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Premessa & disclaimer

Questo articolo fa seguito a questa idea di admin di creare dei Bignami ad uso e consumo degli utenti di EY.
Nello specifico cercherò di riassumere in maniera più corretta possibile i concetti che sono alla base dell'elettronica digitale
Questi deriveranno, nella maggior parte dei casi, dal mio percorso di studi, per cui saranno, giocoforza, limitati ad un livello di insegnamento da Istituto Tecnico della seconda metà degli anni '80 del secolo scorso.

Grossomodo la suddivisione di questo Bignami la vorrei impostare così:

Teoria degli insiemi
Algebra Booleana
Porte logiche elementari: logica AOI - NAND - NOR - EXOR/EXNOR
Circuiti combinatori: tecniche di progetto
Sistemi di numerazione e codifica delle informazioni
Logica sequenziale (Flip Flop - Registri a scorrimento - Contatori)
I circuiti di memoria
Circuiti a media scala di integrazione (Sommatori - Sottrattori - Convertitori - Multiplexer - ...)
Caratteristiche elettriche dei dispositivi reali: i datasheet

... ovviamente ci vorrà il suo tempo per completarlo tutto.

Cercherò di essere il più preciso possibile ma metto già in preventivo che all'interno ci possano essere degli errori (spero veniali) o delle omissioni dovute alla vetustà delle mie nozioni, in entrambi i casi, chiunque li dovesse notare, è pregato di segnalarlo per la dovuta correzione.

Detto questo, vediamo di cominciare...

Prologo

Elementi di teoria degli insiemi

Nota: questo capitolo non è proprio del corso di elettronica digitale, ma è propedeutico per la comprensione dell'algebra booleana, verranno quindi esaminati solo i concetti basilari per tale corso.

Simbologia degli insiemi

Di seguito i principali simboli matematici utilizzati nella teoria degli insiemi

Appartenenza

$\in\;$ si legge "appartiene a"

Esempio Genova $\in\;$ Liguria: Genova appartiene alla Liguria

Non appartenenza

$\notin\;$ si legge "non appartiene a"

Esempio Genova $\notin\;$ Lombardia: Genova non appartiene alla Lombardia

Quantificatore universale & quantificatore esistenziale

$\forall\;$ si legge "per ogni", "qualunque sia"
$\exists\;$ si legge "esiste almeno un"

Esempio $\forall\;$ quaderno $\exists\;$ foglio $\in\;$ quaderno: Per ogni quaderno esiste almeno un foglio appartenente al quaderno stesso.

Implicazione & coimplicazione (o equivalenza logica)

$\Rightarrow\;$ si legge "implica"
$\Leftrightarrow\;$ si legge "se e solo se", "equivale a"

Esempio

Definiamo con A la proposizione "un numero è multiplo di 8" e con B "il numero è pari", possiamo scrivere la relazione

A $\Rightarrow\;$ B: infatti tutti i numeri multipli di 8 sono pari, ma non vale il contrario perchè i numeri pari non sono solo i numeri multipli di 8.

Se però aggiungiamo una proposizione C "un numero è multiplo di 2", allora possiamo scrivere la relazione

C $\Leftrightarrow\;$ B: infatti i multipli di 2 sono numeri pari e, viceversa, i numeri pari sono tutti multipli di 2.

Inclusione, unione e intersezione

Nota: L'uso di questi simboli sarà chiarito nel paragrafo che definisce gli insiemi e le operazioni ad esso associate.

$\subset\;$ rappresenta il simbolo di "inclusione"
$\cup\;$ rappresenta il simbolo di "unione"
$\cap$ rappresenta il simbolo di "intersezione"

Insieme

Si definisce Insieme ogni raccolta, classe, aggregato, totalità di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: tali oggetti vengono chiamati elementi dell'insieme.

Esempio

"I libri pubblicati dalla casa editrice XYZ" rappresentano gli elementi di un insieme perchè ben individuati e determinati: devono essere tutti, ma solo, quelli pubblicati dalla casa editrice XYZ.

Viceversa "I libri divertenti" non rappresentano gli elementi di un insieme in quanto il concetto di "divertente" non può essere determinato con esattezza: ognuno ne ha un concetto personale.

