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Indice

1 Introduzione
2 Teorema di Zambon
3 Esempi

Introduzione

Qualche giorno fa, facendo una lezione ad alcuni studenti sulla maglia standard di polarizzazione di un BJT, mi sono imbattuto in una serie di calcoli e semplificazioni che alla fine mi hanno portato a una formulina che mi è parsa carina e utile, per la sua semplicità.

In sostanza, consente di calcolare velocemente e "a occhio" (data la semplicità) il livello massimo di tensione all'ingresso di un amplificatore BJT classico per la quale lo stadio funziona ancora in zona attiva (linearità).

Per gioco, visto che non mi era mai capitato di trovare una cosa simile sui testi, e visto che sono megalomane (:P) ho deciso d formulare il "Teorema di Zambon", dove ovviamente Zambon è il mio cognome. Sono assolutamente certo che da qualche parte qualcuno questi semplici conti li avrà già fatti, nel caso segnalatemelo che cambio immediatamente il nome al Teorema...non vorrei mai violare un copyright :)

Teorema di Zambon

Definizioni

Dato un transistor BJT NPN in configurazione di amplificatore invertente con degenerazione di emettitore
Detta $V e q$ la tensione del punto centrale del partitore di polarizzazione
Detta $R e q$ la resistenza equivalente del partitore di ingresso
Detta $v C C$ la tensione di alimentazione
Detto G il valore assoluto del guadagno dello stadio amplificatore $\frac{R_{c}}{R_{e}}$

Ipotesi

Nell'ipotesi che $β R e > > R e q$

Tesi

Il transistor sarà in zona attiva finché sarà vero che:

$V_{eq} < \frac{V_{cc}}{1 + G} + V_{be}$

Dimostrazione

Prendiamo il classico amplificatore a BJT in classe A, con degenerazione di emettitore e trasformiamolo con Thevenin come indicato in figura:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nella seconda figura si vede come il segnale di ingresso non faccia altro che variare (normalmente di poco) la tensione $V e q$ del generatore equivalente. Verifichiamo allora per quale $V e q$ minima il transistor entrerà in saturazione, ed avremo così una soglia superiore per la dinamica del segnale di ingresso. Supponiamo quindi il transistor in zona attiva:

Dalla maglia di ingresso otteniamo facilmente:

$I_{b} = \frac{V_{eq} - R_{e}I_{e} - V_{be}}{R_{eq}}$

e ricordando che in zona attiva avremo:

$I c = I e = β I b$ avremo

$I_{b} = \frac{V_{eq} - \beta R_{e}I_{b} - V_{be}}{R_{eq}}$

da cui, con qualche semplice calcolo otterremo:

$I_{b} = \frac{V_{eq} - V_{be}}{R_{eq} + \beta R_{e}}$

Che diventa, vista l'ipotesi $β R e > > R e q$ :

$I_{b} \simeq \frac{V_{eq} - V_{be}}{\beta R_{e}}$ (1)

Dalla maglia d'uscita, ora:

$V c e = V c c - R c I c - R e I e = V c c - β R c I b - β R e I b$

Da cui semplicemente:

$I_{b} = \frac{V_{cc} - V_{ce}}{\beta (R_{c} + R_{e})}$ (2)

Unendo ora la (1) e la (2)

$V_{cc} - V_{ce}= \frac{\beta(R_{c} + R_{e})}{\beta R_{e}}(V_{eq} - V_{be})$

Eliminando beta e imponendo $G = \frac{R_{c}}{R_{e}}$

$V_{ce} \simeq V_{cc} - (1 + G)(V_{eq} - V_{be})$

Per assicurarci che il transistor sia in zona attiva, dovremo avere:

$V c e > V c e S a t$

Dunque, lo stadio funzionerà in linearità fino a che:

$V c c - (1 + G)(V e q - V b e) > V c e S a t$

Cioè fino a che:

$V_{eq} \leq \frac{V_{cc} - V_{ceSat}}{(1 + G)} + V_{be}$

Considerando trascurabile $V c e S a t$ rispetto a $V c c$ , avremo dunque infine la tesi:

$V_{eq} \leq\frac{V_{cc}}{(1 + G)} + V_{be}$

Considerazioni sulle ipotesi

Le ipotesi per le semplificazioni fatte nell'enunciato e poi nello svolgimento sono sostanzialmente due:

$β R e > > R e q$

Questa ipotesi è da considerarsi poco limitativa, infatti $β R e$ è la resistenza di ingresso dello stadio amplificatore, mentre $R e q$ è quella d'uscita del partitore. Va da sè che nella progettazione oculata l'ipotesi fatta verrà quasi sempre soddisfatta.

$V c e S a t$ trascurabile rispetto a $V c c$

Visto che $V c e S a t$ è normalmente dell'ordine di una-due centinaia di millivolt, basta una $V c c$ di un paio di volt per essere certi che l'ipotesi sia soddisfatta.

