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Come promesso e' arrivato il momento di descrivere la fisica della generazione di campi elettromagnetici da parte di una sorgente, consistente in una distribuzione di correnti o cariche nello spazio variabili nel tempo, con una presenza di armoniche in frequenza. Per seguire questo articolo, si presuppone, che il lettore conosca le equazioni di Maxwell e tutti i teoremi vari e le relazioni matematiche, che si trovano nelle trattazioni di campi elettromagnetici In questo modo puo' seguire questo exscursus molto interessante, le cui conclusioni possono essere applicate al calcolo dei campi em. per esempio di dipoli, antenne reali e persino di aperture, usando anche il teorema dell'equivalenza.

Per questo articolo, mi sono avvalso della consulenza di testi autorevoli dell'Universita' della Sapienza di Roma: 1. Antenne e propagazione - Dispense del prof. D'Auria, fine anni '70 e primi anni '80. 2. Lezioni di campi elettromagnetici e circuiti del Prof. Barzilai, fine anni '70 e inizio anni '80.

Indice

1 Condizioni al contorno e teorema dell'equivalenza per campi elettromagnetici.
2 Il teorema dell'equivalenza
3 Calcolo del campo elettromagnetico in un punto P
- 3.1 continua ...

Condizioni al contorno e teorema dell'equivalenza per campi elettromagnetici.

Se abbiamo nello spazio una superficie di discontinuita' che separa due mezzi indicati con 1 e 2, con caratteristiche dielettriche differenti, sono dimostrate le seguenti relazioni:

$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1) = \rho_s$
$\mathbf{n}\times (\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)= \mathbf{J}_s$

in cui la prima esprime la discontinuita' della componente normale del vettore induzione D elettrico, mediante la carica superficiale sulla superficie di separazione dei due mezzi., mentre la seconda stabilisce che la componente tangenziale del campo campo magnetico H subisce una discontinuita' dovuta al presenza di correnti inpresse sulla sua superficie.

Corpo dell'articolo assente

Il teorema dell'equivalenza

Se si ha uno spazio in cui delle sorgenti (cariche o correnti) creano un campo elettromagnetico, puo' costruirsi una superficie che comprende le sorgenti, in modo tale che si puo' imporre all'interno di essa, un campo elettromagnetico nullo ed al suo esterno quello preesistente creato dalle sorgenti stesse.

Fig. 1. Configurazione del teorema di equivalenza.

Ovvero, in parole povere i punti appartenenti a questa superficie diverranno sorgenti equivalenti, che produrranno lo stesso campo creato dalle sorgenti reali preesistenti. E quali saranno queste sorgenti di carica e corrente sulla superficie? Semplice, abbiamo le condizioni al contorno del paragrafo precedente, dove impponiamo ora $D 1$ ed $H 1$ pari a zero, in quanto la superficie da noi costruita non e' che un modo di separare due mezzi differenti. Quindi le nuove sorgenti sulla superficie diverranno:

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{D}= \rho_s$
$\mathbf{n}\times \mathbf{H}= J_s$

In questo modo sapremo anche come calcolare il campo sulle antenne ad apertura di qualunque forma geometrica, perche' sull'apertura stessa potremo sostituire alle sorgenti le componenti normali e tangenziali del campo elettrico e magnetico sull'apertura stessa. Questo perché la formula generale di un campo elettromagnetico in un punto dipende da un integrale, che contiene le sorgenti, in un certo spazio volumetrico e superficiale e quindi se consideriamo o le sorgenti reali, oppure quelle fittizie, scaturite dal teorema dell'equivalenza, possiamo operare con efficacia, a patto di rispettare le geometrie di configurazione spaziale delle sorgenti stesse. Sembra tutto complicato, ma si capira' piu' avanti, quando arriveremo a certe conclusioni fisico - matematiche.

