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Grandezze alternate sinusoidali

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Introduzione

Le relazioni esistenti tra tensione e corrente nei bipoli e nelle reti, sono valide in ogni istante: nota l’evoluzione nel tempo di una delle due grandezze, si può, in ogni istante, determinare l’altra in maniera univoca. Nei precedenti articoli si sono considerate, prevalentemente, grandezze costanti nel tempo, sia perché possono schematizzare un gran numero di circuiti reali, sia perché consentono un’agevole trattazione algebrica.
Quando le grandezze variano con una legge qualsiasi nel tempo, le relazioni sono differenziali, cioè descrivono il loro modo di variare tramite legami che coinvolgono le grandezze stesse e le loro variazioni (differenze) nel tempo. La soluzione matematica delle equazioni che ne derivano, non è semplicissima. Opportune trasformazioni matematiche consentono però di utilizzare metodi algebrici.
Un caso molto importante, è relativo ad un andamento particolare delle grandezze elettriche nel tempo, rappresentabile con la funzione che in matematica è detta sinusoidale.

Le ragioni sono essenzialmente due: la prima pratica, in quanto è più facile produrre energia elettrica con tensioni alternate di tipo sinusoidale; la seconda, teorica, è che la sinusoide è, in un certo senso, la capostipite di ogni funzione che si ripete nel tempo ad intervalli regolari, detti periodi; la serie di Fourier dimostra infatti che una qualsiasi funzione periodica è scomponibile in una somma di infinite sinusoidi di ampiezza decrescente con l’aumentare della frequenza.

La funzione sinusoidale

Nei capitoli precedenti si è quasi sempre parlato di grandezze continue. Ma vi sono grandezze elettriche (tensioni, correnti) che risultano essere variabili nel tempo. La legge di variazione può essere qualsiasi, ma noi soffermiamoci su un tipo di variazione, quella sinusoidale:

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Dove:

$Y M$ : ampiezza, valore massimo, picco della grandezza in questione (tensione o corrente);

$ω$ : pulsazione, (rad/s o gradi/s);

$α$ : fase (radianti o gradi);

$T$ : periodo (s).

Ricordiamo che la frequenza di una grandezza periodica è da considerarsi come l'inverso del periodo, ed è legata alle grandezze appena elencare dalle relazioni:

$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }\; \; \; \; \; \text{Hz}$

Una tensione sinusoidale ai capi di un bipolo (o la corrente in esso), è espressa dalla funzione matematica:

$\begin{matrix}y(t)=Y_M\sin (\omega t+\alpha )\end{matrix}$

In figura quindi è rappresentato l'andamento di $y (t)$ e sono state messe in evidenza i parametri che la caratterizzano, quali ampiezza, pulsazione e fase.

Valore medio

E' un importante parametro che caratterizza le grandezze periodiche. Si tratta del valore che la grandezza assume mediamente in un certo intervallo di tempo. Facciamo un esempio attraverso una generica grandezza periodica:

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$\begin{matrix}A=A_2-A_1\end{matrix}$

Il valor medio può essere visto geometricamente come l'altezza del rettangolo di base $Δ t$ , la cui area è uguale all'area che nello stesso $Δ t$ la curva forma con l'asse delle ascisse, considerando positive quelle regioni di piano al di sopra dell'asse, e negative quelle al di sotto:

$Y_m=\frac{A}{\Delta t}$

Per una grandezza alternata, ovviamente il valore medio in un periodo è nullo: la grandezza sinusoidale è l’alternata per eccellenza e per essa quando ci si riferisce al valor medio come base dei tempi si considera il semiperiodo:

$Y_m=\frac{2}{\pi }Y_M\approx 0{,}637\cdot Y_M$

Come vedremo, per quanto riguarda le grandezze sinusoidali, è utile ricorrere al

Valore efficace

Il valore efficace di una grandezza che varia nel tempo, è quel valore che, mantenuto costante, dà luogo alla stessa dissipazione energetica. Ma cerchiamo di capire meglio attraverso un esempio considerando una corrente che varia periodicamente nel tempo come in figura:

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Per calcolare la potenza dissipata in un resistore. occorre determinare il prodotto:

$\begin{matrix}p(t)=Ri(t)^2\end{matrix}$

Per comodità consideriamo unitaria la resistenza $R=1 \, \Omega$ . Disegnando l'andamento della potenza otteniamo la seguente spezzata:

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Ci è possibile calcolare l'energia dissipata calcolando l'area sottesa alla curva blu:

$\begin{matrix}W=1\times 1+4\times 2+1\times 1=1+8+1=10\; \text{J}\end{matrix}$

La stessa energia, sarebbe stata dissipata se il resistore fosse stato attraversato da una corrente continua in grado di sviluppare una potenza pari a:

$P_m=\frac{W}{T}=\frac{10}{4}=2{,}5\; \text{W}$

in quanto le aree sottese dalle curve blu e rossa devono essere uguali. E' semplice ora ricavare quella corrente continua capace della stessa dissipazione energetica:

$I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{P_m}{R}}=\sqrt{\frac{2{,}5}{1}}=1{,}581\; \text{A}$

che è detto valore efficace di i(t).
Il pedice rms significa Root mean square , ad indicare che tale grandezza è la radice della media del quadrato sul periodo, della funzione stessa:

$Y_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left [ y(t) \right ]^2\mathrm{d}t}$

Bisogna dire che il pedice è omesso quando ci si riferisce al valore efficace di una grandezza, e si specifica eventualmente con un pedice (di solito M o MAX) se ci stiamo riferendo al valore massimo. Nel caso di una grandezza sinusoidale il valore efficace è legato al valore massimo dalla relazione:

$V=\sqrt{\frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{T}\left [ V_M\sin(\omega t) \right ]^2\mathrm{d}t}=\sqrt{\frac{V_{M}^{2}}{2}}=\frac{V_M}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707\cdot V_M$

Nota: parecchi strumenti di misura (quelli più economici) forniscono il valore efficace stimando quello massimo o quello medio ed applicando la relazione valida per la sinusoide. Ovviamente essi non possono fornire il valore corretto se la forma d'onda non è sinusoidale. Occorre in tal caso ricorrere a strumenti TRMS, cioè a vero valore efficace.

Valore picco-picco

Rappresenta la massima variazione del segnale durante il suo periodo, ed è quindi valutabile attraverso la differenza tra il valore massimo e quello minimo. In caso di grandezze alternate sinusoidali risulta ovviamente essere pari a:

$\begin{matrix}Y_{\text{pp}}=Y_{\text{max}}-Y_{\text{min}}=2Y_{\text{max}}\end{matrix}$

Fattore di forma e di cresta

Il fattore di forma è il rapporto tra il valore efficace e il valore medio (nel semiperiodo per grandezze alternate):

$k_f=\frac{Y}{Y_m}$

Il fattore di cresta è invece il rapporto tra valore massimo e valore efficace:

$k_c=\frac{Y_M}{Y}$

Per grandezze alternate, ci si riferisce per lo più al fattore di forma. Per grandezze elettriche sinusoidali, ad esempio una tensione sinusoidale, il fattore di forma ha un valore ben preciso:

$k_f=\frac{V}{V_m}=\frac{0{,}707}{0{,}637}=1{,}11$

Riepilogando: la grandezza sinusoidale è una grandezza:

periodica: cioè ripete ciclicamente i suoi valori, l’intervallo di ripetizione è il periodo, mentre il numero di periodi in un secondo è la frequenza);
alternata: i valori negativi compensano nel periodo quelli positivi;

il cui valore efficace è 0,707 volte il suo valore di picco (o valore massimo) ed il cui fattore di forma vale 1,11.

Fase, quadratura, opposizione, anticipo, ritardo

Queste parole devono entrare nel linguaggio comune di un elettrotecnico, devono essere capite e padroneggiate in quanto sono alla base della comprensione delle grandezze elettriche alternate sinusoidali. Cercheremo di essere quanto più chiari ci sia possibile.
Per poter effettuare un paragone tra due grandezze alternate, è necessario che queste siano isofrequenziali, ovvero che abbiamo la stessa frequenza, e quindi la stessa pulsazione.

