, raggiunge il suo valore minimo V_c=-(V_{pk}-V_o-V_d)\,.

Durante un semiperiodo, dal picco positivo al picco negativo della rete, la variazione di tensione sul condensatore \Delta V_c\, è quindi

(1)\qquad \qquad \qquad \Delta V_c=2(V_{pk}-V_o-V_d)

Questa variazione di tensione ai capi del condensatore sposta una carica attraverso il condensatore data da \Delta Q=C \cdot \Delta V\,, cioè

(2) \qquad \qquad \qquad \Delta Q=2(V_{pk}-V_o-V_d)\cdot C_1

Questo passaggio di carica avviene per ogni transizione da picco positivo a negativo e viceversa. La carica nel condensatore circola in un verso durante un semiperiodo e in verso opposto nel successivo semiperiodo. Il ponte raddrizzatore rende unidirezionale questo spostamento di carica che circola nella maglia di uscita CF e RL.

La carica spostata in un secondo è data da dalla carica spostata ad ogni semiperiodo moltiplicata per due volte la frequenza di rete. La carica spostata in un secondo è, per definizione, pari alla corrente media I_{DC}\, che esce dal ponte.

(3)\qquad \qquad \qquad \Delta Q \,2f=4(V_{pk}-V_o-V_d)\cdot f \cdot C_1=I_{DC}=\frac{V_o}{R_L}

La corrente media I_{DC}\, che esce dal ponte e passa nel carico può anche essere scritta, usando la legge di Ohm come Vo/RL. La relazione si basa sul fatto che la corrente media che passa nel condensatore è nulla, e quindi la corrente media che esce dal ponte passa tutta nella resistenza di carico.

Risolvendo questa equazione si può trovare la tensione di uscita, conoscendo C1 e il carico rappresentato da RL oppure dalla corrente I_{DC}\, assorbita dal carico.

\begin{align}(4a) \qquad \qquad \qquad & V_o=\frac{4C_1R_Lf}{4C_1R_Lf+1}(V_{pk}-V_d)\\
(4b) \qquad \qquad \qquad & V_o=V_{pk}-V_d-\frac{I_{DC}}{4fC_1}= V_{pk}-V_d-I_{DC}\,R_{eq}\end{align}

Le formule (4) sono normalmente usate per analizzare un circuito esistente.

Notare il significato di (4b): l'alimentatore è modellabile in uscita come un equivalente Thevenin con una tensione a vuoto molto elevata, praticamente la tensione di picco della rete, e una resistenza in serie R_{eq}\, di valore

(5) \qquad \qquad \qquad R_{eq}=\frac{1}{4fC_1}.

Questa resistenza non dissipa potenza, ed essendo di valore molto elevato fa sì che la corrente di cortocircuito sia limitata.

Da notare che R_{eq}\, non è la reattanza del condensatore. Un indizio di questo fatto è l'assenza del fattore \pi\, che sbuca sempre fuori quando si tratta di sinusoidi e reattanze. L'equazione (4) è stata ricavata senza nessuna ipotesi sulla forma d'onda dell'ingresso, basta solo conoscere la metà del suo valore di picco-picco.

L'equazione (4) dice anche che se il carico viene rimosso, la tensione di uscita tende al valore picco picco della tensione di ingresso, con costante di tempo pari a

(6) \qquad \qquad \qquad \tau=R_{eq}\,C_F=\frac{C_F}{4 f C_1}

Un comportamento del genere è quasi sempre da evitare, poiché potrebbe ad esempio danneggiare il condensatore CF o eventuale elettronica in stand by collegata all'uscita.

Questi alimentatori devono avere una limitazione della tensione di uscita. Se la tensione è regolata da un integrato ad esempio della famiglia 78XX, la limitazione può essere costituita da uno zener prima del regolatore. In alcuni altri casi è possibile usare un regolatore di tensione a zener, che limita automaticamente la tensione di uscita. Altre soluzioni basate su partitori capacitivi sull'ingresso sono presentate in [2].

