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Elettrotecnica e non solo

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Alcune risposte di: DirtyDeeds, camminatore tra le onde (elettromagnetiche)

pubblicato 13 anni fa,
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Indice

1 Premessa
2 DirtyDeeds
3 Il potenziale scalare magnetico
- 3.1 risposta
4 Pendolo
- 4.1 domanda
- 4.2 risposta
5 Le due scatole
- 5.1 quesito
- 5.2 risposta
6 Sulla Relatività
- 6.1 diagrammi spazio tempo
7 Fotoni e materia
- 7.1 domanda
- 7.2 risposta
8 English corner
- 8.1 Consigli per il primo articolo in inglese di asdf
9 Conclusione
- 9.1 F=dp/dt?

Premessa

Riprendo la collana di EY Alcune risposte di:..., dedicata a chi inserisce nel forum risposte utili, belle e spesso spettacolari, a volte veri e propri articoli a sé stanti. Certo, si possono leggere nel forum, ma il volume crescente, finisce per nasconderle. Per fornire ai nuovi utenti un'idea degli interlocutori, penso sia utile riportarne a galla alcune, invitando a scoprire le altre.
La riprendo anche con il proposito di chiarire cos'è ElectroYou e qual è il modo migliore per usarlo, per evitare il più possibile episodi sgradevoli che ogni tanto si verificano.

ElectroYou è una casa aperta in cui i nuovi utenti sono i benvenuti. La si può visitare liberamente, anche senza bisogno di iscriversi. Il nuovo visitatore è bene si faccia un'idea di chi la casa già l'abita ed ha contribuito ad arredarla, dedicandovi tempo, conoscenza e creatività.
Se arredamento ed abitanti sono di suo gradimento, e desidera partecipare attivamente, si iscrive (ed automaticamente ha accesso, oltre che al forum ad uno blog personale).

In caso contrario può sorridere, ridere o disprezzare l'ambiente, e ricercarne di più rispondenti alle sue esigenze di libertà, condivisione, uguaglianza e tante altre belle parole che ognuno crede di poter manomettere come gli pare. Una volta iscritto, osservazioni e critiche possono e devono esserci, ci mancherebbe, ma non devono costituire un'irruzione per fornire immediatamente categorici insegnamenti per chi da tempo si dedica con passione e competenza a ricercare il metodo e la forma migliori per una comunicazione efficiente ed una condivisione efficace della conoscenza, utilizzando l'enorme potenzialità della rete.

DirtyDeeds

frequenta il sito da quasi due anni, ma non ha impiegato molto a farsi apprezzare per il suo valore scientifico e tecnico, cui posso aggiungere anche allegria e socievolezza, avendo avuto l'occasione di conoscerlo personalmente. Un'allegria testimoniata dall'avatar scelto, e trasferita nelle risposte come un piacere di "camminare" attorno e dentro l'argomento per osservarlo da ogni punto di vista e descriverlo nel modo migliore,

Scegliere le risposte d'esempio, è facile e difficile nello stesso tempo. E' facile perché non bisogna faticare molto per trovarne di eccellenti, è difficile perché se ne trovano in grande quantità.

Il potenziale scalare magnetico

La domada posta in questo thread era se si potevano tracciare le superfici equipotenziali del campo magnetico. Dopo una mia affrettata ed errata risposta, è arrivata quella corretta DirtyDeeds. Ecco la sua

risposta

Provo ad aggiungere qualcosa per wackos, usando come esempio il campo magnetico prodotto da una linea di corrente. Purtroppo non credo che si riesca a semplificare più di tanto per cui dovrò usare un (bel) po' di matematica. Fissiamo un sistema di coordinate cilindriche con l'asse $z$ centrato sulla linea di corrente e con verso concorde al verso della corrente.

Com'è noto (v. p.es. qui, paragrafo 1.4), in questo caso, tutte le componenti del campo sono nulle tranne la componente $θ$ che vale ( $r > 0$ )

$H_\theta = \frac{I}{2\pi r}$

Le linee di campo, insieme a [i]ipotetiche[/i] linee equipotenziali (tratteggiate) sono disegnate qui sotto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Adesso, assumiamo che tale campo magnetico possa essere scritto come gradiente di un potenziale $ψ$ (se valesse tale assunzione, il campo verrebbe detto conservativo), $\mathbf{H}=\nabla\psi$ , e vediamo a quali conseguenze porta tale assunzione. Immaginiamo di prendere due punti dello spazio $P 0$ e $P$ e di calcolare l'integrale di linea del campo lungo un percorso $γ$ che unisca $P 0$ a $P$ :

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_\gamma \nabla\psi\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_\gamma \text{d}\psi$ =

ψ - ψ(P 0)

Il risultato trovato ci dice che tale integrale è funzione solo del potenziale $ψ$ agli estremi del cammino d'integrazione; in particolare, poi, se il cammino è chiuso, cioè il punto iniziale e il punto finale coincidono, allora

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = 0$

L'integrale di linea di un campo conservativo lungo un qualunque cammino chiuso è nullo.