Due sinusoidi si dicono in fase, se le loro fasi sono identiche o differiscono di 360° ( $2π$ radianti) o suoi multipli; ovvero si annullano contemporaneamente e contemporaneamente raggiungono i massimi positivi e negativi:

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Due sinusoidi si dicono in opposizione di fase se le fasi differiscono di 180°: si annullano allora contemporaneamente ma raggiungono, contemporaneamente, una il valore massimo, mentre l'altra il valore minimo:

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Si dicono invece in quadratura, quando le fasi differiscono di 90°: in questo caso quando l'ampiezza di una è massima, quella dell’altra è nulla:

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Bisogna adesso definire quando una sinusoide è in ritardo o in anticipo rispetto all'altra. Per farlo, riferiamoci alla figura sopra; le sinusoidi $y (t)$ e $x (t)$ sono descritte dalle seguenti equazioni:

$\begin{matrix}y(t)=Y_M\sin \left (\omega t \right )\end{matrix}$
$x(t)=X_M\sin \left ( \omega t-\frac{\pi }{2} \right )$

In $t = 0$ le sinusoidi assumono i seguenti valori:

$\begin{matrix}y(0)=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x(0)=-X_M\end{matrix}$

mentre in $t = π / 2$ valgono rispettivamente:

$y \left ( \frac{\pi }{2} \right )=Y_M\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x \left ( \frac{\pi }{2} \right )=0$

e ancora in $t = π$ abbiamo i seguenti valori:

$y \left ( \pi \right )=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x \left ( \pi \right )=X_M$

Quello che abbiamo voluto mettere in evidenza è che la $x (t)$ assume valori minimi, nulli o massimi esattamente 90° dopo $y (t)$ , quindi è in ritardo di 90°. Viceversa $y (t)$ è in anticipo di 90° rispetto a $x (t)$ . I concetti di ritardo e anticipo, verranno riesaminati successivamente, quando saremo in grado di rappresentare tali sinusoidi attraverso i fasori.

Operazioni su grandezze sinusoidali

Due, o più grandezze sinusoidali, possono essere sommate. Basta pensare che tali grandezze, potrebbero rappresentare delle correnti in uno nodo, e quindi, volendo scrivere il principio di Kirchhoff a quel nodo, sarà necessario sommarle algebricamente, o se vogliamo delle tensioni, che quindi andrebbero sommate algebricamente nel momento in cui vorremmo scrivere un equazione a una maglia. Ciò che subito ci chiediamo allora è: se le correnti o le tensioni componenti sono sinusoidali, che forma ha la loro somma algebrica? Non è difficile dimostrare che, se hanno la stessa frequenza, è ancora una sinusoide della stessa frequenza. Concettualmente una somma non è difficile da interpretare: se consideriamo ad esempio la somma di due sinusoidi, la sinusoide risultante può essere ottenuta attraverso una somma punto per punto. Utilizziamo un software molto semplice ma molto potente: SpeQ:
dapprima definiamo $x (t)$ e $y (t)$ ; in seguito indichiamo con $z (t)$ la loro somma; e poi attraverso il comando Plot disegniamo sia gli addendi, che la somma:

Definizione sinusoidi

una volta lanciato il comando Plot, si aprirà un'altra finestra con le rappresentazioni cercate:

Somma di due sinusoidi

Osserviamo che per tracciare qualsiasi sinusoide di data frequenza, ci basta conoscerne ampiezza e fase. Volendo procedere con carta e penna, avremmo a che fare con formule trigonometriche poco agevoli, e SpeQ non è sempre a disposizione.
Si può allora osservare che sono due i parametri da individuare, che due numeri individuano un punto nel piano, e pensare di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e sinusoidi isofrequenziali.
Se potessimo disporre di numeri che trasformano le comuni operazioni algebriche in spostamenti sul piano, così come le operazioni con i numeri reali determinano spostamenti su una retta orientata, potremmo calcolare i due parametri, ampiezza e fase, molto più comodamente. Questi numeri ci sono e sono detti numeri complessi.

Numeri complessi

Le esigenze di fisici e matematici di dare soluzioni alle equazioni, o comunque di trovare soluzioni a problemi sempre nuovi, hanno trovato la necessità di estendere il campo dei numeri reali, a quello dei numeri complessi. Pensiamo alla seguente equazione:

$\begin{matrix}x^2=-1\end{matrix}$

della quale sappiamo non esistono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. Si è allora trovato opportuno attribuire alle radici quadrate dei numeri negativi un valore immaginario, e tale valore è indicato con la lettera $i$ , o come preferiscono gli elettrotecnici, con la lettera $j$ , tale che:

$\begin{matrix}\text{j}^2=-1\end{matrix}$

da cui la definizione dell'unità immaginaria:

$\begin{matrix}\text{j}=\sqrt {-1}\end{matrix}$

Tale introduzione ha permesso ai matematici la risoluzione di problemi fino ad allora irrisolti: basta pensare alle soluzioni di un equazione di secondo grado con discriminante negativo. Un numero complesso viene rappresentato in diverse forme, equivalenti tra loro:

Forma algebrica: un numero complesso è in forma algebrica quando è espresso nella forma:

$\begin{matrix}\bar{z}=a+\text{j}b\end{matrix}$

dove sono specificate la sua parte reale e la sua parte immaginaria. Le quantità a e b individuano dunque univocamente un punto del piano cartesiano che è, in questo caso, chiamato piano di Gauss (di Argand-Gauss se vogliamo essere precisi), dal nome del grande matematico del secolo XIX che né indagò a fondo le proprietà. Tale piano ha come ascisse l'insieme dei numeri reali, mentre come ordinate quello dei numeri immaginari. Al numero complesso viene quindi attribuito un punto del piano univocamente determinato dalle coordinate del numero complesso:

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Congiungendo il generico punto del piano con l'origine, associamo al numero complesso un vettore, il quale può ancora essere definito in modo univoco attraverso le sue coordinate polari; introduciamo quindi la

Forma polare: consideriamo a tal proposito uno dei punti precedentemente trovato, ad esempio $\bar {z}$ :

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Sfruttando le formule dei triangoli rettangoli, cerchiamo di rappresentarlo altre due variabili che non siano le coordinate cartesiane, ovvero:

- modulo: rappresenta la lunghezza del vettore associato al numero complesso ed è dato da:

$\begin{matrix}\rho =\sqrt{a^2+b^2}\end{matrix}$

- argomento: pari all'angolo formato dal vettore con l'asse reale:

$\vartheta =\arctan{\frac{b}{a}}$

Forma trigonometrica: noti i valori di modulo e argomento, possiamo ricavare quelli di $a$ e $b$ dalle seguenti formule:

$\begin{matrix}a=\rho \cos\vartheta \\ b=\rho \sin\vartheta\end{matrix}$

il che ci permette di scrivere la forma algebrica nel seguente modo:

$\bar{z}=a+\text{j}b=\rho\left ( \cos \vartheta +\text{j}\sin \vartheta \right )$

Forma esponenziale: attraverso la formula di Eulero:

$\cos \vartheta +\text{j}\sin \vartheta=e^{\text{j}\vartheta }$

possiamo passare dalla forma trigonometrica alla seguente notazione:

$\bar{z}=\rho e^{\text{j}\vartheta }$

Forma polare: è molto utilizzata e vorrebbe abbreviare le notazioni precedenti scrivendo il numero complesso nella seguente forma:

$\begin{matrix}\bar{z}=\rho \angle \vartheta \end{matrix}$

Esercizio

Qualche link di EY

Grandezze sinusoidali e numeri complessi

Quanto detto porta a chiederci che tipo di corrispondenza vi possa essere tra sinusoidi, vettori e numeri complessi. Le grandezze elettriche sinusoidali, variano nel tempo con secondo la funzione ampiamente vista. La stessa variazione può essere descritta in modo diverso, attraverso quello che è definito un vettore rotante: quanto rappresentato sotto chiarisce la corrispondenza:

Corrispondenza tra sinusoidi e vettori rotanti

ovvero la proiezione del vettore sull'asse y, istante per istante, descrive proprio la funzione sinusoidale. Il vettore ruota con velocità angolare $ω$ , che corrisponde alla pulsazione della sinusoide, ed ha modulo pari all'ampiezza della stessa. Bisogna dire che un vettore che ruota risulta difficile da trattare, e non dimentichiamoci che le grandezze elettriche in un circuito (tranne qualche caso che esula dalla trattazione), sono isofrequenziali. Avere la stessa frequenza, significa quindi avere la stessa pulsazione, che in termini di vettori rotanti si traduce nell'avere la stessa velocità angolare.
Questo significa che le posizioni reciproche tra i vettori non cambiano. E' come se fotografassimo i vettori rotanti in un certo istante, o, per essere un po' più precisi, è come se il nostro riferimento (il piano di Gauss), ruotasse alla stessa velocità dei vettori. In questo modo ci svincoliamo dalla loro rotazione, quindi dal tempo, permettendoci di apprezzare quello che sono le quantità di nostro maggiore interesse, ovvero ampiezza e fase.
Questo ci dà un'idea migliore sia riguardo le relazioni di fase che vi sono tra grandezze (anticipi e ritardi), sia circa la semplificazione delle operazioni elementari.