Sottoinsiemi, inclusioni

Consideriamo due insiemi A e B: se ogni elemento di A è anche elemento di B, ma non viceversa, allora si dice che A è incluso in B, cioè A è un sottoinsieme (proprio) di B.
La notazione per indicare questa condizione è: $A\;\subset\;B$

Esempio: B contiene le lettere dell'alfabeto e A contiene le vocali, allora A è incluso in B e ne rappresenta un sottoinsieme (proprio).

Nel caso particolare in ogni elemtno di A è anche elemento di B e ogni elemento di B è anche elemento di A, cioè $A\;\subset\;B$ e $B\;\subset\;A\;$ , allora i due insiemi sono uguali e si scrive $A = B\;$ : in questo caso A è sottoinsieme improprio di B e viceversa.

Complemento o insieme complementare

Sia A un sottoinsieme di B, si chiama complemento (o complementare) di A in B l'insieme di tutti gli elementi di B che non appartengono ad A, e si indica con $\overline{A}$
Quindi, riprendendo l'esempio precedente, se B rappresenta tutte le lettere dell'alfabeto e A, sottoinsieme di B, rappresenta le vocali, $\overline{A}\;$
conterrà tutte le consonanti.
Da notare che il complementare rappresenta anche l'insieme differenza tra l'insieme di partenza B e il suo sottoinsieme A: $\overline{A}\;= B\; - A\;$

Insieme vuoto

Un insieme vuoto è un insieme privo di elementi e si indica con $\empty$

Operazioni fondamentali con gli insiemi

Intersezione

Dati due insiemi A e B, si chiama intersezione l'insieme di elementi che appartengono sia ad A che a B e si indica con la dicitura $A\;\cap\;B\;$ .
Quindi, chiamato C questo insieme e indicando con x i suoi elementi, simbolicamente, la suddetta definizione si può scrivere:
$C\; = A\;\cap\;B\;= \mathcal {f}\;x\;|\;\forall\;x\;\in\;A\; e \;\forall\;x\;\in\;B\;\mathcal{g}$

Esempio: L'insieme A contiene le lettere dell'alfabeto maiuscole e minuscole e B contiene i numeri interi da 0 a 9 e le vocali minuscole, l'insieme $C\; = A\;\cap\;B\;$ conterrà le vocali minuscole, in quanto presenti sia in A che in B.

Nel caso in cui non esistano elemnti comuni in A e B, allora $A\;\cap\;B\;=\;\empty\,$ e gli insiemi A e B vengono definiti disgiunti.
L'operazione può essere eseguita anche su un numero di insiemi maggiore di 2.

Unione

Dati due insiemi A e B, si chiama unione l'insieme di elementi appartenenti almeno ad A oppure almeno a B e si indica con la dicitura $A\;\cup\;B\;$ .
Quindi, chiamato C questo insieme e indicando con x i suoi elementi, simbolicamente, la suddetta definizione si può scrivere:
$C\; = A\;\cup\;B\;= \mathcal {f}\;x\;|\;\exists\;x\;\in\;A\; oppure \;\exists\;x\;\in\;B\;\mathcal{g}$
Considerando l'esempio precedente, utilizzato per l'operazione di intersezione, l'insieme $C\; = A\;\cup\;B\;$ conterrà le lettere dell'alfabeto minuscole e maiuscole e i numeri interi da 0 a 9. Come per l'operazione precedente, anche l'operazione di unione può essere eseguita su un numero di insiemi maggiore di 2.

Proprietà delle operazioni fondamentali

Qui di seguito vengono solo elencate le proprietà delle operazioni fondamentali sugli insiemi, il cui approfondimento è demandato al capitolo sull'algebra booleana.

Proprietà di idempotenza

$A \cap A = A$
$A \cup A = A$

Proprietà commutativa

$A \cap B = B \cap A$
$A \cup B = B \cup A$

Proprietà associativa

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

Legge di assorbimento

$A \cap (A \cup B) = A$
$A \cup (A \cap B) = A$

Proprietà distributiva

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Complementarietà

Nota: A sottoinsieme di B
$A \cap \overline {A} = \empty$
$A \cup \overline {A} = B$

Leggi di De Morgan

$\overline {A \cap B} = \overline {A} \cup \overline {B}$
$\overline {A \cup B} = \overline {A} \cap \overline {B}$

Con questo concludo questa primissima parte, sperando che l'iniziativa possa interessare ci tengo a precisare che qualsiasi contributo è ben accetto.

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