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Indice

1 Abstract
2 Integrali indefiniti
3 Integrali definiti
4 Bibliografia e Sitografia

Abstract

Inizialmente non doveva esserci alcun articolo, ma dovevo solo sfruttare l'implementazione delle formule Latex per scrivermi un glossario, o se volete un eserciziario, del mio corso di analisi. Poi ho pensato: "ma siii, ora lo pubblico anche, a qualcuno potrebbe servire". C'è poco da leggere, tanto integrare, e per quel che vale: buona lettura.

La lettura è sconsigliata a persone avverse all'algebra, alla trigonometria, ad avvocati, a tutti coloro che pensano che la matematica non serve a niente e a Renzo Bossi. Il prodotto può avere effetti collaterali quali conati di vomito, dissenteria, pellagra e elezioni anticipate. Decreto Ministeriale 00/00, aut.min.rich.

Integrali indefiniti

Esercizio 1

$\int \sin^2 x\; \mathrm{d}x=$

$=\int \sin x\cdot \sin x\mathrm{d}x=$

integriamo per parti:

$=\int \frac{\mathrm{d} (-\cos x)}{\mathrm{d} x}\cdot \sin x\mathrm{d}x=$

$=-\cos x \sin x -\int (-\cos x)\cdot \frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x=$

$=-\cos x \sin x +\int \cos^2 x\mathrm{d}x=$

$=-\cos x \sin x +\int (1-\sin^2 x)\mathrm{d}x=$

$=-\cos x \sin x +\int 1\mathrm{d}x-\int \sin^2 x\mathrm{d}x=$

$=-\cos x \sin x +x-\int \sin^2 x\mathrm{d}x$

Abbiamo ottenuto un identità, quindi possiamo scrivere:

$2\int \sin^2 x \mathrm{d}x=-\cos x \sin x +x$

$\int \sin^2 x \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left (x-\cos x \sin x \right ) +c$

Esercizio 2

$\int \cos^2 x\; \mathrm{d}x=$

$=\int (1-\sin^2 x)\; \mathrm{d}x=$

$=\int 1 \mathrm{d}x-\int \sin^2 x\; \mathrm{d}x=$

ma per quanto scritto nell'esercizio precedente:

$=x-\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+c=$

$=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+c$

Esercizio 3

$\int \sin^3x {\mathrm{d} x}=$

$=\int \sin ^2x \cdot \sin x {\mathrm{d} x}=$

$=\int (1-\cos^2 x) \sin x {\mathrm{d} x}=$

$=\int (\sin x-\cos^2 x\cdot \sin x){\mathrm{d} x}=$

$=\int \sin x{\mathrm{d} x}-\int \cos^2 x\cdot \sin x{\mathrm{d} x}=$

$=-\cos x+\int \cos^2 x(-\sin x){\mathrm{d} x}=$

ma l'integrale sulla destra rientra nel caso $\int f(x)^n\cdot f(x)^{\prime }{\mathrm{d}x}=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$ quindi:

$=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+c$

Esercizio 4

$\int \sin ^4x \mathrm{d} x=$

$=\int \sin x\cdot \sin^3x\; \mathrm{d}x=$

$=\int \sin x\cdot \sin^3x \mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d} (-\cos x)}{\mathrm{d} x}\cdot \sin^3x \mathrm{d}x=$

$=-\cos x\sin ^3x-\int -\cos x\cdot \frac{\mathrm{d} (\sin^3x)}{\mathrm{d} x} \mathrm{d}x=$

$=-\cos x\sin ^3x-\int -\cos x\cdot 3\sin^2x\cdot \cos x \mathrm{d}x=$

$=-\cos x\sin ^3x+3\int \cos^2 x\cdot \sin^2x \mathrm{d}x=$

$=-\cos x\sin ^3x+3\int \sin^2 x (1-\sin^2 x ) \mathrm{d}x=$

$=-\cos x\sin ^3x+3\int \sin^2 x \mathrm{d}x-3\int \sin^4 x \mathrm{d}x=$

Portando l'integrale a primo membro:

$4\int \sin^4 x \mathrm{d}x=-\cos x\sin ^3x+3\int \sin^2 x \mathrm{d}x$

$\int \sin^4 x \mathrm{d}x=-\frac{1}{4}\cos x\sin ^3x+\frac{3}{4}\int \sin^2 x \mathrm{d}x$

$\int \sin^4 x \mathrm{d}x=-\frac{1}{4}\cos x\sin ^3x+\frac{3}{8}(x-\sin x \cos x)+c$

Esercizio 5

Integrali nella forma: $\int f(ax+b)\mathrm {d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+c$

$\int \cos (3x)\; \mathrm {d}x=\frac{1}{3}\int 3\cos(3x)\mathrm {d}x=\frac{1}{3}\sin (3x)+c$

$\int e^{x+4}\; \mathrm {d}x=e^{x+4}+c$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\; \mathrm {d}x=$

$=\int \frac{x}{(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\; \mathrm {d}x=$

$=\int x(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}\; \mathrm {d}x=$

$=\frac {1}{2} \int 2x(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}\; \mathrm {d}x=$