'IMPORTANTE: quella che abbiamo trovato è una [i]condizione necessaria[/i] (ma non sufficente) a che il campo sia conservativo: ovvero, SE troviamo un cammino chiuso per cui l'integrale sopra NON è nullo, ALLORA il campo NON è conservativo.

Bene, determiniamo l'integrale di linea lungo un arco di cerchio, con centro nella linea di corrente, che vada da $θ 0 = 0$ a $θ$ generico. Lungo l'arco di cerchio il campo ha modulo costante ed è parallelo a $\hat{\mathbf{\theta}}$ ; inoltre $\text{d}\mathbf{s}=\hat{\mathbf{\theta}}r\text{d}\theta$ . Quindi

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_0^\theta \frac{I}{2\pi r}r\text{d}\theta = \frac{I\theta}{2\pi}$

Adesso, se prendiamo $θ = 2π$ , percorriamo un cammino chiuso, cioè ritorniamo al punto di partenza, ma

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = I\neq 0$

Morale: il campo magnetico generato dalla linea di corrente non è conservativo e quindi NON può essere scritto, in tutto lo spazio, come gradiente di un potenziale. A cosa si riferisce quel "in tutto lo spazio"? Si riferisce al fatto che, nel fare l'integrale di linea, ho permesso al cammino di percorrere tutto lo spazio, e, in particolare, gli ho permesso di girare intorno al filo di corrente. Se io tagliassi lo spazio con un semipiano che avesse origine nella linea di corrente, e impedissi l'attraversamento del semipiano, scoprirei che per tutti i cammini chiusi contenuti in questo spazio "tagliato" (quindi non attraversanti il semipiano), l'integrale calcolato sopra sarebbe nullo (prova a fare il calcolo con qualche cammino semplice). Oibò, come faccio a tagliare lo spazio con un simile semipiano? Matematicamente posso farlo, per esempio, restringendo $θ$ all'intervallo aperto $(0,2π)$ , ottenendo così la figura sotto (il taglio coincide con il semipiano polare)

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Avrei potuto scegliere anche altri tagli, p.es. avrei potuto tagliare con un semipiano ortogonale al semipiano polare, restringendo $θ$ all'intervallo $( - 3π / 2,π / 2)$ , e ottenendo la figura

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Riassumendo, in questo spazio tagliato capita che:

1) l'integrale di linea del campo è nullo per tutti i cammini chiusi (o, in modo equivalente, $\nabla\times \mathbf{H}=0$ in tutto lo spazio). Questa era la condizione di necessarietà ottenuta all'inizio. 2) Lo spazio su cui è definito il campo è semplicemente connesso (v. la definizione data nella scansione di [color=#FF0000]admin[/color]). Questa è una proprietà aggiuntiva che abbiamo ottenuto tagliando lo spazio su cui definiamo il campo.

Si può dimostrare che le proprietà 1) e 2) insieme sono condizioni sufficienti perché il campo sia conservativo.

Per esempio, con la restrizione $\theta\in(0,2\pi)$ , dall'integrale di linea calcolato all'inizio, posso determinare il potenziale scalare magnetico come

$\psi(r,\theta,z)-\psi(r_0,\theta_0,z_0) = \frac{I(\theta-\theta_0)}{2\pi}$

E imponendo $ψ(r 0,θ 0, z 0) = 0$

$\psi(r,\theta,z) = \frac{I(\theta-\theta_0)}{2\pi} \qquad\qquad\theta\in(0,2\pi)$

Nota che non posso prendere $θ 0 = 0$ perché l'ho escluso dallo spazio. E' allora immediato vedere che le superfici equipotenziali sono le superfici $θ = cost.$ , proprio quelle tratteggiate nel disegno. E' però importante osservare che il potenziale è discontinuo attraverso una superficie di taglio, per cui disegnare le superfici equipotenziali senza specificare la superficie di taglio può essere fuorviante.

