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Appunti di trigonometria

Indice

Prefazione

Non molto tempo fa trovandomi a studiare matematica per gli esami di analisi dopo anni dalle scuole superiori una delle tante difficoltà che ho incontrato per prime è stata il ripasso di trigonometria, così ho pensato di condividere una serie di appunti che potrebbero essere utili a chi come me si trova o si troverà ad affrontare tali studi o semplicemente ha voglia di rinfrescare la memoria sugli argomenti che tratterò.

Il radiante

Prima di tutto definiamo cosa è un radiante, unità di misura che ci accompagnerà a lungo negli studi.
Un radiante è definito come la misura dell' angolo al centro \widehat{AOP} quando l' arco AP ha una lunghezza pari al raggio r della circonferenza.
Da cui si deduce che un angolo di 360° sottende un arco pari a r

Per convertire gradi in radianti basta utilizzare la seguente proporzione:

g:r = 180:π

Dove g è l' angolo in gradi ed r l' angolo in radianti


Se abbiamo un angolo in gradi e vogliamo convertirlo in radianti avremo:
r=\frac{{g}{\pi }}{180}
Se abbiamo un angolo in radianti e vogliamo convertirlo in gradi avremo:
g=\frac{{r}{180}}{\pi}


Di seguito ho riportato la tabella di conversione di alcuni angoli ricorrenti

Angoli in gradi Angoli in radianti
0
15° \frac{\pi }{12}
30° \frac{\pi }{6}
45° \frac{\pi }{4}
60° \frac{\pi }{3}
90° \frac{\pi }{2}
180° π
270° \frac{3\pi }{2}
360°


La circonferenza trigonometrica

Consideriamo ora una circonferenze di raggio unitario e centro nell' orgine degli assi X e Y, tale circonferenza viene chiamata Circonferenza trigonometrica.

Consideriamo ora un punto P posizionato su di essa


Proiettiamo il punto P sull' asse delle ascisse e lo chiamiamo H.

Il segmento \overline{OH} rappresenta il coseno dell' angolo \widehat{HOP}

Il segmento \overline{HP} rappresenta il seno dell' angolo \widehat{HOP}

Notiamo anche che il punto P sulla circonferenza ha coordinate P(cosα,sinα)

A questo punto introduciamo il concetto di tangente e cotangente

Il segmento \overline{AT} rappresenta La tangente dell' angolo \widehat{HOP}

Il segmento \overline{BS} rappresenta La cotangente dell' angolo \widehat{HOP}

\tan\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }

\cot\alpha =\frac{\cos\alpha }{\sin\alpha }


Tangente




Cotangente




La funzione seno


f(x) = sinx


La funzione seno è periodica di periodo 2π

La funzione coseno


f(x) = cosx


La funzione coseno è periodica di periodo 2π

La funzione tangente


f(x) = tanx


La funzione tangente è periodica di periodo π

La funzione cotangente


f(x) = cotx


La funzione cotangente è periodica di periodo π

Gli archi associati

π - α


sin(π − α) = sinα
cos(π − α) = − cosα
tan(π − α) = − tanα
cot(π − α) = − cotα


π + α


sin(π + α) = − sinα
cos(π + α) = − cosα
tan(π + α) = tanα
cot(π + α) = cotα


2π - α


sin(2π − α) = − sinα
cos(2π − α) = cosα
tan(2π − α) = − tanα
cot(2π − α) = − cotα


π/2 - α


\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cos\alpha

\cos \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha

\tan \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha

\cot \left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha


π/2 + α


\sin \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\alpha

\cos \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\sin\alpha

\tan \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\cot\alpha

\cot \left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=-\tan\alpha


3π/2 - α




\sin \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=-\cos\alpha

\cos \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=-\sin\alpha

\tan \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha

\cot \left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha

3π/2 + α




\sin \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\cos\alpha

\cos \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=\sin\alpha

\tan \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\cot\alpha

\cot \left ( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right )=-\tan\alpha



Angoli ricorrenti

Angoli in gradi Angoli in radianti Seno Coseno Tangente Cotangente
0 0 1 0 \infty
15° \frac{\pi }{12} \frac{\sqrt{6}-{\sqrt{2}}}{4} \frac{\sqrt{6}+{\sqrt{2}}}{4} 2-\sqrt{3} 2+\sqrt{3}
30° \frac{\pi }{6} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45° \frac{\pi }{4} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1
60° \frac{\pi }{3} \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{2} \sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

