Si definisce integrale di linea l'integrale, calcolato lungo
una linea di estremi A e B, del prodotto scalare tra il vettore in ogni punto
P della linea ed il versore della tangente in quel punto.
Osservazioni
In generale il valore dell'integrale, oltre che dagli estremi della linea
A e B, dipende anche dalla linea che li unisce, usata per il calcolo.
Se A e B coincidono, cioè se la linea è chiusa, l'integrale è chiamato circuitazione.
Quando il valore dell'integrale dipende solo dagli estremi A e B e non dal percorso, la circuitazione (integrale di linea per una linea chiusa) vale
zero. Il campo del vettore A si dice allora lamellare
o anche irrotazionale.
In un campo di forze l'integrale di linea corrisponde al lavoro unitario
(per unità di massa in meccanica, per unità di carica in campo elettrico)
fatto dal vettore del campo durante lo spostamento della massa e/o della carica
dal punto A al punto B.
Potenziale
Se esiste una funzione scalare V del punto P per la quale è possibile scrivere
dove k è una costante arbitraria, essa è chiamata funzione potenziale.
L'integrale definito tra i punti A e B è detto differenza di potenziale.
Osservazioni
Il potenziale è una proprietà del campo trasferita al corpo sensibile all'azione
di quel campo.
Nei campi di forze il potenziale corrisponde all'energia unitaria posseduta
dalla massa in meccanica o dalla carica, nel caso elettrico, quando esse si
trovano in quel punto.
Le superfici per tutti i punti delle quali V è costante si dicono superfici
equipotenziali .Ovviamente, per ogni coppia di punti di una superficie
equipotenziale la differenza di potenziale è nulla.
Gradiente
Si definisce gradiente del potenziale un vettore che ha modulo
pari alla derivata della funzione potenziale V nella direzione di massima variazione
di V nell'intorno del punto considerato (quindi dV/dn), direzione coincidente
con quella di massima variazione, verso orientato secondo le V crescenti.
Ciò è espresso da
Le sue componenti cartesiane sono
;;
Osservazioni
E' la grandezza che indica direzione e verso secondo cui si ha la massima
variazione di potenziale oltre che l'entità di questa variazione.
Se A è un vettore irrotazionale ed ammette V come funzione potenziale si
può scrivere
Il vettore A è ortogonale alle superfici equipotenziali. Quindi
linee di forza e superfici equipotenziali si intersecano ortogonalmente.
Utilizzando l'operatore nabla, moltiplicandolo scalarmene per il gradiente,
si ha
Laplaciano di uno scalare: la parte finale della precedente espressione
definisce il seguente operatore. Laplaciano di uno scalare V è l'espressione
No: si dice conservativo se esiste la funzione potenziale scalare. Irrotazionale è una condizione necessaria per un campo conservativo, ma non sufficiente.
domanda:
Un campo non si dice irrotazionale semplicemente se il suo rotore è uguale a zero?
Dico questo perchè un campo potrebbe essere irrotazionale senza essere conservativo, cioè condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un campo sia conservativo è che il rotore sia nullo.
Mentre se la circuitazione del campo è nulla per ogni curva(chiusa)contenuta nel suo dominio allora il campo si dice conservativo.oppure no?
Poiché si vogliono avere informazioni su un campo elettrico ed una qualsiasi nuova carica modifica il campo preesistente, la carica esploratrice deve essere piccola, in modo che si possa ritenere trascurabile la perturbazione da essa introdotta.
Dal punto di vista dell'informazione che si desidera ottenere, è indifferente che essa sia positiva o negativa, ma poiché bisogna sceglierne una e ci si deve mettere d'accordo su quale scegliere, la comunità scientifica ha deciso per quella positiva. Il che è in accordo con la scelta, sempre arbitraria, fatta per definire come verso convenzionale della corrente elettrica quello delle cariche positive, anche se si ha a che fare, nella maggior parte dei casi, (vedi conduttori metallici) sono quelle negative.