Calcolo del campo elettromagnetico in un punto P

Faremo subito l'assunzione semplificatrice, come ripetiamo, che non vi siano sorgenti di tipo magnetico, ovvero:

$\mathbf{J}_m=0$
$ρ m = 0$

Poi assumeremo che il campo magnetico H derivi da una funzione vettoriale, che chiameremo potenziale vettore A, in modo tale che:

$\mathbf{H} = \nabla\times \mathbf{A} \quad \quad (1)$

Per questo il potenziale vettore A è definito a meno di un gradiente; infatti

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla \phi \quad \quad (2)$

dove $φ$ e' una funzione arbitraria. Infatti calcolando il $\nabla \mathbf{A}^{\prime}$ , si ritrova $\nabla \times \mathbf{A}^{\prime}=0$ , poiché il rotore di un gradiente e' sempre nullo.

Se, nell'equazione di Maxwell nel dominio della frequenza per il campo elettrico E si ha:

$\nabla \times \mathbf{E}=-\rm{j}\omega\mu \mathbf{H}$

e si sostituisce H con la relazione precedente (1), otteniamo:

$\nabla \times (\mathbf{E}+\rm{j} \omega \mu \mathbf{A}) =0$

Poiché l'ultima espressione tra parentesi e' in effetti un vettore irrotazionale, in quanto il suo rotore e' nullo, esso puo' essere espresso, come un gradiente di un potenziale scalare V, come capita per il campo elettrico nella statica.

Per questo vale di conseguenza la formula:

$\mathbf{E} =-\rm{j} \omega \mu \mathbf{A} - \nabla V$

Per la (2) scriviamo:

$\mathbf{E} = -\rm{j} \omega \mu (\mathbf{A}^{\prime}- \nabla \phi)- \nabla V =$
$=-\rm{j} \omega \mu \mathbf{A}^{\prime} - \nabla (V-\rm{j} \omega \mu \phi)$

e per questo si puo' porre

$V^{\prime} = V - \rm{j} \omega \mu \phi$

e quindi E diventa:

$\mathbf{E} = -\rm{j} \omega \mu \mathbf{A}^{\prime} - \nabla V^{\prime}$

Si può passare quindi dalla coppia (A,V) a quella (A',V'), con la cosiddetta trasformazione di Gauge, ovvero:

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \nabla \phi$
$V^{\prime}=V - \rm{j} \omega \mu \phi$

Ma

$\nabla \times \mathbf{H}= \rm{j} \omega \epsilon_c \mathbf{E} = \nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \rm{j} \omega \epsilon_c (- \rm{j} \omega \mu \mathbf{A} - \nabla V) + \mathbf{J}_i$

dove $ε c$ e' la costante dielettrica complessa che contiene anche le perdite (ohmiche e del dielettrico) e $\mathbf{J}_i$ le correnti generatrici impresse in generale (volumiche, superficiali o lineari).

Si ottiene quindi:

$\nabla \nabla \cdot \mathbf{A} - \nabla^2 \mathbf{A} = k^2 - \rm{j} \omega \epsilon_c \nabla V + \mathbf{J}_i$

con $k 2 = ω 2 με c$

A e V sono tali da soddisfare la seguente condizione di Lorentz, utile a disaccoppiare le equazioni del potenziale vettore A da quello scalare V.

$\nabla \mathbf{A} = - \rm{j} \omega \epsilon_c V$ , che rigirata da

$V = - \frac{\nabla \mathbf{A}}{\rm{j} \omega \epsilon_c}$

Manipolando ancora un po' si arriva alla condizione di Helmholtz non omogenea per il potenziale vettore A. ossia

$\nabla^2 \mathbf{A} + k^2\mathbf{A} = - \mathbf{J}_i$

Abbiamo cosi' le espressioni del campo elettrico E e magnetico H in funzione del potenziale vettore.

