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Indice

1 Prefazione
2 Il radiante
3 La circonferenza trigonometrica
4 La funzione seno
5 La funzione coseno
6 La funzione tangente
7 La funzione cotangente
8 Gli archi associati
9 Angoli ricorrenti
10 Un pò di formule
11 Bibliografia

Prefazione

Non molto tempo fa trovandomi a studiare matematica per gli esami di analisi dopo anni dalle scuole superiori una delle tante difficoltà che ho incontrato per prime è stata il ripasso di trigonometria, così ho pensato di condividere una serie di appunti che potrebbero essere utili a chi come me si trova o si troverà ad affrontare tali studi o semplicemente ha voglia di rinfrescare la memoria sugli argomenti che tratterò.

Il radiante

Prima di tutto definiamo cosa è un radiante, unità di misura che ci accompagnerà a lungo negli studi.
Un radiante è definito come la misura dell' angolo al centro $\widehat{AOP}$ quando l' arco $A P$ ha una lunghezza pari al raggio $r$ della circonferenza.
Da cui si deduce che un angolo di 360° sottende un arco pari a $2π r$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per convertire gradi in radianti basta utilizzare la seguente proporzione:

$g : r = 180:π$

Dove $g$ è l' angolo in gradi ed $r$ l' angolo in radianti

Se abbiamo un angolo in gradi e vogliamo convertirlo in radianti avremo:
$r=\frac{{g}{\pi }}{180}$
Se abbiamo un angolo in radianti e vogliamo convertirlo in gradi avremo:
$g=\frac{{r}{180}}{\pi}$

Di seguito ho riportato la tabella di conversione di alcuni angoli ricorrenti

Angoli in gradi	Angoli in radianti
0°	$0$
15°	$\frac{\pi }{12}$
30°	$\frac{\pi }{6}$
45°	$\frac{\pi }{4}$
60°	$\frac{\pi }{3}$
90°	$\frac{\pi }{2}$
180°	$π$
270°	$\frac{3\pi }{2}$
360°	$2π$

La circonferenza trigonometrica

Consideriamo ora una circonferenze di raggio unitario e centro nell' orgine degli assi X e Y, tale circonferenza viene chiamata Circonferenza trigonometrica.

Consideriamo ora un punto P posizionato su di essa

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Proiettiamo il punto P sull' asse delle ascisse e lo chiamiamo H.

Il segmento $\overline{OH}$ rappresenta il coseno dell' angolo $\widehat{HOP}$

Il segmento $\overline{HP}$ rappresenta il seno dell' angolo $\widehat{HOP}$

Notiamo anche che il punto P sulla circonferenza ha coordinate $P (c o s α, s i n α)$

A questo punto introduciamo il concetto di tangente e cotangente

Il segmento $\overline{AT}$ rappresenta La tangente dell' angolo $\widehat{HOP}$

Il segmento $\overline{BS}$ rappresenta La cotangente dell' angolo $\widehat{HOP}$

$\tan\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }$

$\cot\alpha =\frac{\cos\alpha }{\sin\alpha }$

Tangente

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Cotangente

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La funzione seno

$f (x) = sin x$

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La funzione seno è periodica di periodo 2π

La funzione coseno

$f (x) = cos x$

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La funzione coseno è periodica di periodo 2π

La funzione tangente

$f (x) = tan x$

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La funzione tangente è periodica di periodo π

La funzione cotangente

$f (x) = cot x$

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La funzione cotangente è periodica di periodo π

Gli archi associati

π - α

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$sin(π - α) = sinα$
$cos(π - α) = - cosα$
$tan(π - α) = - tanα$
$cot(π - α) = - cotα$

π + α

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$sin(π + α) = - sinα$
$cos(π + α) = - cosα$
$tan(π + α) = tanα$
$cot(π + α) = cotα$

2π - α

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$sin(2π - α) = - sinα$
$cos(2π - α) = cosα$
$tan(2π - α) = - tanα$
$cot(2π - α) = - cotα$

π/2 - α

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$\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cos\alpha$

$\cos \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha$

$\tan \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha$

$\cot \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha$

π/2 + α

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$\sin \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\alpha$

$\cos \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\sin\alpha$

$\tan \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\cot\alpha$

$\cot \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\tan\alpha$

3π/2 - α

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$\sin \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=-\cos\alpha$

$\cos \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=-\sin\alpha$

$\tan \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha$

$\cot \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha$

3π/2 + α

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\sin \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\cos\alpha$

