Domanda:

Vorrei avere spiegazioni sul significato e il fine del calcolo della circuitazione di un campo,magari con particolare riferimento al teorema di Ampere applicato al campo magnetico:che significa calcolare l'integrale di linea di B e dire che è pari alla corrente concatenata con il circuito moltiplicata per la costante m₀?

Risponde admin

Riflettendo bene ci si accorge di poter fare la medesima osservazione per ogni formula o legge della fisica, teorema di Ampere, legge di Ohm o equazione dei gas. Si può anche trarre lo spunto per considerazioni sul legame tra matematica e realtà.
Per noi è sufficiente osservare che il significato di una qualsiasi operazione matematica deriva dalle ipotesi che intervengono nelle definizioni delle grandezze coinvolte; ed il suo fine è poter determinare una grandezza note che siano tutte le altre. Se conosco tensione e corrente in un conduttore, posso calcolarne la resistenza eseguendo il rapporto.
Ogni equazione matematica che interpreta un fenomeno fisico è dunque un vincolo sulle grandezze che lo descrivono. La legge di Ohm afferma che tensione e corrente, in un determinato conduttore, assumono un certo valore e non valori arbitrari. Il teorema di Ampere corrisponde, matematicamente, ad un'operazione più complessa di quella presente nella legge di Ohm, ma è pur sempre un vincolo imposto al valore dell'induzione magnetica lungo un determinato percorso. L'operazione diventa semplice se, ad esempio, si conosce la forma della linea di forza e le caratteristiche del mezzo materiale in cui essa si sviluppa, si conosce l'intensità della corrente che lo produce e che in ogni punto di essa il campo magnetico è costante. L'unica grandezza incognita è allora l'induzione magnetica. Ma il teorema di Ampere dice che il prodotto dell'induzione, divisa la permeabilità del mezzo, per la lunghezza della linea di forza è uguale all'intensità della corrente che l'attraversa: possiamo allora determinare l'induzione. Consideriamo infatti un filo rettilineo in aria di lunghezza infinita percorso da una corrente I. Le linee di forza sono circonferenze su piani perpendicolari al filo ed il filo è al centro di esse ed in ogni loro punto l'induzione ha sempre lo stesso valore, per ragioni di simmetria, spesso si dice per farla breve: ma la simmetria è in effetti una giustificazione seria, verificabile comunque misurando la coppia che fa ruotare un ago magnetico. Alla distanza d dal filo, l'induzione incognita B è tale che (B/m₀)2pd=I: cioè B=m₀I/ 2pd dove m₀ è la permeabilità magnetica dell'aria.
Ma questa è la legge di Biot-Savart, si può obiettare.
Certo. Il fatto importante è però accorgersi che la legge di Biot-Savart è un caso particolare del teorema di Ampere, che è, quindi, uno strumento matematico di indagine del campo magnetico più potente, perché valido per ogni configurazione e non solo per il filo rettilineo. Certo, i calcoli diventano molto meno semplici ma, evidentemente, non si può avere tutto: né dalla vita, né dalla matematica.

Zeno Martini