$=\sqrt{x^2+a^2}+c$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} \; \mathrm {d}x=\int \frac{1}{a^2}\frac{1}{\frac{x^2}{a^2}+1} \; \mathrm {d}x=\frac{1}{a}\int \frac{\frac{1}{a}}{(\frac{x}{a})^2+1} \; \mathrm {d}x=$

$=\frac{1}{a}\arctan \left ( \frac{x}{a} \right )+c$

Esercizio 6

$\int \arctan x\; \mathrm{d}x=\int 1\cdot \arctan x\; \mathrm{d}x=$

integriamo per parti scegliendo 1 come fattore differenziale:

$=\int \arctan x\; \mathrm{d}x=$

$=\int 1\cdot \arctan x\; \mathrm{d}x=$

$=\int \frac{\mathrm{d} (x)}{\mathrm{d} x}\cdot \arctan x\; \mathrm{d}x=$

$=x\arctan x-\int x\cdot \frac{\mathrm{d} (\arctan x)}{\mathrm{d} x}\cdot \; \mathrm{d}x=$

$=x\arctan x-\int x\cdot \frac{1}{1+x^2}\; \mathrm{d}x=$

$=x\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\; \mathrm{d}x=$

l'integrale sulla destra è del tipo $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln \left | f(x) \right |+c$ :

$=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left ( 1+x^2 \right )+c$

Esercizio 7

Allo stesso modo di sopra risolviamo:

$\int \ln x\; \mathrm {d}x=$

$=\int 1\cdot \ln x\; \mathrm {d}x=$

$=\int \frac{\mathrm{d} (x)}{\mathrm{d} x}\cdot \ln x\; \mathrm {d}x=$

$=x\ln x-\int x\cdot \frac{\mathrm{d} (\ln x)}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=x\ln x-\int \frac{x}{x}\; \mathrm {d}x=x\ln x-x+c$

Esercizio 8

$\int x\cdot \ln x\; \mathrm {d}x=$

$=\int \frac{\mathrm{d} (\frac{x^2}{2})}{\mathrm{d} x}\cdot \ln x\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{\mathrm{d} \left ( \ln x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm{d} x=$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\; \mathrm{d} x=$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\; \mathrm{d} x=$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{4}x^2+c$

Esercizio 9

$\int x\cdot \arctan x\; \mathrm {d}x=$

integriamo per parti:

$=\int \frac{\mathrm{d} (\frac{x^2}{2})}{\mathrm{d} x}\cdot \arctan x\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\arctan x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{\mathrm{d} \left (\arctan x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \mathrm {d}x+\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2}\; \mathrm {d}x=$

$=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+c$

Esercizio 10

$\int \arcsin x\; \mathrm {d}x=$

$=\int 1 \cdot \arcsin x\; \mathrm {d}x=$

integriamo per parti:

$=\int 1 \cdot \arcsin x\; \mathrm {d}x=$

$=x\arcsin x-\int x\cdot \frac{\mathrm{d} \left (\arcsin x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm {d}x=$

$=x\arcsin x-\int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\; \mathrm {d}x=$

$=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int \left (-2x \right )(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\; \mathrm {d}x=$

$=x\arcsin x+\frac{1}{2}\left [ \frac{(1-x^2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right ]=$

$=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$

Esercizio 11

Formule per ricorrenza

$\int x^ne^x\; \mathrm {d}x=x^ne^x-nI_{n-1}$

Esempio 1

$\int x^2e^x\; \mathrm {d}x=$

$=\int x^2\cdot \frac{\mathrm{d} \left (e^x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=x^2e^x-2\int xe^x\; \mathrm {d}x=$

$=x^2e^x-2\int x\frac{\mathrm{d} \left (e^x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=x^2e^x-2\left (xe^x-\int e^x\; \mathrm {d}x \right )=$

$=\begin{matrix}x^2e^x-2xe^x+2e^x+c\end{matrix}$

Esempio 2

$\int x^3e^x\; \mathrm {d}x=$

$=\int x^3\frac{\mathrm{d} \left (e^x \right )}{\mathrm{d} x}\; \mathrm {d}x=$

$=x^3e^x-\int \frac{\mathrm{d} \left (x^3 \right )}{\mathrm{d} x}e^x\; \mathrm {d}x=$

$=x^3e^x-3\int x^2e^x\; \mathrm {d}x=$

ma l'integrale a destra è stato precedentemente risolto:

$=x^3e^x-3\left ( x^2e^x-2xe^x+2e^x \right )=$

$=\begin{matrix}x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+c\end{matrix}$

Esercizio 12

$\int \frac{2x-1}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\int \frac{2x}{3x-5}\; \mathrm {d} x-\int \frac{1}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\frac{2}{3}\int \frac{3x}{3x-5}\; \mathrm {d} x-\frac{1}{3}\int \frac{3}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\frac{2}{3}\int \frac{3x-5+5}{3x-5}\; \mathrm {d} x-\frac{1}{3}\int \frac{3}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\frac{2}{3}\int \mathrm {d} x+\frac{2}{3}\int \frac{5}{3x-5}\; \mathrm {d} x-\frac{1}{3}\int \frac{3}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\frac{2}{3}\int \mathrm {d} x+\frac{10}{9}\int \frac{3}{3x-5}\; \mathrm {d} x-\frac{1}{3}\int \frac{3}{3x-5}\; \mathrm {d} x=$

