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Guadagno ideale e guadagno reale

e = IN + f

$\text{OUT} = e \cdot \text{A}$

$f = \text{OUT} \cdot \text{F}$

Sostituendo la 3 nella 1:

$e = \text{IN} + \text{OUT} \cdot \text{F}$

E sostituendo questa nella 2:

$\text{OUT} = \left[ \text{IN} + \text{OUT} \cdot \text{F} \right] \cdot \text{A} = \text{IN} \cdot \text{A} + \text{OUT} \cdot \text{F} \cdot \text{A}$

$\text{OUT} - \text{OUT} \cdot \text{F} \cdot \text{A} = \text{IN} \cdot \text{A}$

$\text{OUT}(1-A \cdot F) = \text{IN} \cdot \text{A}$

$\text{OUT} = \dfrac{\text{IN} \cdot \text{A}}{1-\text{A} \cdot \text{F}}$

Definendo

$\text{G}_{\text{loop}} = \text{A} \cdot \text{F}$

Si ottiene

$\text{OUT} = \text{IN} \dfrac{A}{1-\text{G}_{\text{loop}}}$

Il guadagno del circuito sarà quindi dato dal:

$\text{G} = \dfrac{\text{OUT}}{\text{IN}} = \dfrac{\text{A}}{1-\text{G}_{\text{loop}}}$

Il guadagno del circuito retroazionato può essere riscritto come:

$\text{G} = \dfrac{A}{1-A \cdot F} = \dfrac {-\dfrac{1} {F}} {-\dfrac{1}{A \cdot F}+1} = \dfrac {-\dfrac{1} {F}} {1-\dfrac{1}{G_{\text{loop}}}}$

Facendo il limite per $G_{\text{loop}} \to +\infty$ si ottiene:

$\lim\limits_{G_{\text{loop}} \to +\infty}G = -\dfrac{1}{F}$

Cioè il guadagno del circuito dipende dalla sola rete di retroazione, mentre il ramo di andata è del tutto ininfluente ai fini del calcolo del guadagno del circuito. Definiremo:

$\text{G}_\text{ideale} = -\dfrac{1}{\text{F}}$

In questo modo il guadagno del circuito potrà essere scritto come:

$\text{G}_\text{reale} = \dfrac{\text{G}_\text{ideale}} {1-\dfrac{1}{G_{\text{loop}}}} \,\!$

$G loop (s) > 1$ , dimostrazione dell'instabilità del circuito

Sia $A (s)$ il guadagno d'andata e $F (s)$ il guadagno del solo ramo di retroazione.

Dimostreremo che se il guadagno d'anello è > 1, il sistema è instabile.

$G(s) = \dfrac{A(s)}{1-G_{\text{loop}}(s)}$

$G_{\text{loop}}(s) = A(s) \cdot F(S)$

Supponiamo che A(s) sia un sistema a singolo polo, mentre F(s) lo supponiamo costante

$A(s) = \dfrac{A_0}{1+s\tau_0}$

$G(s) = \dfrac{A(s)}{1-A(s) F(s)} = \dfrac{A_0}{1+s\tau_0} \cdot \dfrac{1}{1-\frac{A_0\,F_0}{1+s\tau_0}}$

$=\dfrac{A_0}{1+s\tau_0} \cdot \dfrac{1+s\tau_0}{1+s\tau_0-A_0\,F_0} = \dfrac{A_0}{1+s\tau_0-A_0\,F_0}$

Il polo sarà dato dalla s che annula il denominatore

$1+s\tau_0-A_0\,F_0 = 0 \Rightarrow s = \dfrac{-1+A_0\,F_0}{\tau_0} = \dfrac{-1+G_{\text{loop}}(s=0)}{\tau_0}$

Tale polo è reale. Se fosse positivo, il sistema sarebbe instabile (risposta esponenziale crescente). Poichè il denominatore è positivo ( $τ 0 > 0$ ), affinchè il polo sia positivo il numeratore deve essere positivo. Ovvero:

$-1+G_{\text{loop}}(0) > 0 \Rightarrow G_{\text{loop}}(0)>1$

Nei circuiti elettronici, se il guadagno d'anello è > 1, è sufficiente il rumore termico interno ai componenti per far divergere l'uscita all' $\infty$

Se invece $0 < G loop (0) < 1$ , non è detto che il sistema sia instabile e che l'uscita diverga all' $\infty$ . Infatti il segnale di uscita che percorre l'anello torna indietro attenuato.

Da notare che A(s) ha sempre almeno un polo (magari ad alta frequenza), a causa delle capacità parassite dei fili, della capacità tra base e gate di un mosfet, tra gate e drain, tra base e collettore di un BJT, tra base ed emettitore, ecc...

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Retroazione: guadagno ideale, guadagno reale, instabilità per guadagni d'anello > 1

Guadagno ideale e guadagno reale

$G loop (s) > 1$ , dimostrazione dell'instabilità del circuito

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