Consideriamo ora l'equazione (4a), in cui si può sostituire 4 f C=\frac{1}{R_{eq}}. Si ottiene: \begin{align}({4a}') \quad V_o & =\frac{4C_1R_Lf}{4C_1R_Lf+1}(V_{pk}-V_d)=
\frac{\frac{R_L}{R_{eq}}}{\frac{R_L}{R_{eq}}+1}(V_{pk}-V_d)=\\
& =\frac{R_L}{R_{L}+R_{eq}}(V_{pk}-V_d)\end{align}

L'ultima equazione rappresenta un partitore fra la resistenza interna della sorgente R_{eq}\, e la resistenza di carico R_{L}\,.

Il circuito, sempre nell'ipotesi di basso ripple, ha quindi un circuito equivalente di Thevenin di questo tipo:

Figura 3 - Circuito equivalente dell

Figura 3 - Circuito equivalente dell'alimentatore

è da ricordare che la resistenza R_{eq}\, non dissipa potenza, è solo un modello del comportamento del circuito. Anche se vi sono condensatori e interruttori, non si ha dissipazione di potenza perché le commutazioni sono naturali, non forzate.

Calcolo della capacità C1

Per il progetto del circuito è necessario calcolare il valore della capacità di C1 conoscendo la corrente voluta e la tensione di uscita oppure tensione di uscita e il valore della resistenza di carico. La relazione da usare per il progetto è una delle (7), ricavate invertendo le (4). (7a) è usata nel caso si conosca resistenza di carico e tensione di uscita, mentre (7b) serve quando si conosce la corrente di uscita e la tensione voluta.

\begin{align}(7a) \qquad \qquad & C_1=\frac{V_o}{4R_Lf(V_{pk}-V_o-V_d)}\\
(7b) \qquad \qquad  & C_1=\frac{I_{DC}}{4f(V_{pk}-V_o-V_d)} \end{align}

Per la rete europea, con tensione efficace di 230V (tensione di picco di 325V) e frequenza 50Hz queste relazioni diventano:

\begin{align}(8a) \quad \qquad & C_1=\frac{I_{DC}}{4\cdot 50\,\text{Hz}\,(325\text{V}-2\text{V}-V_o)}=\frac{I_{DC}}{200\,\text{Hz}\,(323\text{V}-V_o)}\\
(8b) \quad \qquad & C_1=\frac{V_o}{4\cdot 50\,\text{Hz}\,R_L(325\text{V}-2\text{V}-V_o)}=\frac{V_o}{200\,\text{Hz}\,R_L(323\text{V}-V_o)}\end{align}

dove si sono considerati 2V di caduta diretta sui diodi del ponte. Se la tensione di uscita Vo è piccola rispetto alla tensione di picco, è possibile trascurare il termine Vo a denominatore e si arriva alla formula solita:

(9) \qquad \qquad \qquad C_1=\frac{I_{DC}}{65\,\frac{\text{mA}}{\mu\text{F}}}

vale a dire la capacità C1 deve essere di 1uF per ogni 65mA di corrente richiesta in uscita, nell'ipotesi di tensione efficace di rete di 230V e tensione di uscita trascurabile rispetto a questo valore.

Da notare che in presenza di rete "bassa" del 10% e tensione di uscita di 12V, la corrente si riduce a 58mA per ogni microfarad di capacità di C1.

Variante al calcolo di C1

Un altro modo per calcolare il valore di C1 è il seguente. Osservando la Figura 3 e la relativa equazione (4a') si osserva che la tensione di uscita è data dalla partizione di RL con la resistenza Req. Conoscendo Vpk, Vd, f, RL si può invertire la (4a') e si ottiene

(10) \qquad \qquad \qquad  R_{eq}=R_L \left(1+\frac{V_{pk}-V_d}{V_o}\right)

Trovata R_{eq}\,, si può calcolare il valore di C1 dalla (5)

(11) \qquad \qquad \qquad C_1=\frac{1}{4 f R_{eq}}

Verifiche

Questa procedura di calcolo è stata verificata confrontandola con i valori simulati in [1], sia montando un circuito in laboratorio e misurando i reali valori.