$=\frac{2}{3}x+\frac{10}{9}\ln \left | 3x-5 \right |-\frac{1}{3}\ln \left | 3x-5 \right |=$

$=\frac{2}{3}x+\frac{7}{9}\ln \left | 3x-5 \right |+c$

Esercizio 13

$\int \frac{x^4+1}{x+1}\; \mathrm {d} x$

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

$\frac{x^4+1}{x+1}=x^3-x^2+x-1+\frac{2}{x+1}$

quindi:

$\int \frac{x^4+1}{x+1}\; \mathrm {d} x=$

$=\int \left (x^3-x^2+x-1+\frac{2}{x+1} \right )\; \mathrm dx=$

$=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+2\ln \left | x+1 \right |+c$

Esercizio 14

$\int \frac{x^5-3x^4+x+3}{x^2-1}\; \mathrm {d} x$

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

$\frac{x^5-3x^4+x+3}{x^2-1}=x^3-3x^2+x-3+\frac{2x}{x^2-1}$

quindi:

$\int \frac{x^5-3x^4+x+3}{x^2-1}\; \mathrm {d} x=$

$=\int \left (x^3-3x^2+x-3+\frac{2x}{x^2-1} \right )\; \mathrm dx=$

$=\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}-3x+\ln \left | x^2-1 \right |+c$

Esercizio 15

Risoluzione attraverso fratti semplici

Δ>0

Esempio 1

$\int \frac{1}{x^2-1}\; \mathrm{d}x$

troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:

$x^2-1\; \rightarrow \; x=\pm 1$

$\begin{matrix}x^2-1=(x-1)(x+1)\end{matrix}$

quindi:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{x+1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A_1(x+1)+A_2(x-1)}{x^2-1}$

da cui:

$\begin{matrix}A_1(x+1)+A_2(x-1)=1\end{matrix}$

$\begin{matrix}x(A_1+A_2)+(A_1-A_2)=1\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}A_1+A_2=0\\ A_1-A_2=1\end{matrix}\right.\; \rightarrow \; \left\{\begin{matrix}A_1=-\frac{1}{2}\\ A_2=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

torniamo all'integrale:

$\int \frac{1}{x^2-1}\; \mathrm{d}x =$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\; \mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\; \mathrm{d}x=$

$=\frac{1}{2}\ln \left | x-1 \right |-\frac{1}{2}\ln \left | x+1 \right |+c$

Esempio 2

$\int \frac{x+7}{x^2-x-2}\; \mathrm dx$

troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:

$x^2-x-2\; \rightarrow \; x=\begin{matrix}2\\ -1\end{matrix}$

$\begin{matrix}x^2-x-2=(x-2)(x+1)\end{matrix}$

quindi:

$\frac{x+7}{x^2-x-2}=\frac{A_1}{x-2}+\frac{A_2}{x+1}$

$\frac{x+7}{x^2-x-2}=\frac{A_1(x+1)+A_2(x-2)}{ x^2-x-2 }$

da cui:

$\begin{matrix} A_1(x+1)+A_2(x-2)=x+7 \end{matrix}$

$\begin{matrix} x(A_1+A_2)+(A_1-2A_2)=x+7 \end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}A_1+A_2=1\\ A_1-2A_2=7\end{matrix}\right.\; \rightarrow \; \left\{\begin{matrix}A_1=3\\ A_2=-2\end{matrix}\right.$

tornando all'integrale:

$\int \frac{x+7}{x^2-x-2}\; \mathrm dx =$

$=3\int \frac{1}{x-2}\; \mathrm dx-2\int \frac{1}{x+1}\; \mathrm dx=$

$=3\ln \left | x-2 \right |-2\ln \left | x+1 \right |+c$

Δ=0

Esempio 1

$\int \frac{1}{4x^2+4x+1}\; \mathrm dx$

calcoliamo le radici del denominatore:

$4x^2+4x+1=0\; \rightarrow \; x=-\frac{1}{2}$

quindi:

$4x^2+4x+1=4(x+\frac{1}{2})^2$

tornando all'integrale:

$\int \frac{1}{4x^2+4x+1}\; \mathrm dx=$

$=\frac{1}{4}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2}\; \mathrm dx=$

$=\frac{1}{4}\int (x+\frac{1}{2})^{-2}\; \mathrm dx=$

$=-\frac{1}{4x+2}+c$

Esempio 2

$\int \frac{x}{x^2+2x+1}\; \mathrm dx$

radici del denominatore:

$x^2+2x+1=0\; \rightarrow \; x=-1$

$x^2+2x+1=0\; \rightarrow \; (x+1)^2$

possiamo scomporre in fratti semplici:

$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{\left (x+1 \right )^2}$

da cui:

$\begin{matrix}x=Ax+(A+B)\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}A=1\\ A+B=0\end{matrix}\right.\; \rightarrow \; \left\{\begin{matrix}A=1\\ B=-1\end{matrix}\right.$

si tratta quindi di risolvere i seguenti integrali:

$\int \frac{1}{x+1}\; \mathrm dx-\int \frac{1}{\left (x+1 \right )^2}\; \mathrm dx=$