Ultima osservazione: nel caso del campo elettrostatico l'integrale di linea del campo elettrico lungo un certo cammino dà il lavoro che si compirebbe pe spostare una carica unitaria lungo quel cammino. Questo capita perché la forza elettrostatica agente su una carica è diretta come il campo elettrico. Per il campo magnetico, questo non è vero: la forza impressa dal campo magnetico su una carica è sempre ortogonale al campo, è il lavoro è sempre nullo. Le superfici equipotenziali trovate sopra, quindi, non sono legate ai concetti di lavoro ed energia. Insomma, direi che il potenziale scalare magnetico può essere un utile strumento di calcolo, ma non ha lo stesso significato fisico di quello elettrostatico.

Pendolo

La domanda è la richiesta della soluzione di un classico esercizio di Fisica. Generalmente quando lo studente la fa presentandola con la giustificazione " è un esercizio che non mi viene" o con "non so da dove partire", come nel caso specifico, gli si richiede uno sforzo che dimostri cosa riesce a fare, per capire il livello di preparazione e fornire le indicazioni adeguate a superare le difficoltà. Non è però raro il caso di chi, vedendo la richiesta, è anche portato a svolgere comunque l'esercizio, perché è un classico, perché fa bene allenarsi, perché si desidera comunque far vedere come si fa ai futuri visitatori di questa comune creazione che è il forum. Infatti DirtyDeeds alla

domanda

Non riesco a risolvere questo problema: dimostrare che la tensione nel punto più basso di un pendolo semplice (posizione di equilibrio?) valga 2 mg sapendo che l'angolo da cui viene rilasciato è 60°

immediatamente sfodera questa

risposta

La massa $m$ del pendolo è soggetta a due forze, il proprio peso $\mathbf{P}$ e la tensione $\mathbf{K}$ (l'ho rinominata per non avere troppe T!) del filo a cui è sospesa. La seconda legge di Newton ci dice che

$m\textbf{a} = \mathbf{K}+\mathbf{P}$

dove $\textbf{a}$ è l'accelerazione di $m$ . Fissiamo un sistema di coordinate polari con asse polare diretto verticalmente verso il basso, così che l'angolo $θ = 0$ coincida con il punto più basso della traiettoria del pendolo (perigeo). Al perigeo, le due forze sono parallele e dirette lungo la verticale:

m a r = K r + m g

Al fine di determinare $a r$ , fissiamo lo zero dell'energia potenziale $U$ nel perigeo del pendolo. Quando il pendolo raggiunge un punto di inversione la sua energia cinetica $T$ è nulla e l'energia totale vale

E = m g L (1 - cosθ M)

dove $θ M$ è l'angolo massimo raggiunto dal pendolo. Quando il pendolo passa per il perigeo, l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica è uguale a $E$ :

$T = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 = mgL(1-\cos\theta_\text{M})$

Di qui ricaviamo la velocità angolare del pendolo nel punto più basso della sua traiettoria,

$T = \dot{\theta}^2 = \frac{2g}{L}(1-\cos\theta_\text{M})$ .

La componente $a r$ dell'accelerazione al perigeo vale, allora (è l'accelerazione centripeta, comunque v. [url=https://netfiles.uiuc.edu/prussing/www/AE201/absolute_accel_polar.pdf]qui[/url] per le componenti dell'accelerazione in coordinate polari)

$a_r = -L\dot{\theta}^2 = -2g(1-\cos\theta_\text{M})$

Sostituendo nella seconda equazione si ha

K r = m a r - m g = - 2 m g (1 - cosθ M) - m g

per $\theta_\text{M}=60^\circ$ , si ha $K r = - 2 m g$ .

Potrei aggiustare un po' meglio la notazione, ma è tardi :D

Le due scatole

Nella sezione "Ah, ci sono" del forum, vengono proposti problemi curiosi o "indovinelli" impegnativi per gli utenti che desiderano cimentarsi. E' una gara in cui non si vince nulla :), ma, come si dice? "l'importante non è vincere, ma partecipare!" ;) .

Ecco un

quesito

proposto da carloc

Abbiamo due scatole identiche con all'interno i due circuiti qui riportati

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Si deve riuscire a distinguerle misurando, eccitando o quello che vi pare, ma solo i due terminali sono accessibili. I componenti non hanno elementi parassiti (tipo R serie alla L etc. etc.) ed i campi sono perfettamente confinati (i.e. le scatole non irradiano niente).Questo problema fu presentato su di una rivista di elettronica negli anni 80, poi non l'ho più rivisto in giro, per cui ve lo propongo.