Verifica simulativa

L'equazione (4) ricavata in precedenza è stata verificata usando i valori di simulazione presenti nell'articolo citato. I dati della simulazione si riferiscono a un condensatore C1=1uF. I valori di Vo calcolati sono in ottimo accordo con quelli simulati. Sono stati assunti 2V di caduta sui diodi.

Confronto eq. (4) con simulazioni di [1]

Confronto eq. (4) con simulazioni di [1]

Una seconda verifica è stata fatta analizzando la tensione di uscita con carico di 100Ω che viene improvvisamente staccato. In questo caso la capacità C1 è stata presa di 1.006uF e CF=105uF. La tensione di picco di ingresso è stata assunta di 325V.

Il grafico della tensione di uscita rimane a 6.3V circa finché il carico è connesso. Quando a t=0.1s il carico viene scollegato, la tensione di uscita Vo sale esponenzialmente fino a 323V. La costante di tempo (cioè il tempo impiegato dalla tensione per percorrere il 63.2% della variazione) e visualizzato dai cursori, risulta essere di 520ms circa, mentre l'equazione (6) fornisce un valore \tau=\frac{105\mu\text{F}}{4\cdot 50\text{Hz}\cdot 1.006\mu\text{F}}=522\text{ms}

Verifica sperimentale


Oltre alla simulazione, è stata fatta in laboratorio una verifica su un circuito in cui è stato montato come C1 un condensatore ICEL in polipropilene da 1uF, tensione di lavoro 630V (www.icel.it/pdf/13_PPB.pdf), resistenza di protezione di inrush current da 110\,\Omega, condensatore di filtro da 105uF con ESR di 280\,\text{m}\Omega (misurati su impedenzimetro vettoriale HP4192A) e carico formato da resistori vari.

Il setup di misura è nella Figura 4. Poiché questi circuiti sono collegati direttamente a rete, si sono usate probe isolate. Staccare la connessione di terra dell'oscilloscopio per poter usare le sonde normali è una procedura PERICOLOSA E CRIMINALE!

Figura 4 - Set up di misura. Strumenti utilizzati: Multimetro Agilent 34401A, oscilloscopio Tek 3014, sonda di corrente Tek A6301, amplificatore Tek AM503B, sonda differenziale di tensione LeCroy AP030

Figura 4 - Set up di misura. Strumenti utilizzati: Multimetro Agilent 34401A, oscilloscopio Tek 3014, sonda di corrente Tek A6301, amplificatore Tek AM503B, sonda differenziale di tensione LeCroy AP030

Le tensioni di uscita calcolate con l'equazione (4) e misurate nel circuito reale con diversi carichi sono riportate nella tabella seguente. Anche in questo caso si sono assunti 2V di caduta sui diodi.

Tab 2 - Valori calcolati con l

Tab 2 - Valori calcolati con l'eq. (4) e misurati nel circuito reale

In questo caso l'errore è maggiore, a causa della distorsione della tensione di rete e delle non indealità dei componenti. Nelle figure seguenti sono riportate nella foto di sinistra la tensione di rete (blu) e la corrente assorbita dalla rete (gialla), nella foto di destra la tensione di ripple (blu) e la corrente (gialla), per il carico da 100\,\Omega, da 1\,\text{k}\Omega e da 10\,\text{k}\Omega.

Carico 100 ohm.  -  Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple

Carico 100 ohm. - Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple

Carico 1 kohm.  -  Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple

Carico 1 kohm. - Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple

Carico 10 kohm.  -  Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple (la tensione di ripple è a rovescio, per errore di connessione del probe!)

Carico 10 kohm. - Sinistra: Tensione di rete e corrente assorbita. Destra: corrente assorbita e tensione di ripple (la tensione di ripple è a rovescio, per errore di connessione del probe!)


Negli oscillogrammi è evidente l'anticipo di fase della corrente sulla tensione. Si notano anche due altri fenomeni. L'angolo di conduzione dei diodi diminuisce all'aumentare della tensione di uscita, come mostrato in [1] da Powermos. Tuttavia il metodo qui presentato continua a fornire una ottima stima della tensione media sull'uscita.