$=\ln \left | x+1 \right |+\frac{1}{x+1}+c$

Δ<0

Esempio 1

$\int \frac{1}{x^2+2x+2}\; \mathrm dx$

$x^2+2x+2=0\; \rightarrow x=-1\pm j$

$\begin{matrix}x^2+2x+2=(x+1)^2+1\end{matrix}$

da cui:

$\int \frac{1}{(x+1)^2+1}\; \mathrm dx=\arctan \left ( x+1 \right )+c$

Esempio 2

$\int \frac{1-2x}{x^2+2x+5}\; \mathrm dx$

$\frac{1-2x}{x^2+2x+5}=\frac{A(2x+2)+B}{x^2+2x+5}$

$\begin{matrix} 2Ax+2A+B=-2x+1 \end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}2A+B=1\\ 2A=-2\end{matrix}\right.\; \rightarrow \; \left\{\begin{matrix}A=-1\\ B=3\end{matrix}\right.$

l'integrale iniziale diventa:

$\int \frac{1}{x^2+2x+2}\; \mathrm dx=$

$=-\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\; \mathrm dx+3\int \frac{1}{x^2+2x+5}\; \mathrm dx=$

$=-\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\; \mathrm dx+3\int \frac{1}{4\left [\left (\frac{x+1}{2} \right )^2+1 \right ]}\; \mathrm dx=$

$=-\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\; \mathrm dx+\frac{3}{2}\int \frac{\frac{1}{2}}{\left [\left (\frac{x+1}{2} \right )^2+1 \right ]}\; \mathrm dx=$

$=-\ln \left | x^2+2x+5 \right |+\frac{3}{2}\arctan \left ( \frac{x+1}{2} \right )+c$

Esercizio 16

$\int \frac{1}{\sqrt{x}-3}\; \mathrm dx$

integriamo per sostituzione $\left [ \int f(x)\; \mathrm dx \right ]_{x=g(t)}=\int f(g(t))g\; ^{\prime }(t)\; \mathrm dt$ :

$\begin{matrix}\sqrt{x}=t\\g(t)=x=t^2 \\ g\; ^{\prime }(t)=2t\end{matrix}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x}-3}\; \mathrm dx=\int \frac{1}{t-3}\cdot 2t\; \mathrm dt=$

$=2\int \frac{t-3+3}{t-3}\; \mathrm dt=$

$=2\int \mathrm dt+3\int \frac{1}{t-3}\; \mathrm dt=$

$=2t+6\ln \left | t-3 \right |+c$

ma essendo $t=\sqrt x$ :

$\int \frac{1}{\sqrt{x}-3}\; \mathrm dx=2\sqrt{x}+6\ln \left | \sqrt{x}-3 \right |+c$

Esercizio 17

$\int \frac{x+\sqrt{2x-1}}{x-\sqrt{2x+1}}\; \mathrm dx$

integriamo per sostituzione:

$\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=t\\g(t)=x=\frac{t^2+1}{2} \\ g\; ^{\prime }=t \end{matrix}$

quindi si tratta di risolvere:

$\int \frac{\frac{t^2+1}{2}+t}{\frac{t^2+1}{2}-t}\cdot t\; \mathrm dt=$

$=\int \frac{t^3+2t^2+t}{t^2-2t+1}\; \mathrm dt$

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

$\frac{t^3+2t^2+t}{t^2-2t+1}=t+4+\frac{8t-4}{t^2-2t+1}$

quindi si tratta di risolvere i seguenti integrali:

$\int t\; \mathrm dt+4\int \mathrm dt +\int \frac{8t-4}{t^2-2t+1}\; \mathrm dt=$

$=\frac{t^2}{2}+4t+\int \frac{8t-4}{t^2-2t+1}\; \mathrm dt$

risolviamo l'integrale rimasto attraverso i fratti semplici (Δ=0):

$\frac{8t-4}{t^2-2t+1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^{2}}$

che risolto ci porta a:

$\left\{\begin{matrix}A=8\\ B=4\end{matrix}\right.$

$\int \frac{8t-4}{t^2-2t+1}\; \mathrm dt=8\int \frac{1}{t-1}\; \mathrm dt+4\int \frac{1}{(t-1)^2}\; \mathrm dt=$

$=8\ln \left | t-1 \right |-\frac{4}{t-1}+c$

la soluzione completa nella variabile t risulta:

$\int \frac{t^3+2t^2+t}{t^2-2t+1}\; \mathrm dt=\frac{t^2}{2}+4t+8\ln \left | t-1 \right |-\frac{4}{t-1}+c$

ed essendo $t=\sqrt {2x-1}$ , la soluzione all'integrale nella variabile x risulta:

$\int \frac{x+\sqrt{2x-1}}{x-\sqrt{2x+1}}\; \mathrm dx=$

$=\frac{2x-1}{2}+4\sqrt{2x-1}+8\ln \left | \sqrt{2x-1}-1 \right |-\frac{4}{\sqrt{2x-1}-1}+c$

Esercizio 18

$\int \sqrt{1-x^2}\; \mathrm dx$

integriamo per sostituzione:

$\begin{matrix}x^2=\sin ^2t\\g(t)=x=\sin t \\ g\; ^{\prime}(t)=\cos t\end{matrix}$