90° \frac{\pi }{2} 1 0 \infty 0
180° π 0 − 1 0 \infty
270° \frac{3\pi }{2} − 1 0 \infty 0
360° 0 1 0 \infty

Un pò di formule

Prima relazione fondamentale

sin2α + cos2α = 1


Formule di addizione

seno della somma

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

seno della differenza

sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ

coseno della somma

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ

coseno della differenza

cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

tangente della somma

\tan(\alpha +\beta )=\frac{\tan\alpha +\tan\beta }{1-\tan\alpha \tan\beta }

tangente della differenza

\tan(\alpha -\beta )=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1+\tan\alpha \tan\beta }

Formule di duplicazione

seno del doppio dell' angolo

sin(2α) = 2sinαcosα

coseno del doppio dell' angolo

cos(2α) = cos2α − sin2α

tangente del doppio dell' angolo

\tan(2\alpha )=\frac{2 \tan\alpha }{1-\tan^{2}\alpha }


Formule di bisezione

seno della metà di un angolo

\sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha }{2}}

coseno della metà di un angolo

\cos\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}

tangente della metà di un angolo

\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha }{1+\cos\alpha }}


Formule Parametriche


Posto
t=\tan\frac{\alpha }{2}

formula parametrica del seno

\sin\alpha =\frac{2t}{1+t^2}

formula parametrica del coseno


\cos\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}

formula parametrica della tangente


\tan\alpha =\frac{2t}{1-t^2}


Formule di prostaferesi

somma di seni

\sin \alpha +\sin\beta =2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}

differenza di seni

\sin\alpha -\sin\beta =2\cos\frac{\alpha +\beta }{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}

somma di coseni

\cos\alpha +\cos\beta =2 \cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}

differenza di coseni

\cos\alpha -\cos\beta =2 \sin\frac{\alpha +\beta }{2} \sin\frac{\alpha -\beta }{2}


Formule di werner

\sin\alpha \sin\beta =\frac{1}{2} \left ( \cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ) \right )

\cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2} \left ( \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \right )

\sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2} \left ( \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \right )


Bibliografia

Matematica di base di Giacomo Tommei Edizioni Apogeo
Matematica per i precorsi di Giovanni malafarina Edizioni McGraw-Hill
Istituzioni Di Matematiche di Giuseppe Zwirner Edizioni Cedam
Analitica e trigonometria di Giuseppe Zwirner Edizioni Cedam
Matematica generale di Romano Isler Edizioni Goliardiche
Manuale di metodi matematici di Allevi,Bertocchi,Birolini,Carcano,Gnudi,Moreni Edizioni Giappichelli
PreCalculus di Marco Bramanti Edizioni Esculapio
Elementi di matematica - Questioni fondamentali di Giorgio Giorgi Edizioni Giappichelli

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Commenti e note

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di ,

Nessuna colpa ma solo meriti! È stato fatto un gran bel lavoro che sarà utile a tanti!

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di ,

Ma figurati Pietro hai fatto fin troppo :)

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di ,

E' colpa mia, mi sono completamente sfuggiti durante il controllo!! Sorry!

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di ,

Vero mi erano sfuggiti

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di ,

Penso non si capisca nulla da come si è formattato il commento, non si sono inseriti gli spazi. Il succo è comunque controllare le prime due relazioni degli archi associati: (pigreco/2 + a) e (3/2 pigreco - a).

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di ,

Oltre a quelli Massimo ho notato anche dei refusi sui precedenti archi: sin (pigreco/2 + a) = cos a cos (pigreco/2 + a) = - sin a sin (3/2 pigreco - a) = - cos a cos (3/2 pigreco - a) = - sin a Perdona la forma ma delle relazioni, dallo smartphone i simboli non posso inserirli. Un saluto...

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di ,

Vero vince89 ho copiato male da latex grazie...modificato

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di ,

Innanzitutto complimenti per l'articolo Massimo, chiaro e molto utile. Ti volevo solo segnalare che, secondo me, nel paragrafo degli archi associati negli ultimi tre casi sono presenti degli errori, sicuramente refusi. Non riesco ad essere mirato perché dalla tastiera del cellulare mi viene difficile scrivere le relazioni. Un saluto!

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di ,

Direi che l'hai fatto apposta per me che passo il tempo su un libro consigliato proprio dal qui presente Pietro! Grazie Massimo.

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di ,

Grazie mille Pietro anche per la pazienza che hai avuto nel dargli un' occhiata prima che venisse pubblicato.

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di ,

Ottimo riferimento per le formule che non mi ricordo mai! Grazie

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