Il secondo fenomeno è la forma d'onda della corrente molto distorta (ho verificato che la sonda di corrente funzionasse :)). La ragione è che la tensione di rete non è una sinusoide perfetta, la cui derivata sarebbe ancora sinusoidale. Le piccole distorsioni della tensione vengono esaltate dall'operazione di derivazione fatta dal condensatore. Il rumore sovrapposto sulla corrente sembra una tredicesima armonica della rete, ma non sono andato ad indagare con l'FFT. Al momento pare solo di poter escludere sia un ringing o una risonanza parassita.


La forte distorsione della corrente rende anche difficile calcolare la tensione di ripple. In ogni caso non ho trovato una espressione semplice per la tensione di ripple, neanche in caso di onda sinusoidale.

Le due foto successive riportano la tensione all'ingresso del ponte e la tensione ai capi del condensatore nel caso di carico di 1\,\text{k}\Omega. La curva gialla è sempre la corrente, quella azzurra la tensione.

Carico 1 kohm - Sinistra: Tensione all

Carico 1 kohm - Sinistra: Tensione all'ingresso del ponte e corrente assorbita. Destra: Tensione sul condensatore e corrente di ingresso

La tensione all'ingresso del ponte è praticamente un'onda quadra con valore di picco pari alla tensione di uscita (più la caduta sui diodi), come anche mostrato nel precedente articolo. Questa costanza di tensione permette di ricavare facilmente la quantità di carica che passa sull'uscita, e quindi la tensione di uscita. Anche la forma d'onda della tensione sul condensatore era già stata presentata in simulazione nell'articolo precedente.

Conclusioni

è stato presentato un metodo di calcolo della capacità di alimentatori transformerless basata su una analisi nel dominio del tempo, al posto della tradizionale analisi nel dominio della frequenza. Con questo metodo si ottengono risultati precisi anche in presenza di tensioni di uscita elevate e tensioni di ingresso non sinusoidali. Una elevata tensione di uscita è ad esempio richiesta quando si vogliono mettere in serie molti led.

Per quanto riguarda i dettagli di progetto del circuito completo, si rimanda al pluricitato [1]

Una doppia nota di invito alla prudenza: si lavora con tensione di rete, questo alimentatore non è isolato! Il secondo invito alla prudenza riguarda la bontà dell'informazione che si trova su questo circuito. Ad esempio [1][2] e [3] sono articoli affidabili e completi. L'articolo [4] è abbastanza buono, anche se mi lascia con qualche dubbio, come se l'autore non avesse indagato a fondo quello che sta raccontando. Infine [5] è un brutto articolo, con errori (figura 3), informazioni incomplete fuorvianti e pericolose... In [6] e` riportata la storia di come la Microchip ha (o meglio non ha) risposto quando le e` stato fatto notare che aveva scritto una castroneria pericolosa.

Ringraziamenti

Desidero ringraziare Powermos per l'opportunità che mi ha dato di approfondire questo argomento, nonché per le proficue discussioni notturne avute con lui e i suggerimenti su come migliorare questo articolo.


Bibliografia

[1] Powermos - Analisi e progetto di alimentatori senza trasformatore (transformerless) - Electroportal, Jan 2010

[2] Nathan O. Sokal, K. Kit Sum, David C. Hamill, "A Capacitor-Fed, Voltage-Step-Down, Single-Phase, Non-Isolated Rectifier", APEC 1998, Volume 1, Issue , 15-19 Feb 1998 Page(s):208 - 215 vol.1

[3] Nathan O. Sokal, K. Kit Sum, David C. Hamill, "Stepdown Rectifier Makes a Simple Power Supply" EDN Apr. 9, 1998, Pages: 169-180.

[4] Microchip AN954, "Transformerless Power Supplies: Resistive and Capacitive"

[5] Microchip TB008, "Transformerless Power Supplies" (microchip ha tolto questa vaccata dal suo sito, 15/8/2011, l'application note AN954 [4] e` decisamente migliore). La technical note TB008 e` scaricabile qui ed e` PERICOLOSA, fatta da un criminale.