$\int \sqrt{1-\sin^2t}\cdot \cos t\; \mathrm dx$

$\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$

$\int \cos ^2t\; \mathrm dt=$

$\frac{1}{2}(t+\sin t\cos t)+c$

ma essendo:

$\begin{matrix}\sin t=x\\ t=\arcsin x\\ \cos t=\sqrt {1-\sin^2t}=\sqrt{1-x^2}\end{matrix}$

il risultato nella variabile x risulta:

$\int \sqrt{1-x^2}\; \mathrm dx=\frac{1}{2}(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2})+c$

Esercizio 19

$\int \ln (x^3+1)\; \mathrm dx=$

$\int \frac{\mathrm{d} (x)}{\mathrm{d} x}\ln (x^3+1)\; \mathrm dx=$

integriamo per parti:

$=x\ln (x^3+1)-\int x\frac{\mathrm{d} \left [\ln (x^3+1) \right ]}{\mathrm{d} x}\; \mathrm dx=$

$=x\ln (x^3+1)-3\int \frac{x^3{\color{Red} +1-1}}{x^3+1}\; \mathrm dx=$

$=x\ln (x^3+1)-3\int \mathrm dx+3\int \frac{1}{x^3+1}\; \mathrm dx=$

$=x\ln (x^3+1)-3x+3\int \frac{1}{x^3+1}\; \mathrm dx\; \; \; {\color{Blue} (1)}$

occupiamoci dell'integrale sulla destra, essendo l'unico rimasto, e procediamo per fratti semplici:

$x^3+1=(x^3{\color{Red} +x^2-x^2+x-x}+1)=x(x^2-x+1)+(x^2-x+1)=(x^2-x+1)(x+1)$

$\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{(x^2-x+1)(x+1)}=\frac{A(2x-1)+B}{x^2-x+1}+\frac{C}{x+1}$

$\begin{matrix}1=(2A-A+B)(x+1)+C(x^2-x+1)\end{matrix}$

$\begin{matrix}(2A+C)x^2+(A+B-C)x+(B+C-A)=1\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}2A+C=0\\A+B-C=0\\ B+C+-A=1\end{matrix}\right.\; \rightarrow \left\{\begin{matrix}A=-\frac{1}{6}\\ B=\frac{1}{2}\\C=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

quindi:

$\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{3(x+1)}-\frac{x-2}{3(x^2-x+1)}$

da cui:

$\int \frac{1}{x^3+1}\; \mathrm dx=\int \frac{1}{3(x+1)}\; \mathrm dx-\int \frac{x-2}{3(x^2-x+1)}\; \mathrm dx=$

$=\frac{1}{3}\ln \left | x+1 \right |-\frac{1}{3}\int \frac{x-2}{x^2-x+1}\; \mathrm dx$

inseriamo nella ${\color{Blue} (1)}$ quanto trovato:

$x\ln (x^3+1)-3x+\ln \left | x+1 \right |-\int \frac{x-2}{x^2-x+1}\; \mathrm dx\; \; \; {\color{Blue} (2)}$

ancora fratti semplici all'integrale sulla destra:

$\frac{x-2}{x^2-x+1}=\frac{D(2x+1)+E}{x^2-x+1}$

$\begin{matrix}x-2=2Dx-D+E\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}D=\frac{1}{2}\\ E=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$

l'integrale diventa:

$\int \frac{x-2}{x^2-x+1}\; \mathrm dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}\; \mathrm dx-\frac{3}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}\; \mathrm dx=$

$=\frac{1}{2}\ln \left | x^2-x+1 \right |-\frac{3}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}\; \mathrm dx$

ora inseriamo nella ${\color{Blue} (2)}$ quanto trovato:

$x\ln (x^3+1)-3x+\ln \left | x+1 \right |-\frac{1}{2}\ln \left | x^2-x+1 \right |+\frac{3}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}\; \mathrm dx\; \; \; {\color{Blue} (3)}$

ancora dobbiamo sviluppare l'ultimo integrale sulla destra: le radici del denominatore sono:

$x^2-x+1=0\; \rightarrow \; x=\frac{1}{2}\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$

quindi l'integrale può essere essere espresso nella forma:

$\int \frac{1}{x^2-x+1}\; \mathrm dx=\int \frac{1}{\left [ x-\left ( \frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \right ]\left [ x-\left ( \frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \right ]}\; \mathrm dx$

$=\int \frac{1}{\left [ \left (x-\frac{1}{2} \right )+j\frac{\sqrt{3}}{2} \right ]\left [ \left ( x-\frac{1}{2}\right )-j\frac{\sqrt{3}}{2} \right ]}\; \mathrm dx=$

$=\int \frac{1}{\left (x-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}\; \mathrm dx=$

$=\int \frac{1}{\frac{3}{4}\left (\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )^2+1}\; \mathrm dx=$

$=\int \frac{\frac{4}{3}}{\left (\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^2+1}\; \mathrm dx=$

$\frac{2\sqrt{3}}{3}\int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left (\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^2+1}\; \mathrm dx=$

$=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left ( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right )$

inseriamo quanto trovato nella ${\color{Blue} (3)}$ e otteniamo la soluzione completa dell'integrale:

$\int \ln (x^3+1)\; \mathrm dx=$

$=x\ln (x^3+1)-3x+\ln \left | x+1 \right |-\frac{1}{2}\ln \left | x^2-x+1 \right |+\sqrt{3}\arctan \left ( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right )$

Esercizio 20

$\int \arctan (x-1)\; \mathrm dx=$

$=\int \frac{\mathrm{d} (x)}{\mathrm{d} x}\arctan (x-1)\; \mathrm dx=$

$=x\arctan (x-1)-\int x\frac{\mathrm{d} \left [ \arctan (x-1) \right ]}{\mathrm{d} x}\; \mathrm dx=$

$=x\arctan (x-1)-\int \frac{x}{1+(x-1)^2}\; \mathrm dx=$

$=x\arctan (x-1)-\int \frac{x}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx$

scomponiamo in fratti semplici per risolvere l'integrale sulla destra (Δ<0):

$\frac{x}{x^2-2x+2}=\frac{A(2x-2)+B}{x^2-2x+2}$

da cui:

$\begin{matrix}x=2Ax-2A+B\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}2A=1\\ -2A+B=0\end{matrix}\right.\; \rightarrow \; \left\{\begin{matrix}A=\frac{1}{2}\\ B=1\end{matrix}\right.$

l'integrale diventa:

$\int \frac{x}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x-2}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx+\int \frac{1}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx=$

$=\frac{1}{2}\ln \left | x^2-2x+2 \right |+\int \frac{1}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx$

l'ultimo integrale può essere risolto trovando le radici del denominatore:

$\int \frac{1}{x^2-2x+2}\; \mathrm dx=\int \frac{1}{(x-1-j)(x-1+j)}\; \mathrm dx=$

$=\int \frac{1}{(x-1)^2+1}\; \mathrm dx=$

$=\begin{matrix}\arctan (x-1)\end{matrix}$

In definitiva l'integrale vale: $\int \arctan (x-1)\; \mathrm dx=$

$=x\arctan (x-1)-\frac{1}{2}\ln \left | x^2-2x+2 \right |-\arctan (x-1)+c=$

$=(x-1)\arctan (x-1)-\frac{1}{2}\ln \left | x^2-2x+2 \right |+c$

Integrali definiti

Esercizio 1

$\int_{0}^{\pi } \sin^2 x\; \mathrm{d}x=$ ^[1]

$=\left [\frac{1}{2} (x-\cos x\sin x) \right ]_{0}^{\pi }=$

$=\frac{1}{2} (\pi -\cos \pi \sin \pi -0+\cos 0\sin 0)=\frac{\pi }{2}$

Esercizio 2

$\int _{0}^{\pi}\cos^2 x\; \mathrm{d}x=$ ^[2]

$=\left [\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x) \right ]_{0}^{\pi}=$

$=\frac{1}{2}(\pi+\sin \pi \cos \pi-0-\sin0\cos0)=\frac{\pi}{2}$

Esercizio 3

$\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x {\mathrm{d} x}=$ ^[3]

$=\left [-\cos x+\frac{\cos^3x}{3} \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$

$=-\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3}\cos^3\frac{\pi}{2}+\cos0-\frac{1}{3}\cos^30=$

$=0+0+1-\frac{1}{3}=\frac {2}{3}$

Esercizio 4

$\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^4x\; \mathrm{d} x=$ ^[4]

$=\left [-\frac{1}{4}\cos x\sin ^3x+\frac{3}{8}(x-\sin x \cos x) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$

$=\frac{3}{16}\pi$

Esercizio 5

$\int _{0}^{1}\arctan x\; \mathrm{d}x=$ ^[5]

$=\left [x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left ( 1+x^2 \right ) \right ]_{0}^{1}=$

$=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\ln 2-0+0=$

$=\frac{1}{4}\left ( \pi-2\ln 2 \right )=\frac{1}{4}\left ( \pi-\ln 4 \right )$

Esercizio 6

$\int_{2}^{3}\ln x\; \mathrm dx=$

$=\left [ x\ln x-x \right ]_{2}^{3}=$

$\begin{matrix}=3\ln 3-3-2\ln 2+2=\end{matrix}$

$\begin{matrix} \ln 27-\ln 4-1= \end{matrix}$

$=\ln \frac{27}{4}-1$

Esercizio 7

$\int _{0}^{e}x^2e^x\; \mathrm {d}x=$ ^[7]

$=\left [x^2e^x-2xe^x+2e^x \right ]_{0}^{e}=$

$=e^2\cdot e^e-2e\cdot e^e+2e^e-0\cdot e^0+2\cdot 0\cdot e^0-2e^0=$

$=e^{e+2}-2e^{e+1}+2e^e-2\approx 57{,}9$

Esercizio 8

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\; \mathrm dx=$

integriamo per parti:

$=\left [ e^x\sin x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\; \mathrm dx=$

reintegriamo per parti, scegliendo lo stesso fattore differenziale (e^x):

$=\left [ e^x\sin x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\left [ e^x\cos x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\left (-\sin x \right )\; \mathrm dx=$

nell'ultima espressione, portando fuori il segno meno dall'integrale, ritroviamo lo stesso integrale di partenza, quindi possiamo scrivere:

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\; \mathrm dx=\left [ e^x\sin x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\left [ e^x\cos x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\; \mathrm dx=\frac{1}{2}\{\left [ e^x\sin x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\left [ e^x\cos x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\}=$

$=\frac{1}{2}\left [ e^{\frac{\pi}{2}}\sin \frac{\pi}{2}-0-0+e^0\cos 0 \right ]=\frac{e^{\frac{\pi }{2}}+1}{2}$

Esercizio 9

$\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^2}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\int_{1}^{a }\frac{1}{x^2}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\left [ \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right ]_{0}^{a}=$

$=\lim_{a \to +\infty }\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{0}^{a}=$

$=\lim_{a \to +\infty }\left [ -\frac{1}{a} +1\right ]=1$

Esercizio 10

$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\int_{1}^{a}\frac{1}{\sqrt{x}}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\left [ \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right ]_{1}^{a}=$

$=\lim_{a \to +\infty }2\left [ \sqrt{a} -1\right ]=+\infty$

Esercizio 11

Discutere la convergenza del seguente integrale:

$\int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\; \mathrm dx=$

non potendo trovare facilmente le primitive della funzione, utilizziamo il criterio del confronto per stabilire la convergenza dell'integrale; scegliamo per confrontare la funzione:

$\begin{matrix}g(x)=xe^{-x^2}\end{matrix}$

che risulta maggiore di $e^{-x^2}$ in $[ 1,+\infty )$ . Questo non è un problema, in quanto stiamo studiando il comportamento dell' integrale all'infinito. Vediamo quindi se l'integrale di questa nuova funzione converge:

$\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^2}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\int_{1}^{a}xe^{-x^2}\; \mathrm dx=$

$=-\frac{1}{2}\lim_{a \to +\infty }\int_{1}^{a}(-2x)e^{-x^2}\; \mathrm dx=$

$=-\frac{1}{2}\lim_{a \to +\infty }\left [ e^{-x^2} \right ]_{1}^{a}=$

$=-\frac{1}{2}\lim_{a \to +\infty }\left [ e^{-b^2} -e^{-1}\right ]=\frac{1}{2e}$

La g(x) tende a un valore finito. Per il criterio del confronto anche $\int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\; \mathrm dx$ tenderà a un valore finito, quindi convergerà.

Esercizio 12

Discutere la convergenza dell'integrale improprio:

$\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^6+x^2+1}\; \mathrm dx$

La ricerca delle primitive della f(x) è a dir poco ardua, anche wolframalpha si rifiuta di mostrarci i passaggi. Utilizziamo il criterio del confronto asintotico e troviamo una g(x) che abbia lo stesso comportamento all'infinito:

$g(x)=\frac{1}{x^6}$

e calcoliamo il limite del rapporto:

$\lim_{x \to +\infty }\frac{\frac{1}{x^6+x^2+1}}{\frac{1}{x^6}}=\lim_{x \to +\infty }\frac{x^6}{x^6+x^2+1}=\lim_{x \to +\infty }\frac{x^6}{x^6}\frac{1}{1+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}}=$

$\frac {1}{1+0+0}=1$

il limite è un numero finito diverso da 0, possiamo quindi studiare il carattere di g(x) per definire quello di f(x):

$\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^6}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\int_{1}^{a}\frac{1}{x^6}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to +\infty }\left [ \frac{x^{-6+1}}{-6+1} \right ]_{0}^{a}=$

$=-\frac{1}{5}\lim_{a \to +\infty }\left [ a^{-5}-1^{-5} \right ]=$

$=-\frac{1}{5}\left [ 0-1 \right ]=\frac{1}{5}$

La convergenza dell'integrale di g(x) implica quella dell'integrale di f(x).

Esercizio 13

Determinare la convergenza del seguente integrale:

$\int_{1}^{+\infty }\frac{x^3-2}{x^4+x^2}\; \mathrm dx$

Potremmo risolvere l'integrale, ma visto che è solo da stabilire la convergenza di f(x) applichiamo il criterio del confronto asintotico, per cui scegliamo una g(x) il cui andamento all'infinito sia simile alla funzione data:

$g(x)=\frac{1}{x}$

calcoliamo il limite del rapporto:

$\lim_{x \to +\infty }\frac{\frac{x^3-2}{x^4-x^2}}{\frac{1}{x}}=$

$=\lim_{x \to +\infty }\frac{x^3-2}{x^3-x}=$

$=\lim_{x \to +\infty }\frac{1-\frac{2}{x^3}}{1-\frac{1}{x^2}}=$

$=\frac{1-0}{1-0}=1$

Limite finito e diverso da 0. Studiamo la g(x) per determinare il carattere di f(x):

$\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}=\lim_{c \to +\infty }\int_{1}^{c}\frac{1}{x}=$

$=\lim_{c \to +\infty }\left [ \ln c -\ln 1 \right ]=+\infty$

divergendo l'integrale de g(x), anche l'integrale di f(x) diverge.