E questa è la

risposta

di DirtyDeeds (un avversario difficile da battere in fisica! ;-))

Facciamo due conti: supponiamo di applicare alle due scatole una corrente continua che faccia dissipare ai resistori una certa potenza. Nella prima scatola, l'unico resistore raggiungerà una temperatura $T 2$ e la densità spettrale della tensione di rumore generata sarà $S v (f) = 4 k B R T 2$ dove $k B$ è la costante di Boltzmann.
Nell'altra scatola, si scalderà solo il resistore in parallelo al condensatore, mentre l'altro rimarrà a una temperatura $T 1$ .
La densità spettrale in questo caso sarà

$S_v(f) = 4k_\text{B} R T_2\frac{1}{1+\omega^2R^2C^2} + 4k_\text{B} R T_1\frac{\omega^2L^2/R^2}{1+\omega^2L^2/R^2}$ .

Quindi per $f\gg 1\,\text{Hz}$ il rumore generato dalla seconda scatola sarà minore di quello della prima di un fattore $T 1 / T 2$

Sulla Relatività

Non è certo materia che si risolve in qualche post di un forum. Ad ogni modo nel forum è aperta una discussione e queste sono risposte propodeutiche sui

diagrammi spazio tempo

Già che ci siamo, per completezza e visto che se n'è parlato nei messaggi precedenti, proviamo anche a risolvere il problema con i diagrammi spazio-tempo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In nero, nel diagramma sopra, sono rappresentati gli assi del sistema non accentato, quello in cui la barra è in quiete. Sull'asse dei tempi c'è il prodotto $c t$ . Per semplicità, ho posizionato gli estremi della sbarra in $x 1 = 0$ e $x 2 = L$ : le rette azzurre rappresentano le linee d'universo di questi due estremi nel sistema in cui la barra è in quiete.

Innanzitutto, come vengono visti dal sistema di riferimento non accentato gli assi coordinati del riferimento accentato? Gli assi del riferimento accentato, hanno equazione $x^\prime = 0$ (asse dei tempi) e $t^\prime = 0$ (asse delle ascisse). Per l'asse dei tempi, per l'equazione di Lorentz, si ha

$x^\prime = 0 = \gamma(x-vt)$

da cui

$x = vt = \frac{v}{c}(ct)$

Questa è l'equazione rappresentativa dell'asse dei tempi $ct^\prime$ , come viene visto nel sistema non accentato (in altra maniera, è la traccia che l'asse dei tempi del sistema accentato lascia nel sistema non accentato): è una retta, rappresentata in rosso nel diagramma sopra, inclinata rispetto all'asse $c t$ di un angolo $α$ tale che

$\tan\alpha = \frac{v}{c}$

Per l'asse delle ascisse si ha

$t^\prime = 0 = \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)$

da cui

$ct = \frac{v}{c}x$

Questa è l'equazione rappresentativa dell'asse delle ascisse $x^\prime$ come viene visto nel sistema non accentato: è una retta, sempre rappresentata in rosso nel diagramma sopra, inclinata rispetto all'asse $x$ dell'angolo $α$ .

Volendo misurare la lunghezza della barra nel sistema accentato, dobbiamo determinare la posizione delle estremità della sbarra nello stesso istante di tempo $t^\prime$ . In questo diagramma, le curve di equazione $t^\prime = \text{cost.}$ sono tutte rette parallele a quella di equazione $t^\prime = 0$ , cioè all'asse delle ascisse rosso. Per semplicità, allora, immaginiamo di fare la misura proprio in $t^\prime = 0$ , come segnato nel diagramma sopra. I due punti azzurri corrispondono alle intersezioni delle due linee d'universo delle estremità della barra con l'asse $t^\prime = 0$ e nel sistema accentato hanno ascisse $x_1^\prime = 0$ e $x_2^\prime = L^\prime$ da determinarsi (e questa, al prossimo post).

Come detto sopra, si ha $x_2^\prime = L^\prime$ . Se nello spazio di tutti i giorni volessimo misurare $x_2^\prime$ ci basterebbe prendere un righello e misurare il segmento rosso compreso tra l'origine e $x_2^\prime$ . Guardando il diagramma del messaggio precedente ci acccorgiamo, però, che questo segmento, misurato col righello, è più [i]lungo[/i] di $L$ (è l'ipotenusa di un triangolo di cui $L$ è un cateto). Uhm... questo contrasterebbe un po' con la contrazione delle lunghezze.

L'inghippo è che nello spazio tempo della relatività non bisogna usare i righelli normali. Un righello adatto lo possiamo trovare nel modo seguente.