Applicazioni

Il Teorema, per così chiamarlo, credo possa tornare utile didatticamente nella risoluzione di diversi esercizi:

Determinare lo stato di funzionamento di un transistor nella configurazione trattata
Determinare la dinamica di ingresso di un amplificatore BJT (nella configurazione trattata)
A partire dalla dinamica del segnale di ingresso, determinare l'alimentazione minima conoscendo il guadagno o il guadagno massimo conoscendo l'alimentazione

Esempi

1 - Determinare la Vcc massima per cui il seguente transistor funzioni in zona attiva:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Risoluzione

$G = \frac{R_{c}}{R_{e}} = \frac{10 \rm{k}}{1 \rm{k}} = 10$

$V_{eq} = \frac{V_{cc}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} = \frac{V_{cc}10 \rm{k}}{20 \rm{k}} = \frac{V_{cc}}{2}$

Imponiamo $V_{eq} < \frac{V_{cc}}{1 + G} + V_{be}$

ottenendo:

$\frac{V_{cc}}{2} < \frac{V_{cc}}{11} + V_{be}$

cioè

$\frac{9V_{cc}}{22} < V_{be}$

cioè

$V_{cc} < \frac{22V_{be}}{9} \simeq 1{,}5 \, \rm{V}$

Strano no? ma torna, del resto la maglia di polarizzazione è sbagliata, le due R uguali causano il problema. Per esercizio, lo studente può provare a modificare i valori della maglia di polarizzazione e vedere come cambia il risultato.

2 - Determinare la il guadagno massimo per cui il seguente transistor funziona in linearità (zona attiva):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Abbiamo un segnale di ingresso di 1V pp. Ricordando che i risultati ottenuti saranno validi per $β R e > > R e q$ , calcoliamo dalla maglia di ingresso:

$V_{eq} = 12 \frac{2\rm{k}2}{12 \rm{k}2} \simeq 2 \, \rm{V}$

Dunque, sommando a questa il valore di picco del segnale di ingresso, avremo che

$V_{maxIn} = 2 \, \rm{V} + 1 \, \rm{V} = 3 \, \rm{V}$

Dal teorema, il transistor funzionerà in linjearità dunque se:

$3 \leq \frac{12}{1 + G} + 0{,}6$

da cui, specificando G:

$3 + 3G \leq 12 + 0{,}6 + 0{,}6G ==> 2{,}4G \leq 9 ==> G \leq \frac{9}{2{,}4} \simeq 3{,}75$

Verifichiamo il risultato:

scegliamo G = 3, con $R e = 1 k$ e $R c = 3 k$ e supponiamo $β = 100$ . Verifichiamo che $β R e > > R e q$ , che è valida in quanto 100k >> del parallelo fra 2k2 e 10k. Applichiamo ora i calcoli di maglia per verificare che il teorema funzioni:

Consideriamo il circuito equivalente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

avremo, trascurando $I b$ :

$I_{c} = I_{e} = \frac{3 - 0{,}6}{1k} = 2{,}4 \, \rm{mA}$ $V_{c} = 12 - 3 \, \rm{k} \Omega \times 2.4mA = 4{,}8 \, \rm{V}$

e quindi

$V_{ce} = 4{,}8 - 2{,}4 = 2{,}4 \, \rm{V}$ che conferma quanto detto, il transistor è in zona attiva.

Poniamo ora G = 4 mettendo $R_{c} = 4 \, \rm{k}\Omega$ , e usiamo le forumule precedenti: se otterremo un assurdo, vorrà dire che il transistor non sarà più in zona attiva:

$V_{c} = 12 - 4 \, \rm{k} \Omega \times 2.4 \rm{mA} = 2{,}4 \, \rm{V}$

e quindi $V_{ce} = 2{,}4 - 2{,}4 = 0 \, \rm{V}$ che conferma quanto detto, il transistor è in saturazione.

Ovviamente, provando con $G = 3,75$ mettendo $R_{c} = 3{,}5 \, \rm{k} \Omega$ : $V_{c} = 12 - 3{,}75 \rm{k} \Omega \times 2{,}4 \, \rm{mA} = 9 \, \rm{V}$

e quindi: $V_{ce} = 3 - 2{,}4 = 0{,}6 \, \rm{V}$ non perfettamente sulla soglia della saturazione, ma abbastanza vicino da rendere il risultato valido.

Conclusioni

Questo è ovviamente solo un gioco, ma ho voluto condividerlo con voi perché i miei studenti, alla fine, hanno molto apprezzato la semplificazione che deriva dall'applicazione di questo procedimento agli esercizi più comuni. Certo, non essendo un procedimento standard noto (credo), poi se lo useranno agli esami dovranno essere pronti a dimostrarne la validità, ma questo è un altro discorso :)

In generale, oltre alla mera applicazione pratica, ritengo sia utile in quanto evidenzia come il punto di lavoro di un transistor dipenda dal guadagno dello stadio e dalla tensione di alimentazione, e come tale tensione limiti de facto il guadagno massimo del singolo stadio a transistor.

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Punto di saturazione transistor BJT

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Introduzione

Teorema di Zambon

Definizioni

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Esempi

1 - Determinare la Vcc massima per cui il seguente transistor funzioni in zona attiva:

Risoluzione

2 - Determinare la il guadagno massimo per cui il seguente transistor funziona in linearità (zona attiva):

Conclusioni

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