Esercizio 14

Studiare il carattere di:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}\; \mathrm dx$

Calcolare le primitive non mi sembra il caso, quindi studiamo quest'integrale attraverso l'assoluta integrabilità, applicabile a funzioni che cambiano segno: quindi studiamo:

$\int_{1}^{+\infty}\left |\frac{\sin x}{x^2} \right |\; \mathrm dx$

il che rende la funzione a termini positivi. Questo ci permette di applicare il criterio del confronto, e scegliamo come funzione di confronto:

$\left |\frac{\sin x}{x^2} \right |\leq \left | \frac{1}{x^2} \right |= \frac{1}{x^2}$

studiamone la convergenza:

$\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^2}\; \mathrm dx=\frac{1}{2-1}=1$

se tale integrale converge anche $\int_{1}^{+\infty}\left |\frac{\sin x}{x^2} \right |\; \mathrm dx$ converge, ma per il criterio di assoluta convergenza anche $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}\; \mathrm dx$ converge.

Esercizio 15

Un particolare integrale: L'integrale di Fresnel:

$\int_{1}^{+\infty}\cos (x^2)\; \mathrm dx$

e vediamo a discapito delle previsioni che quest'integrale converge. Non calcolo le primitive, ma eseguo un procedimento che dovrebbe portarmi a definire la convergenza:

$\int_{1}^{+\infty}\cos (x^2)\; \mathrm dx=$

$=\lim_{m \to +\infty }\int_{1}^{m}\cos (x^2)\; \mathrm dx$

procedo per sostituzione:

$\begin{matrix}x^2=t\\g(t)=x=\sqrt{t} \\ g^{\prime }(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}\end{matrix}$

quindi l'integrale diventa:

$\lim_{n \to +\infty }\int_{1}^{n^2}\frac{\cos t}{2\sqrt{t}}\; \mathrm dt=$

Da notare che anche gli estremi di integrazione subiscono il cambio di variabile. Integriamo per parti:

$\frac{1}{2}\lim_{n \to +\infty }\int_{1}^{n^2}\frac{\mathrm{d} (\sin t)}{\mathrm{d} t}\frac{1}{\sqrt{t}}\; \mathrm dt=$

$=\frac{1}{2}\lim_{n \to +\infty }\left \{\left [ \frac{\sin t}{\sqrt t} \right ]_{1}^{n^2}+\int_{1}^{n^2}\sin t\cdot \frac{1}{2t^{\frac{3}{2}}}\; \mathrm dt \right \}=$

$=\frac{1}{2}\lim_{n \to +\infty }\left \{\left [ \frac{\sin n^2}{n}-\sin 1 \right ]+\frac{1}{2}\int_{1}^{n^2}\frac{\sin t}{t^{\frac{3}{2}}}\; \mathrm dt \right \}=$

$=\frac{1}{2}\left \{0-\sin 1+\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin t}{t^{\frac{3}{2}}}\; \mathrm dt \right \}=$

$=-\frac{1}{2}\sin 1+\frac{1}{4}\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin t}{t^{\frac{3}{2}}}\; \mathrm dt=$

soffermiamoci sull'integrale rimasto; un integrale di quel tipo è risolvibile allo stesso modo dell'esercizio precedente, ovvero applicando dapprima il criterio di assoluta convergenza, e poi quello del confronto. In linea di massima integrali impropri del tipo:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin t}{t^\alpha }\; \mathrm dt$

convergono quando $α > 1$ . Ed è il nostro caso, essendo $\frac {3}{2}>1$ . L'integrale di Fresnel converge.

Esercizio 16

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx$

si tratta di trovare l'area di piano compresa tra l'asse x e la funzione data

figura 1

dove gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione. Applichiamo quindi il limite, e dividiamo l'integrale in due integrali indicando con c un generico punto compreso nell'intervallo ]-1,1[:

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx=$

$=\int_{-1}^{c}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx +\int_{c}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to -1^+ }\int_{a}^{c}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx +\lim_{b \to 1^- }\int_{c}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \mathrm dx=$

$=\lim_{a \to -1^+ }\left [ \arcsin x \right ]_{a}^{c} +\lim_{b \to 1^- }\left [ \arcsin x \right ]_{c}^{b} =$

$=\lim_{a \to -1^+ }\left [ \arcsin c-\arcsin a \right ]+\lim_{b \to 1^- }\left [ \arcsin b-\arcsin c \right ]=$

$\begin{matrix}=\arcsin c-\arcsin (-1) +\arcsin (1)-\arcsin c=\end{matrix}$

$-\left (-\frac{\pi}{2} \right )+\frac{\pi}{2}=\pi$

Bibliografia e Sitografia

Appunti di Analisi matematica.
Elementi di Analisi matematica I e II ; Marcellini-Sbordone
Metodi di integrazione ; Zeno Martini, EY
Analisi matematica attraverso gli esercizi; Zeno Martini, EY
Wolframalpha.com

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Poche parole e più integrali

Indice

Abstract

Integrali indefiniti

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esempio 1

Esempio 2

Esercizio 12

Esercizio 13

Esercizio 14

Esercizio 15

Risoluzione attraverso fratti semplici

Δ>0

Δ=0

Δ<0

Esercizio 16

Esercizio 17

Esercizio 18

Esercizio 19

Esercizio 20

Integrali definiti

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Esercizio 13

Esercizio 14

Esercizio 15

Esercizio 16

Bibliografia e Sitografia

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