Una delle conseguenze dei principi di relatività, e che può essere facilmente verificata facendo uso delle trasformazioni di Lorentz è che l'intervallo $x 2 - (c t) 2$ è invariante, ovvero

$x^2-(ct)^2 = {x^\prime}^2-(ct^\prime)^2$

Nel piano $(x, c t)$ le curve di equazione $x 2 - (c t) 2 = cost.$ sono delle iperboli e poiché la costante è invariante, vengono chiamate [i]iperboli invarianti[/i]. Nel diagramma qui sotto, in verde, ho aggiunto il grafico dell'iperbole invariante che passa per il punto $(x_2^\prime,ct^\prime) = (L^\prime,0)$ .

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Quindi si ha

$x^2-(ct)^2 = {x^\prime}^2-(ct^\prime)^2 = (L^\prime)^2$

ovvero, nel piano $(x, c t)$ , l'equazione dell'iperbole verde è

$x^2-(ct)^2 = {L^\prime}^2$

Questa iperbole interseca l'asse $t = 0$ , nel punto di ascissa $x = L^\prime$ . Questo punto di intersezione è mostrato nel diagramma sopra e, come si può vedere, si ha $L^\prime < L$ . Anche graficamente, si riottiene la contrazione delle lunghezze. Insomma, le iperboli invarianti servono da "righello" per il sistema accentato.

Esercizio per il lettore attento (come dicono nei libri seri :mrgreen: ): dal diagramma sopra, ricavare $L^\prime$ e vedere che coincide con i risultati dati in [30] ;-)

Fotoni e materia

domanda

stavolta è la seguente:
cosa succede ad un fotone che si scontra con un atomo? come si comporta la materia se interagisce costantemente con i fotoni?
Penso che tutti quelli che, come me, non saprebbero rispondere in modo adeguato, ritengano sia necessario scrivere un trattato. Ad ogni modo DirtyDeeds cerca di dare una

risposta

Eccola (o meglio eccole in quanto ho riunito più interventi)

Fotoni e atomi non sono palle da biliardo che si "scontrano". Il tema delle interazioni tra fotoni e materia è uno dei più complessi e ricchi della fisica e, purtroppo e per fortuna, non può essere immaginato come un semplice urto tra palle.
Al liceo probabilmente ti hanno spiegato che lo stato di un atomo, secondo la meccanica quantistica, è specificato da un insieme di parametri chiamati numeri quantici.
Probabilmente al liceo vi hanno parlato dell'atomo di idrogeno e vi hanno introdotto quattro numeri quantici: il numero quantico principale, il numero quantico azimutale, il numero quantico magnetico e lo spin.
In realtà, per descrivere completamente lo stato di un atomo ci va qualche numero quantico in più, ma l'aspetto importante è il seguente: lo stato quantistico di un atomo imperturbato (cioè su cui non agiscono forze) è completamente definito quando sono specificati un certo numero (finito) di parametri interi detti numeri quantici. Bene, adesso immagina che un certo atomo (per adesso sempre imperturbato) sia stato preparato in qualche modo in uno stato caratterizzato da certi valori dei numeri quantici; per indicare questo stato iniziale userò uno strano simbolo: [tex]|i\rangle[/tex] (questo simbolo, introdotto da Dirac, si chiama ket). Quella i sta per iniziale e rappresenta tutto l'insieme dei numeri quantici necessari per specificare questo stato iniziale. Un particolare fondamentale è questo: se prendiamo un insieme di atomi tutti preparati nello stato $i\rangle$ come sopra e facciamo, per ogni atomo, una misura che ci dica quali sono i valori dei numeri quantici, otterremo per tutti gli atomi gli stessi valori. Non c'è indeterminazione. Chiameremo uno stato di questo tipo, in cui non c'è indeterminazione nella misura dei numeri quantici, uno stato base.

Adesso immagina di immergere l'atomo in un campo elettromagnetico: fai finta di non aver ancora sentito parlare di fotoni e immagina che il campo elettromagnetico sia il campo classico di cui ti hanno accennato a scuola: tale campo è caratterizzato dall'insieme dei valori che il campo elettrico $\vec{E}$ e il campo magnetico $\vec{B}$ assumono in ogni punto dello spazio in ogni istante di tempo (in realtà di valori ne bastano un po' meno, ma ciò non importa per ciò di cui stiamo parlando).

Poiché l'atomo è composto da particelle cariche, gli elettroni e i protoni, il campo elettromagnetico eserciterà sulla k-esima particella di carica $q k$ una forza $\vec{F}_k = q_k(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$ (la forza di Lorentz).