Infatti risulta ora molto intuitivo valutare quando una grandezza elettrica è in anticipo o in ritardo rispetto ad un'altra:

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Per valutare la differenza di fase bisogna valutare l'angolo di sfasamento tra due vettori Infatti il vettore $\bar{Y}$ che è in ritardo rispetto a $\bar{W}$ , deve ruotare in senso antiorario dell'angolo $\varphi =\beta -\alpha$ per sovrapporsi ad esso. Balza immediatamente agli occhi come un vettore che sia in ritardo rispetto ad un altro, abbia fase minore. Secondo il grafico $\bar{Y}$ è in anticipo su $\bar{X}$ , quindi deve ruotare in senso orario per sovrapporsi. Ovviamente un vettore in anticipo sui un altro ha fase maggiore di quest'ultimo. Spesso nell'introduzione a questo argomanto, si omette l'intera dimostrazione che ci porta a rappresentare le sinusoidi con dei fasori. Per darne un effettivo riscontro si sfrutta la formula di Eulero sopra citata, ma in realtà tale passaggio è possibile grazie alla

Trasformata di Steinmetz

La trasformata di Steinmetz associa alla funzione sinusoidale x(t) un numero complesso, espresso nella sua forma polare, dove modulo e argomento sono rispettivamente valore efficace e fase della sinusoide.

Consideriamo a tal proposito un segnale x(t) cosinusoidale (se fosse sinusoidale giungeremmo alla stessa conclusione) con pulsazione

ω

e periodo

T = 2π / ω

, risulta che:

$\bar{X}=\text{S}[x(t)]=\frac{\sqrt{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-\text{j}\omega t}\mathrm{d}t$

ovvero:

$\text{S}[x(t)]=\frac{\sqrt{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-\text{j}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sqrt{2}X\cos (\omega t+\alpha )e^{-\text{j}\omega t}\mathrm{d}t=$

$=\frac{2X}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{e^{\text{j}(\omega t+\alpha)}+e^{-\text{j}(\omega t+\alpha )}}{2}e^{-\text{j}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{X}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{\text{j}\alpha}\mathrm{d}t+\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-\text{j}(2\omega t+\alpha )}\mathrm{d}t=$

$=Xe^{\text{j}\alpha}=\bar{X}$

Si noti come il modulo del fasore corrispondente sia il valore efficace e non il valore massimo come alcune trattazioni invece indicano.

Operazioni con i numeri complessi

Tutto quanto scritto, dall'utilizzo dei fasori, alla loro notazione complessa, ha degli scopi ben precisi. Uno è quello di avere una rappresentazione di queste grandezze più semplice, dove valutare anticipi, ritardi, quadrature o opposizioni, risulta immediato. L'altro è quello, come già detto, di semplificare lo svolgimento di operazioni matematiche, dalle operazioni elementari di somma algebrica, prodotto e divisione, a quelle di derivata e integrale: Consideriamo quindi due vettori, rappresentati dai numeri complessi.

$\bar{X}=a_1+\text{j}b_1\; \; \; \; \; \; \; \; \;\bar{Y}=a_2+\text{j}b_2$

e svolgiamo le operazioni sopra indicate:

Somma

La somma di due numeri complessi è molto agevole quando questi sono nella loro forma algebrica:

$\bar{X}+\bar{Y}=(a_1+a_2)+\text{j}(b_1+b_2)$

ma niente toglie la possibilità di esprimerli in termini di modulo e fase:

$\rho _{12}=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}\; \; \; \; \; \; \; \; \;\vartheta _{12}=\arctan \frac{b_1+b_2}{a_1+a_2}$

da cui la possibilità di scrivere la somma in tutte le forme rimanenti:

$\bar{X}+\bar{Y}=\rho _{12}(\cos\vartheta _{12}+\text{j}\sin\vartheta _{12})=\rho _{12}\angle \vartheta _{12}=\rho _{12}e^{\text{j} \vartheta _{12}}$

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Differenza

La differenza di due numeri complessi, analogamente a prima è quasi immediata quando questi sono nella loro forma algebrica:

$\bar{X}-\bar{Y}=(a_1-a_2)+\text{j}(b_1-b_2)$

oppure in termini di modulo e fase:

$\rho _{12}=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}\; \; \; \; \; \; \; \; \;\vartheta _{12}=\arctan \frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}$

e ovviamente la possibilità di scriverla nelle forme rimanenti:

$\bar{X}-\bar{Y}=\rho _{12}(\cos\vartheta _{12}+\text{j}\sin\vartheta _{12})=\rho _{12}\angle \vartheta _{12}=\rho _{12}e^{\text{j} \vartheta _{12}}$

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Prodotto

Il prodotto è decisamente più agevole quando i due numeri sono espressi nella loro forma polare o esponenziale:

$\bar{X}\cdot \bar{Y}=\rho _1\rho _2\angle \left ( \vartheta _1+\vartheta _2 \right )$
$\bar{X}\cdot \bar{Y}=\rho _1\rho _2e^{\text{j} \left ( \vartheta _1+\vartheta _2 \right )}$

Se invece vogliamo ricavare il prodotto dalla forma algebrica avremmo:

$\bar{X}\cdot \bar{Y}=a_{12}+\text{j}b_{12}$

con:

$a_{12}=\rho _1\rho _2\cos ( \vartheta _1+\vartheta _2)\;\;\;\;\;\;\;\;b_{12}=\rho _1\rho _2\sin ( \vartheta _1+\vartheta _2)$

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Quoziente

Come per il prodotto, il quoziente è immediatamente ricavabile attraverso la conoscenza di modulo e fase:

$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}=\frac{\rho _1}{\rho _2}\angle \left ( \vartheta _1-\vartheta _2 \right )$
$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}=\frac{\rho _1}{\rho _2}e^{\text{j} \left ( \vartheta _1-\vartheta _2 \right )}$

Mentre se vogliamo ricavare il quoziente dalla forma algebrica:

$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}=a_{12}+\text{j}b_{12}$

con:

$a_{12}=\frac{\rho _1}{\rho _2}\cos ( \vartheta _1-\vartheta _2)\;\;\;\;\;\;\;\;b_{12}=\frac{\rho _1}{\rho _2}\sin ( \vartheta _1-\vartheta _2)$

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Derivata

Una delle qualità migliori dei fasori è quello di rendere agevoli i calcoli delle derivate.

Infatti, la derivata temporale di una grandezza sinusoidale con pulsazione

ω

è ancora una grandezza sinusoidale con la stessa pulsazione, il cui modulo è

ω

volte più grande e la cui fase è in anticipo di $\frac{\pi }{2}$ .

In definitiva basta ruotare di 90° in senso antiorario il fasore, e moltiplicarne il modulo per $ω$ :

$\bar{Y}=\text{j}\omega \bar{X}$

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Integrale

Risulterà semplificata anche l'operazione di integrazione. L'integrale di una sinusoide infatti è un'altra sinusoide con la stessa pulsazione, la cui ampiezza è

ω

volte più piccola, ed in ritardo di 90°. Nel piano complesso si traduce in:

$\bar{Y}=\frac{-\text{j}}{\omega }\bar{X}$

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Conclusioni

La padronanza dei numeri complessi è un pilastro fondamentale delle reti in corrente alternata. Ad oggi una qualsiasi calcolatrice è in grado di effettuare direttamente tali operazioni, ma non dimentichiamoci che conoscere i metodi potrebbe evitare di prendere per buoni risultati paradossali. Nel prossimo capitolo parleremo del comportamento dei vari bipoli e dei metodi risolutivi delle reti in regime sinusoidale.

Estratto da "https://www.electroyou.it/mediawiki/index.php?title=UsersPages:Lillo:grandezze-alternate"

Commenti e note

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di mrc, 12 anni fa

Complimenti lillo! Un ottimo e utile lavoro!

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di matteo375, 12 anni fa

Scusami, ho sbagliato io. Di nuovo complimenti :)

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di matteo375, 12 anni fa

Mi permetto di farti notare una piccola inesattezza: non è t=0 ma omega*t=0 (paragrafo su anticipo e ritardo). Per il resto complimenti, l'articolo è chiaro e piacevole da leggere, a parer mio sei stato molto bravo

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di , 12 anni fa

Complimenti per la voglia :). Due soli appunti: j non e` la radice quadrata di -1, ma e` j^2 ad essere -1! L'altro e` che quando calcoli l'arcotangente sei limitato nell'inversione da -pi/2 a +pi/2: in molti casi puo` bastare, ma in alcuni cirucuiti non basta.

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di lillo, 12 anni fa

grazie davvero di cuore :D

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