[6] Rod Elliott, "Cheap Death (or How Not to Design a Power Supply)", Elliot's website

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Commenti e note

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di ,

In effetti nell'ultima immagine dell'articolo originale di Powermos i resistori ci sono e non li avevo notati. Comunque evidenziarli può essere utile anche per altri lettori.

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di ,

Certamente una resistenza in serie, che normalmente metto, puo` essere conveniente per ridurre la corrente di inrush. Questo era solo un articolo per il calcolo della capacita`.
Nel caso non ci sia la resistenza serie, il parametro importante da valutare non e` solo la corrente di inrush, che e` di brevissima durata, ma l'energia dissipata dal circuito durante l'accensione. L'energia e` molto piu` facile da calcolare rispetto alla corrente, e in caso di brevi durate come questo e` il parametro importante, e tipicamente questa energia viene dissipata dai contatti dell'interruttore (lo scintillone di cui parlavi).

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di ,

La trattazione matematica è ineccepibile ma attenzione che in serie a C1 ci vuole per forza un resistore. Altrimenti se si collega la spina alla rete del 220, nel momento in cui la sinusoide è al massimo della tensione, si ottiene un bello scintillone e alla lunga i componenti possono rovinarsi per le decine di ampere che li percorrono per un breve attimo. Io di solito aggiungo un piccolo resistore da 10 a 100 ohm e lo metto piccolo, ad esempio 1/4 Watt, in modo che funga anche da fusibile nel caso che uno dei condensatori vada in corto. Poi sarebbe anche utile aggiungere un resistore da 1 mega ohm in parallelo a C1, in modo da scaricarlo velocemente quando si scollega la spina dalla rete. Altrimenti c'è il rischio di prendersi degli scossoni belli forti a toccare le due punte della spina.

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di ,

Hai ragione, grazie! Avevo fatto copia incolla delle unita` dal numeratore al denominatore, senza capovolgere l'espressione. Ora dovrebbe essere a posto e piu` comprensibile della prima versione.

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di ,

L'unita' a denominatore nella formula(9), cioe' il coefficiente 65,dimensionalmente dovrebbe essere mA/uF altrimenti il ragionamento del commento di prima non funziona. Saluti

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di ,

Le unita` uF/mA si riferiscono al coefficiente 65, non al risultato. Quando poi metti il valore di corrente con le sue unita` gli ampere si cancellano e rimangono solo i farad e i vari prefissi. Provo a cambiare la scritta, mettendo tutta l'unita` a denominatore, probabimente si legge meglio. Grazie!

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di ,

Mi pare che ci sia una svista dimensionale nella formula [9],C1 dovrebbe essere in microfarad,in quanto rapporto fra Idc[mA] e 65[mA/microfarad]. Saluti

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di ,

Complimenti. Veramente completo. Mi unisco al coro nel dirti bravo.

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di ,

-> Chapeau! BTW Isidoro ---> usa LTSpice !!! ;)

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di ,

Musica. Sinfonia schietta, incalzante, tonica. Bravò Isidoro. Bravò.

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di ,

Ottimo Isidoro ! Stavo aspettando il tuo articolo ! Se continui così posso consultare le sezioni dove hai scritto tu, invece di andare a rovistare fra i libri. Ciao Giorgio

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di ,

Ottimo ed abbondante come sempre! Saluti Pow

Rispondi

di ,

Che posso dire Isidoro?
Articolo bello. Bello tante volte e per tante ragioni. Bello in sé, per il modo chiaro in cui è fatta l’analisi del circuito e per l’organizzazione del lavoro, che lasciano più che intuire le tue conoscenze e la tua alta professionalità.
Bello perché mostra ed amplifica lo spirito del nostro sito, che mira allo sviluppo delle idee scaturite dalle discussioni del forum e dalla lettura dei contributi.
Abbiamo faticato, se pur piacevolmente, per tenere in piedi questa struttura; io per un verso, il webmaster (l'artefice vero) per un altro, nonché tutti i moderatori del forum. Ma quando arrivano articoli come il tuo, creazioni regalate alla community e non solo, avverto un’intima soddisfazione che mi fa pensare:"Ne è valsa e ne vale veramente la pena !".

Grazie!

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