$\mathbf{E} = -\rm{j} \omega \mu \mathbf{A} + \frac{\nabla \nabla \cdot \mathbf{A}}{\rm{j} \omega \epsilon_c}=-\rm{j} \omega \mu \left ( \mathbf{A} + \frac{\nabla \nabla \cdot \mathbf{A}}{k^2} \right )$

$\mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}$

Se considerassimo le correnti magnetiche si ottengono formule analoghe per dualita', battezzando un potenziale vettore duale F al posto di A e uno scalare U al posto di V. Per completezza si ottiene:

$\nabla^2 \mathbf{F} + k^2\mathbf{F} = - \mathbf{J}_m$

$\mathbf{H} = -\rm{j} \omega \epsilon_c \mathbf{F} + \frac{\nabla \nabla \cdot \mathbf{F}}{\rm{j} \omega \mu}=-\rm{j} \omega \epsilon_c \left ( \mathbf{F}+ \frac{\nabla \nabla \cdot \mathbf{F}}{k^2} \right )$

$\mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{F}$

Andando avanti, riduciamoci solo al caso delle sorgenti elettriche e non magnetiche. L'equazione di Helmholtz,del potenziale vettore si riduce ai tre assi cartesiani ognuno di coordinata s=x,y o z, per cui si ha:

$\nabla^2 A_s + k^2A_s = - J_{is}$

Senza stare ad approfondire, questa posizione scalarizzabile diventa lecita, solo se s'ipotizza, come per il momento si desidera, che le correnti irradino solo nello spazio libero. Ponendo

$\mathbf{L} = -( \nabla^2 + k^2)$

$\mathbf{A}_s = \mathbf{f}$

$\mathbf{J}_{is}=\mathbf{h}$ ,

otteniamo $\mathbf{L}\mathbf{f} = \mathbf{h}$

Si definisce ora una funzione di Green G(r,r'), con r punto di osservazione ed r' punto di sorgente, la soluzione di questa equazione:

$L \mathbf{G}(r,r') = \delta(r-r') \quad \quad (3)$

La funzione $G (r, r')$ non e' altro che la risposta impulsiva di campo em., quando applichiamo una sorgente di tipo impulsivo.

Per linearita' una distribuzione di correnti impresse in un volume $τ$ puo' scomporsi in una serie di sorgenti impulsive di ampiezza infinitesima e grazie al principio di sovrapposizione degli effetti il potenziale sara' dato dalla somma dei potenziali dovuti alle singole sorgenti impulsive. Moltiplicando quindi la (3) per h(r') ed integrando sulla superficie delle sorgenti $τ$ nella variabile r', si ottiene:

$\int_{\tau}^{}h(r') L G(r,r')\rm{d}\tau^' = \int_{\tau}^{}h(r') \delta (r-r')\rm{d}\tau^{\prime}$

Dato che L agisce sulla variabile r di osservazione, quest'operatore si pone fuori integrale e confrontando con la precedente relazione

$\mathbf{L}\mathbf{f} = \mathbf{h}$

si puo' porre

$f(r)=\int_{\tau}^{}h(r')G(r-r')\rm{d}\tau^'$

ristabilendo nella precedente relazione, l' equazione di Helmoltz per il potenziale vettore A, con $h (r') = J i (r').$

Fig. 2.Fisica e geometria del problema della funzione di Green.

Tornando al potenziale vettore A_s, come componente cartesiana, nel caso di sorgenti contenute in un volume limitato $τ >$ , le condizioni al contorno sono quelle di Sommerfield, ovvero:

$\lim_{r \to \infty}(r |A_s|) = l$
$\lim_{r \to \infty}\left [ r \left ( \frac{\partial A_s}{\partial r} + \rm{j}kA_s \right ) \right ] = 0$

con

$s = x, y, z$

Evidentemente la prima condizione impone che il potenziale A_s tenda all'infinito verso un valore nullo, come $\frac{1}{r}$ , per considerazioni energetiche, la seconda che l'onda elettromagnetica all'infinito sia un'onda sferica che si allontana radialmente dalle sorgenti.