Il fatto dunque che la carica esploratrice debba essere positiva non deriva da un'esigenza fisica ma è una semplice convenzione
ciao...volevo sapere quali fossero le caratteristiche fondamentali della carica esploratrice. è VERO CHE DEVE ESSERE NECESSARIAMENTE DI SEGNO POSITIVO... E PERCHé?GRAZIE MILLE...ASPETTO AL PIù PRESTO UNA RISPOSTA
Sui tensori devo gettare la spugna. Non ho conoscenze adeguate
e, al momento almeno, non dispongo nemmeno di documentazione in base a cui cercare di formulare una risposta. Mi spiace.
Per quanto riguarda il segno nella definizione di potenziale, esso è semplicemente una parte definizione.
Il gradiente di potenziale nel calcolo vettoriale è una definizione ben precisa che trasforma una funzione scalare in un vettore. Quindi è definibile per qualsiasi funzione scalare che sia derivabile. Un campo vettoriale può non essere il gradiente di una funzione scalare, ma se ciò si verifica il campo si dice conservativo.
Il gradiente ha la stessa direzione e verso opposto a quello delle linee di forza.
Per il monoconnesso non ti so rispondere poiché non ho presente la definizione matematica.
Con riferimento alla risposta alla domanda di Francesco sul gradiente, mi viene da chiedere: non esiste anche un "tensore" del 2° ordine (a 9 componenti scalari) quale gradiente di un vettore ? ossia il gradiente di uno scalare è un vettore e il gradiente di un vettore è un tensore ?
Al riguardo, chiedo anche: dove è possibile reperire una buona trattazione online sui tensori ?
qual è il motivo del segno meno a secondo membro della definizione di potenziale ? l'integrale a secondo membro della definizione di potenziale è un integrale indefinito, cioè rappresenta un lavoro corrispondente a uno spostamento da -infinito a +infinito ?
Mille grazie anticipate per le risposte ad entrambe le serie di domande.
é vero che campo irrotazionale (rotore identicamente nullo) e campo conservativo (circuitazione identicamente nulla) sono sinonimi solo se il dominio del campo è monoconnesso, mentre campo conservativo e campo a potenziale sono sempre sinonimi ? è vero che il gradiente del potenziale è definibile solo per i campi a potenziale e quindi conservativi ? è vero che il gradiente del potenziale - di un campo ovviamente conservativo - ha la stessa direzione e verso opposto a quello delle linee di forza (o di campo) ?
E' la direzione secondo la quale la derivata è massima, secondo la quale cioè il potenziale varia più rapidamente. Se immaginiamo il punto P è circondato da scale i cui gradini rappresentano l'incremento di potenziale, rappresenta la direzione in cui l'alzata dello scalino è la maggiore; in altre parole la direzone indicata dalla scala più ripida.
Per Sara:
La linea di forza è l'inviluppo delle tangenti
Per Sergio: 1)si
2)La direzione di massima variazione è quella perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto.
Salve,volevo dirle che sto trovando molto utili le sue dispense, però ora mi sono bloccato sul gradiente del potenziale per delle piccole INCERTEZZE: 1) Il modulo del vettore è uguale al valore della derivata della funzione potenziale? 2) Quale è la direzione di massima variazione? Ho cercato un disegno per capire ma non l' ho trovato...Spero che mi aiuti a capire stò maledetto Gradiente!!GRAZIE infinite
Per Ernesto:
nessuna, concettualmente. La differenza è la precisione del calcolo: approssimata in approccio elementare, esatta in questa lezione.
Per Sara:
No. Il versore ha modulo unitario, direzione e verso della tangente. Il vettore "ds" ha direzione e verso della tangente, come il versore, ma modulo infinitesimo, pari a "ds" appunto.
volevo solo sapere se nella formula dell'integrale di linea il versore della tangente in quel punto è rappresentato da ds,meglio ancora se ds rappresenta il versore!!!
Premettendo forse la "stupidità" della mia domanda. Volevo chiederle che differenza cè tra l'integrale di linea descritto nella dispensa (Gradiente e Potenziale),e quello in approccio elementare. Grazie
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