$\cos \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=\sin\alpha$

$\tan \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\cot\alpha$

$\cot \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\tan\alpha$

Angoli ricorrenti

Angoli in gradi	Angoli in radianti	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
0°	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$
15°	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\sqrt{6}-{\sqrt{2}}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+{\sqrt{2}}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$
30°	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
45°	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
60°	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
90°	$\frac{\pi }{2}$	$1$	$0$	$\infty$	$0$
180°	$π$	$0$	$- 1$	$0$	$\infty$
270°	$\frac{3\pi }{2}$	$- 1$	$0$	$\infty$	$0$
360°	$2π$	$0$	$1$	$0$	$\infty$

Un pò di formule

Prima relazione fondamentale

$sin 2 α + cos 2 α = 1$

Formule di addizione

seno della somma

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$

seno della differenza

$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$

coseno della somma

$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$

coseno della differenza

$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$

tangente della somma

$\tan(\alpha +\beta )=\frac{\tan\alpha +\tan\beta }{1-\tan\alpha \tan\beta }$

tangente della differenza

$\tan(\alpha -\beta )=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1+\tan\alpha \tan\beta }$

Formule di duplicazione

seno del doppio dell' angolo

$sin(2α) = 2sinαcosα$

coseno del doppio dell' angolo

$cos(2α) = cos 2 α - sin 2 α$

tangente del doppio dell' angolo

$\tan(2\alpha )=\frac{2 \tan\alpha }{1-\tan^{2}\alpha }$

Formule di bisezione

seno della metà di un angolo

$\sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha }{2}}$

coseno della metà di un angolo

$\cos\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

tangente della metà di un angolo

$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha }{1+\cos\alpha }}$

Formule Parametriche

Posto
$t=\tan\frac{\alpha }{2}$

formula parametrica del seno

$\sin\alpha =\frac{2t}{1+t^2}$

formula parametrica del coseno

$\cos\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$

formula parametrica della tangente

$\tan\alpha =\frac{2t}{1-t^2}$

Formule di prostaferesi

somma di seni

$\sin \alpha +\sin\beta =2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

differenza di seni

$\sin\alpha -\sin\beta =2\cos\frac{\alpha +\beta }{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}$

somma di coseni

$\cos\alpha +\cos\beta =2 \cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

differenza di coseni

$\cos\alpha -\cos\beta =2 \sin\frac{\alpha +\beta }{2} \sin\frac{\alpha -\beta }{2}$

Formule di werner

$\sin\alpha \sin\beta =\frac{1}{2} \left ( \cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ) \right )$

$\cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2} \left ( \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \right )$

$\sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2} \left ( \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \right )$

Bibliografia

Matematica di base di Giacomo Tommei Edizioni Apogeo
Matematica per i precorsi di Giovanni malafarina Edizioni McGraw-Hill
Istituzioni Di Matematiche di Giuseppe Zwirner Edizioni Cedam
Analitica e trigonometria di Giuseppe Zwirner Edizioni Cedam
Matematica generale di Romano Isler Edizioni Goliardiche
Manuale di metodi matematici di Allevi,Bertocchi,Birolini,Carcano,Gnudi,Moreni Edizioni Giappichelli
PreCalculus di Marco Bramanti Edizioni Esculapio
Elementi di matematica - Questioni fondamentali di Giorgio Giorgi Edizioni Giappichelli

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Appunti di trigonometria

Indice

Prefazione

Il radiante

La circonferenza trigonometrica

La funzione seno

La funzione coseno

La funzione tangente

La funzione cotangente

Gli archi associati

π - α

π + α

2π - α

π/2 - α

π/2 + α

3π/2 - α

3π/2 + α

Angoli ricorrenti

Un pò di formule

Prima relazione fondamentale

Formule di addizione

seno della somma

seno della differenza

coseno della somma

coseno della differenza

tangente della somma

tangente della differenza

Formule di duplicazione

seno del doppio dell' angolo

coseno del doppio dell' angolo

tangente del doppio dell' angolo

Formule di bisezione

seno della metà di un angolo

coseno della metà di un angolo

tangente della metà di un angolo

Formule Parametriche

formula parametrica del seno

formula parametrica del coseno

formula parametrica della tangente

Formule di prostaferesi

somma di seni

differenza di seni

somma di coseni

differenza di coseni

Formule di werner

Bibliografia

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