Qual è l'effetto di questa forza? E' quello di smuovere l'atomo dal suo stato di "torpore", lo stato $|i\rangle$ , e di farlo evolvere verso un nuovo stato $|f\rangle$ (finale). Questo nuovo stato, però, non è più caratterizzato da un insieme di numeri quantici semplice, ma è una sovrapposizione di tutti gli stati base e dipende dal tempo in modo dipendente dal campo applicato.

Per capire l'effetto di questa sovrapposizione, immagina (stasera facciamo lavorare l'immaginazione! :-) ) di prendere di nuovo, come all'inizio, un insieme di atomi, tutti inizialmente preparati nello stato $|i\rangle$ e tutti immersi nello stesso campo elettromagnetico: dopo un po' che questi interagiscono con il campo, rifai la misura dei numeri quantici di tutti gli atomi. Ecco, il risultato adesso sarà che i numeri quantici che troverai non saranno più gli stessi per tutti gli atomi, ma ogni atomo sarà caratterizzato da numeri quantici diversi.

Morale: sotto l'azione di una forza esterna, in questo caso generata dal campo elettromagetico, l'atomo evolve da uno stato iniziale $|i\rangle$ , che supponiamo essere uno stato base, a uno stato finale $|f\rangle$ che è una sovrapposizione di stati base, dipendente dalla forza applicata.

prima di passare ai fotoni, conviene vedere un esempio, relativamente semplice, di evoluzione di un sistema atomico in interazione con un campo elettromagnetico. Benché semplice, questo esempio è di fondamentale importanza per le applicazioni pratiche: laser, orologi atomici e strumenti per risonanza magnetica... mica poco, insomma!

Ecco le proprietà del sistema che consideriamo:

Sistema atomico: immaginiamo di avere un gas di $N$ atomi, tutti uguali. Ciascun atomo ha solo due stati base: $|1\rangle$ e $|2\rangle$ a cui corrispondono le energie $E 1$ e $E 2$ (supponiamo $E 2 > E 1$ ). Un atomo di tale specie è quindi caratterizzato da un solo numero quantico a due valori, corrispondenti a due possibili valori dell'energia interna dell'atomo. Un sistema di questo tipo, in meccanica quantistica, è chiamato sistema a due livelli (che fantasia,eh!). Tanto per mettere una figura, eccone una possibile rappresentazione grafica:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Alla differenza di energia $Δ E = E 2 - E 1$ è associata una frequenza $ν 0$ , detta frequenza di Bohr:

$\nu_0 = \frac{\Delta E}{h}$

dove $h$ è la celeberrima costante di Planck. Possiamo anche definire una pulsazione di Bohr

$\omega_0 = 2\pi\nu_0 = \frac{\Delta E}{\hbar}$

dove $\hbar = h/2\pi$ si legge h tagliato e si chiama costante di Planck ridotta.

Poiché un atomo reale ha infiniti livelli, si può pensare che considerare un sistema con due livelli solamente sia un'approssimazione un po' drastica: in realtà, si può dimostrare che se il campo elettromagnetico con cui l'atomo interagisce soddisfa certe condizioni quest'approssimazione è ottima.

Facciamo poi altre due ipotesi: che gli $N$ atomi non possano interagire tra di loro, non possano urtarsi, e che l'interazione di ogni atomo avvenga solo con il campo elettromagnetico, uguale per tutti. Queste ultime assunzioni (non facili da realizzare fisicamente, ma non impossibili) avranno una conseguenza piuttosto forte sull'evoluzione del sistema atomico, che vedremo sotto.

Inizialmente, prima dell'applicazione del campo elettromagnetico, supporremo che tutti gli $N$ atomi siano nello stato $|1\rangle$ : ciò significa che se vado a misurare l'energia di ogni atomo trovo sempre il valore $E 1$ . L'operazione di ficcare tutti gli atomi in uno stesso stato, in meccanica quantistica, viene chiamata preparazione: tutti gli esperimenti quantistici prevedono questa operazione.

Campo elettromagnetico: supporremo che il campo elettromagnetico con cui gli atomi interagiscono sia un campo classico (niente fotoni, ancora), monocromatico di pulsazione $ω$ . Ciò significa che in ogni punto dello spazio, i vettori campo elettrico e campo magnetico oscillano sinusoidalmente con pulsazione $ω$ . La differenza $Δω = ω - ω 0$ viene chiamata detuning -dissintonia. Immagineremo che il campo venga acceso al tempo $t = 0$ : prima imperturbati, a partire da questo istante gli atomi iniziano ad interagire con il campo. Tipicamente, a seconda del valore di $ω 0$ , l'interazione può essere dominata dall'effetto del campo elettrico ( $q\vec{E}$ nell'espressione della forza di Lorentz) o dall'effetto del campo magnetico ( $q\vec{v}\times\vec{B}$ nell'espressione della forza di Lorentz più l'accoppiamento dovuto al momento magnetico dell'atomo). Le interazioni in cui è dominante l'interazione con il campo elettrico vengono chiamate interazioni di dipolo elettrico, quelle in cui è dominante l'interazione con il campo magnetico, interazioni di dipolo magnetico (ci sono anche interazioni di quadrupolo, ma sono molto più deboli). Tipicamente le interazioni con la luce (dall'infrarosso all'ultravioletto) sono di dipolo elettrico, quelle a microonda di dipolo magnetico.