Se prendiamo la relazione di Helmoltz per la funzione di Green, imponendo il punto di sorgente nell'origine (r'=0), si ottiene:

$-(\nabla^2 + k^2)G(r) = \delta (r)$

Assummendo un sistema a simmetria sferica in coordinate sferiche, poiche l'impulso di corrente in dirac, dipende solo da r e non da $θ$ e $φ$ , di conseguenza essendo anche la funzione di Green dipendente solo da r

$\frac{\partial G}{\partial \theta} = 0$
$\frac{\partial G}{\partial \phi} = 0$
$\mathbf{G}(r) = \mathbf{G}(r)$

ed esprimendo l'operatore nabla in coordinate sferiche, si ottiene, cercando la soluzione per r diverso da zero.

$\frac{1}{r^2}\frac{\rm{d}}{\rm{d}r} \left [ r^2 \frac{\rm{d}G(r)}{\rm{d}r} \right ] + k^2 G(r) = 0$ ,

che manipolando da'

$\frac{1}{r}\frac{\rm{d}}{\rm{d}r} \left [ r^2\frac{\rm{d}G(r)}{\rm{d}r} \right ] + k^2 r G(r) = 0$
(4)

Se s'impone $G 1 (r) = r G (r)$

si trova

$\frac{\rm{d}G_1}{\rm{d}r} = r\frac{\rm{d}G}{\rm{d}r}+G$

$r \frac{\rm{d}G}{\rm{d}r} = \frac{\rm{d}G_1}{\rm{d}r}-G$

Sostituendo e moltiplicando per r quest'ultima relazione con due passaggi si ha:

$r^2\frac{\rm{d}G}{dr}= r\frac{\rm{d}G_1}{\rm{d}r} - G_1$

Sostituendo nella (4), si ottiene finalmente, per k diverso da zero, la semplice equazione differenziale di secondo grado:

$\frac{\rm{d}^2 G_1}{\rm{d}r^2} + k^2 G_1 = 0$

ossia, con soluzione generale:

$G 1 (r) = C 1 exp( - jkr) + C 2 exp(jkr)$

da cui finalmente:

$G(r)=C_1 \frac{\exp(-\rm{j}kr)}{r} + C_2 \frac{\exp(\rm{j}kr)}{r}$

Per determinare $C 1$ e $C 2$ , occorre imporre le condizioni al contorno

La prima

$r | G (r) | = | C 1 exp( - jk R r)exp( - jkr J r) + C 2 exp(jk R r)exp( - jkr J r) | = l$ per r -> $\infty$

con $k = k R + jk J$

deve sottostare al fatto che $C 2 = 0$ per $k J$ diverso da zero (mezzo dissipativo).

La seconda condizione, calcolando la derivata ed il secondo addendo da' alla fine:

$-C_1 \frac{\exp(-\rm{j}kr)}{r}+C_2 \exp(\rm{j}kr) (2\rm{j}k-\frac{1}{r}) = 0$

Perche' all'infinito tenda a zero deve essere $C 2 = 0$ (anche se $k J$ = 0), per cui la soluzione finale e' la semplice espressione:

$G(r)=C_1\frac{\exp(-\rm{j}kr)}{r}$

Determiniamo ora $C 1$ .

Integrando l'equazione di Helmholtz per la funzione di Green, per r'=0 nel volume $τ 0$

$-\int_{\tau_0}^{} \nabla^2 G \, \rm{d}\tau -k^2 \int_{\tau_0}^{}G \, \rm{d}\tau = \int_{\tau0}^{} \delta(r) \rm{d}\tau$

Applicando il teorema della divergenza, la relazione si trasforma per il solo primo integrale ed il terzo

$-\int_{S_0}^{} n \cdot \nabla G \, \rm{d}S- k^2 \int_{\tau_0}^{}G \, \rm{d}\tau = 1$

Si tenga conto che l'integrale di un impulso di dirac $δ(r)$ e' uno se esteso a qualunque volume che lo comprende.

