Domanda:

Perché la forza di Coulomb è conservativa? E come si dimostra?

Risponde admin

Su un qualsiasi libro di fisica si trova la risposta, ovviamente. Ad ogni modo, visto che la domanda è stata posta ad Electroportal, cercherò di dare una risposta, che non sar� rigorosissima dal punto di vista matematico, ma, spero, chiarificatrice, o che almeno possa fornire idee e stimoli per approfondire autonomamente il concetto.

Una forza � conservativa se il lavoro fatto quando il suo punto di applicazione compie una traiettoria qualsiasi, dipende esclusivamente dagli estremi di essa.
E� una semplice definizione in fondo, ma perch� quell�aggettivo? Cos�� che si conserva?
La definizione implica l�esistenza di una propriet� dei punti dello spazio in cui la forza si manifesta (il campo), detta funzione potenziale scalare o, semplicemente, potenziale. La differenza tra i valori che il potenziale assume nei vari punti corrisponde al lavoro. Se i due punti coincidono, cio� se il percoso � chiuso, il lavoro complessivo � nullo. Il primo principio della termodinamica afferma che in un sistema chiuso l�energia totale si conserva. Poich� ad un lavoro corrisponde una variazione di energia, se � nullo il lavoro fatto da una forza su un corpo che, dopo una qualsiasi evoluzione, ritorna allo stato iniziale, significa che l�energia di quel corpo non ha subito variazioni: si � conservata.

La dimostrazione matematica consiste nel verificare che la forza considerata, nel caso specifico la forza di Coulomb, soddisfi alla definizione. Il lavoro di una forza � il prodotto della forza per lo spostamento nella direzione della forza. Il calcolo del lavoro tra due punti qualsiasi � un integrale. Se la forza � conservativa deve esistere la primitiva di quell�integrale, cio� la funzione dei punti dello spazio la cui derivata nella direzione di uno spostamento qualsiasi fornisce il valore della forza secondo quella direzione. Se x � la distanza dalla carica considerata sorgente della forza misurata lungo la direzione secondo cui la forza agisce, la forza di Coulomb vale F=k/x² , con k costante dipendente dal mezzo fisico e dal valore delle cariche. Per uno spostamento tra due punti A e B il lavoro � dato da: L_AB=Integrale_A,B(k/x²)dx)= k/x_A - k/x_B.
La funzione U=-k/x + C dove C � una costante arbitraria, permette di scrivere L_AB=U_A-U_B. Essa � il potenziale ed ha come derivata proprio F=k/x² che � l�espressione della forza di Coulomb.