Evoluzione: l'accensione del campo determina l'evoluzione dello stato degli atomi a partire dallo stato iniziale. Più il campo è intenso, più l'evoluzione del sistema è veloce (questo accade anche in meccanica classica).

Importante: escludere che gli atomi possano urtarsi significa escludere la possibilità che gli atomi siano soggetti a perturbazioni casuali dovute agli urti. Tutti gli atomi sono soggetti alla stessa perturbazione dovuta al campo e a un certo istante di tempo $t$ saranno tutti nello stesso stato. Questo fenomeno è chiamato coerenza: è come se tutti gli atomi stessero eseguendo un balletto sincronizzato.

In presenza dell'interazione, lo stato degli atomi diventa una sovrapposizione degli stati base. Questa sovrapposizione ha il seguente significato fisico: se misurassimo l'energia di ciascuno degli $N$ atomi, pur essendo tutti nello stesso stato, troverremo $n 1$ atomi con energia $E 1$ e $n 2 = N - n 1$ atomi con energia $E 2$ . Possiamo concludere che in presenza di interazione abbiamo una probabilità $P 1 = n 1 / N$ di misurare l'energia $E 1$ e una probabilità $P 2 = 1 - P 1$ di misurare l'energia $E 2$ .

Poiché lo stato evolve, le due probabilità sono funzioni del tempo $P 1 = P 1 (t)$ e $P 2 = P 2 (t)$ . Queste funzioni possono essere determinate precisamente risolvendo un'equazione differenziale chiamata equazione di Schrödinger (forse ne hai già sentito parlare!). Per il sistema atomico descritto sopra, la funzione $P 2 (t)$ ha questo aspetto peculiare:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ecco una cosa interessante! Lo stato degli atomi oscilla periodicamente tra lo stato iniziale e uno stato intermedio con una pulsazione $Ω = 2π / T$ chiamata pulsazione di Rabi (dal nome del fisico, premio Nobel, Isidor Rabi -Hey, [user]IsidoroKZ[/user], c'è un altro Isidoro :mrgreen: ), e tali oscillazioni vengono chiamate oscillazioni di Rabi.

Il valore di $Ω$ e il massimo di $P 2 (t)$ dipendono sia dal detuning $Δω$ sia dall'intensità del campo elettromagnetico: in particolare, aumentando l'intensità del campo, $Ω$ aumenta (già, come detto, più il campo è intenso, più l'evoluzione è veloce). Quando il detuning è nullo, $ω = ω 0$ , il massimo di $P 2 (t)$ vale 1 (condizione di risonanza).

In risonanza, attendendo un tempo $T / 2$ (dove c'è il massimo di $P 2 (t)$ ), abbiamo la possibilità di spostare tutti gli atomi dallo stato $|1\rangle$ allo stato $|2\rangle$ : wow! le oscillazioni di Rabi ci permettono di manipolare lo stato quantistico di un atomo a nostro piacimento!

E i fotoni, 'ndo stanno? Be', finora abbiamo parlato dei cambiamenti di stato dell'atomo, ma non è che anche il campo elettromagnetico nell'interazione cambia stato?
Si può notare una cosa: quando la pulsazione dell'onda elettromagnetica è risonante con la pulsazione di Bohr di una transizione, la probabilità di transizione è massima. Come si vede dalla figura che rappresenta le oscillazioni di Rabi, questa transizione può avvenire sia dallo stato a energia più bassa verso quello a energia più alta, sia viceversa. In più, il salto di energia è pari a $\hbar\omega_0$ .

Sebbene i fenomeni descritti siano derivanti da una trattazione classica del campo em, quanto detto qui sopra sembra suggerire che lo scambio di energia tra campo elettromagnetico e atomi avvenga per pacchetti discreti di energia (che interpreteremo poi come fotoni) e che, in particolare:

una transizione da uno stato basso a uno stato alto possa essere interpretata come un fenomeno di assorbimento di un pacchetto di energia da parte dell'atomo; e
una transizione da uno stato alto a uno basso possa essere interpretata come un fenomeno di emissione di un pacchetto di energia,stimolata da una radiazione risonante.