Con un altro passaggio si ha:

$-\int_{S_0}^{} \frac{\partial G}{\partial n} \, \rm{d}S- k^2 \int_{\tau_0}^{} G \, \rm{d}\tau = 1$

Per una sfera di raggio pari a zero, si ottiene:

$-(\frac{\rm{\rm{d}}G}{\rm{\rm{d}}r})_{r=r_0} \int_{S_0}^{} \, \rm{d}S - k^2 \int_{\tau_0}^{} G \, \rm{d}\tau = 1$

Si ha quindi:

$-4 \pi_0^2 (\frac{\rm{d}G}{\rm{d}r})_{r=r_0} - k^2C_1 \int_{0}^{2\pi}\, \rm{d}\phi \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) \, \rm{d}\theta \int_{0}^{r_0} r \exp(-jkr) \, dr = 1$

SE calcoliamo il limite di $r 0$ , che tende a zero per quest'ultima uguaglianza, si ottiene, risovendo gli integrali in $φ$ , $θ$ ed r che $4π C 1 = 1$ e finalmente si ottiene la funzione di Green:

$G(r)= \frac{\exp(-\rm{j}kr)}{4 \pi r}$ , in caso che la sorgente sia collocata nell'origine.

Se invece si considera il vettore che va da ogni punto della sorgente al punto di osservazione, al posto di r, occorre sostituire $| r - r' |$ .

Conoscendo quindi la funzione di Green, si possono finalmente calcolare le componenti del potenziale vettore ed alla fine comporre vettorialmente A, ottenendo l'espressione finale:

$\mathbf{A}(r)= \int_{t}{} \mathbf{J}_i(r^{\prime}) \frac{\exp(- k |r-r^{\prime}|)}{4 \pi|r-r^{\prime}|} \, \rm{d}\tau \quad \quad (5)$

Col potenziale vettore, come visto in precedenza, siamo in grado di calcolare le espressioni del campo elettrico E e del campo magnetico H, in un punto r dello spazio.

Concludiamo con un osservazione per le antenne ad apertura, dove esiste una distribuzione di campo in corrispondenza della sua superficie. Dal teorema di equivalenza, abbiamo visto che possiamo considerare nullo il campo all'interno dell'apertura, mentre all'esterno vige quello effettivo, creato dalla sorgente $J i (r')$ reale. Ma la condizione sulla superficie dell'apertura ci dice che la componente tangenziale del campo magnetico e' la seguente:

$\mathbf{n} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_i(r') \quad \quad (6)$

Possiamo quindi sostituire alla sorgente elettrica $J i$ nell'espressione finale del potenziale vettore A la (6) e quindi conoscendo l'andamento del campo magnetico sull'apertura, abbiamo risolto il problema di calcolare il campo in un punto r dello spazio. Per esempio se il campo sull'apertura come spesso accade, e' un'onda piana TEM (campi E ed H trasversali), la funzione da imporre in H e del tipo $H_0\exp(-k \cdot r')$ : in questo caso in zone lontane si ottiene l'usuale andamento del diagramma di radiazione di tipo $\frac{\sin(x)}{x}$ , per una sezione orizzontale o verticale dello spazio individuato da un sistema cartesiano. Ma queste sono cose che vedremo in prossimi articoli, dove distingueremo due zone di spazio, una vicina all'antenna, zona di Frésnel ed una lontana, quella di Fraunhofer, separate in distanza dal parametro $\frac{2 D^2}{\lambda}$ , dove D e' la norma dell'apertura o dimensione massima (per un rettangolo e' la diagonale, per un cerchio e' il diametro, menter $λ$ e' la lunghezza d'onda. Diremo che nella zona di Frésnel l'ampiezza campo variera' in funzione di r, in maniera oscillatoria a causa del gioco delle fasi dei raggi elettromagnetici, che variano molto rapidamente, mentre in zona di Fraunhofer il campo variera' approssimativamente, come $\frac{1}{r}$ .
Ma saranno altri sviluppi; gia' oggi vi ho tediato abbastanza.

Per proseguire per la parte 2, clicca su continua

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Calcolo del campo em. irradiato da una sorgente distribuita nello spazio (parte 1)

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