Qui si nota una cosa curiosa: l'effetto fotoelettrico, che è basato sul fenomeno dell'assorbimento e che servì ad Einstein per introdurre nella fisica il concetto di fotone (e per cui gli fu dato il Nobel), in realtà, può essere ottenuto trattando il campo em in modo classico, senza fotoni! (sia chiaro: questo non sminuisce affatto l'opera di Einstein)

Il fatto di trattare gli atomi in modo quantistico e il campo em in modo classico può sembrare un controsenso. In realtà, bisogna capire che la fisica procede per approssimazioni successive e nel trattare le interazioni tra atomi e campi em sono possibili tre modelli:

Atomo classico - campo em classico: l'atomo è qui considerato come formato da una coppia di cariche legate elasticamente da una molla (modello di Lorenz). E' un modello molto grezzo, ma permette di descrivere correttamente alcuni fenomeni di diffusione.
Atomo quantistico - campo em classico: è un modello molto più raffinato del precedente e permette di prevedere correttamente molti fenomeni (tra cui, come detto sopra, l'assorbimento e l'emissione stimolata), ma non tutti. In particolare, questo modello non permette di prevedere:
1. la radiazione di corpo nero;
2. l'emissione spontanea;
3. alcuni fenomeni di diffusione.
Atomo quantistico - campo em quantistico: è il modello più completo che possiamo concepire e, allo stato attuale delle cose, permette di prevedere correttamente tutti i fenomeni ad oggi osservati.

Ok -giurin giuretto (tanto ho le dita incrociate :mrgreen: )- la prossima volta vediamo le proprietà del modello 3).

Beh, il thread è recente e chi vuole seguire le eventuali prossime puntate lo può seguire in diretta

Ma vediamo anche qualche altro tipo di contenuto

English corner

Ogni tecnico di valore conosce bene la lingua madre, il linguaggio simbolico della sua disciplina, nonché l'attuale linguaggio universale di scienza e tecnica: l'inglese. Nel nostro forum è stata aperta proprio per i problemi linguistici una apposita sezione da qualche tempo e DirtyDeeds ha iniziato a fornire indicazioni.

Consigli per il primo articolo in inglese di asdf

Ti faccio qualche rapido appunto (altri a seguire ;-) ):

[..]

Nell'introduzione, usi sia il soggetto I che we, sarebbe meglio uniformare.
In genere nella scrittura formale non si usano forme contratte dei verbi: [i]we will[/i] e non [i]we'll[/i].
tensile stress e non stress tensile.
Le unità di misura NON vanno tra parentesi quadre: per esempio, l'asse verticale del diagramma sforzo-deformazione va etichettato con $F / N$ (v. anche qui il significato delle parentesi quadre). Analogamente per la tabella.
Invece di constant section sarebbe meglio dire uniform cross-section.

Conclusione

E' la solita degli articoli di questa rubrica.
Quanto riportato è solo una piccola finestra sui contributi di DirtyDeeds al forum. L'invito è perciò di navigare tra le sue risposte.
Per capire cosa si intende, qui su ElectroYou, per condivisione della conoscenza. Esempi reali e non pure parole che è bello, sì, enunciare ma a cui bisogna saper dare un contenuto concreto.

Voglio segnalare almeno un altro thread, di cui proprio ora mi son ricordato, che aveva suscitato l'intervento di qualcuno che voleva insegnare qualcosa, ma che invece doveva imparare qualcos'altro.

F=dp/dt?

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Commenti e note

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di TardoFreak, 13 anni fa

Applausi a tutti e due. Anzi .. standing ovation!

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di irontheos, 13 anni fa

non posso dare voto positivo all'articolo quindi non mi resta che scrivere: complimenti ad admin e DirtyDeeds per il loro lavoro e i loro notevoli contributi!!

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di Paolino, 13 anni fa

Grande admin! E grande DirtyDeeds!

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di DirtyDeeds, 13 anni fa

E grazie a tutti per l'apprezzamento! :-)

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di daccio76, 13 anni fa

...in questi casi non ci sono tante parole..."tanto di cappello" DirtyDeesds e grazie per avermi insegnato sempre qualcosa in più.. Ciao.

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di DarwinNE, 13 anni fa

Ho avuto la fortuna di conoscere DirtyDeeds personalmente e posso confermare quanto detto da Admin. Si tratta di un personaggio davvero straordinario!!!

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