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Introduzione
Nel forum è arrivata la richiesta per la spiegazione di un esercizio di fisica. Poi, come spesso accade, il postulante si è virtualmente volatilizzato, forse perché ha risolto per suo conto i dubbi, forse perché non voleva aumentarli dopo le nostre risposte; sta di fatto che la redazione del nostro sito lo ha comunque svolto. Per questo ho deciso di metterlo in bella copia su EY nella speranza che possa interessare qualche altro visitatore alle prese con l'elettrostatica.
Il testo
All'interno di un condensatore piano in aria, le cui armature di area S distano h, è introdotta, parallelamente alla armature, una lastra metallica di massa m alla distanza d dall'armatura inferiore. Quest'ultima è a potenziale zero mentre V è il potenziale della lastra introdotta. Si desidera sapere quanto deve essere il potenziale V0, positivo, dell'armatura superiore, affinché la lastra metallica di spessore trascurabile rispetto alla distanza tra le armature, rimanga sospesa.
Si discuta anche la distribuzione delle cariche.
Soluzione EY
La lastra metallica intermedia risulta essere l'armatura comune di due condensatori. Il primo costituito dalla lastra e dall'armatura superiore; il secondo dalla lastra e dall'armatura inferiore. Tra le armature di ogni condensatore si ha una forza di attrazione data dalla pressione elettrostatica, (uguale all'energia volumica nel dielettrico di ogni condensatore), moltiplicata per la superficie delle armature.
Nel caso del condensatore piano, indicando con K il campo elettrico tra le armature, con U la differenza di potenziale tra le stesse, con d ed S rispettivamente la loro distanza e l'area della loro superficie, con ε la costante dielettrica dell'isolante, con F la forza di attrazione si ha:
Affinché la lastra resti sospesa, la forza di attrazione esercitata dall'armatura superiore deve essere maggiore della forza di attrazione esercitata dall'armatura inferiore aumentata del peso proprio della lastra.
Appare allora evidente dalla formula precedente che, nel caso del problema, essendo identico l'isolante ed identica la superficie dovrà essere
Ksup > Kinf
Vediamo dapprima cosa succede se introduciamo la lastra metallica tra le due armature sottoposte ad una tensione U0 = V0 − 0 = V0 > 0 senza vincolarla ad alcun potenziale.
figura 1
Sulle due facce della lastra affiorano cariche di segno opposto, identiche in valore assoluto: negative sulla faccia rivolta all'armatura superiore, positive in quella rivolta verso l'armatura inferiore. Il loro valore è la carica del condensatore:
.
In pratica si hanno due condensatori in serie. La tensione totale si ripartisce V0 in proporzione inversa alle rispettive capacità, quindi in proporzione diretta alla distanza. Indicando con VL il potenziale assunto dalla lastra, si ha:
da cui
quindi
I campi elettrici superiore ed inferiore sono uguali, ed uguali al campo preesistente prima dell'inserzione della lastra. La lastra assume il potenziale della superficie ad altezza d. Le forze elettriche agenti si fanno equilibrio e la lastra non può rimanere sospesa.
Per creare una diversità tra i due campi si deve imporre un potenziale alla lastra diverso da quello che corrisponde alla ripartizione proporzionale della tensione applicata tra l'armatura superiore e quella inferiore. Il che significa che la densità di carica negativa della faccia superiore della lastra sarà superiore alla densità della carica positiva della faccia inferiore. Complessivamente la lastra assumerà dunque una carica negativa quindi sarà attratta dalla carica positiva dell'armatura superiore e respinta dalla carica negativa dell'armatura inferiore.
figura 2
Nel caso del problema la tensione della lastra è 
. Il potenziale dell'armatura superiore dovrà allora essere 
. Di quanto lo si ricava dai seguenti calcoli
(NB: con riferimento alla figura 2, nelle formule seguenti è Fsup = F1, Finf = F2)
![\begin{array}{l}
F_{\sup } = F_{\inf } + m \cdot g \\
\frac{1}{2}\varepsilon K_{\sup }^2 \cdot S = \frac{1}{2}\varepsilon K_{\inf }^2 \cdot S + m \cdot g \\
K_{\sup }^2 = K_{\inf }^2 + \frac{{2 \cdot m \cdot g}}{{\varepsilon S}} \\
\left( {\frac{{V_0 - V}}{{h - d}}} \right)^2 = \left( {\frac{V}{d}} \right)^2 + \frac{{2 \cdot m \cdot g}}{{\varepsilon S}} \\
\frac{{V_0^2 - 2V_0 \cdot V + V^2 }}{{\left( {h - d} \right)^2 }} = \frac{{V^2 }}{{d^2 }} + \frac{{2 \cdot m \cdot g}}{{\varepsilon S}} \\
V_0^2 - 2V \cdot V_0 + \left[ {1 - \left( {\frac{{h - d}}{d}} \right)^2 } \right] \cdot V^2 - \frac{{2 \cdot m \cdot g}}{{\varepsilon S}} \cdot \left( {h - d} \right)^2 = 0 \\
V_0^2 - 2V \cdot V_0 + H = 0 \\
H = \left[ {1 - \left( {\frac{{h - d}}{d}} \right)^2 } \right] \cdot V^2 - \frac{{2 \cdot m \cdot g}}{{\varepsilon S}} \cdot \left( {h - d} \right)^2 \\
\end{array}](/mediawiki/images/math/3/0/5/30522d1eed0d4201f1297e8c5dd335fb.png)
Poiché il testo richiede V0 > 0 la soluzione è
Osservazioni
- La carica netta sulla lastra è data da
ed è perciò negativa in quanto
- L'equazione risolutiva di secondo grado ci dice che il problema ha sempre soluzione reale, qualunque sia d, in quanto il discriminante è sempre positivo:
- La soluzione negativa significa ovviamente che il potenziale dell'armatura superiore è più basso di quello dell'armatura inferiore.
V0,1 = − 9,9kV
In tal caso le cariche sulle armature e sulla piastra intermedia, si invertono di segno.
Soluzione NV
E' un piacere sfogliare vecchi testi e trovare in essi i problemi "nuovi".
Scoprire che c'è qualcosa che non cambia in un mondo sempre più vorticoso dà un senso di sicurezza perché è come trovare il filo che unisce.
Ecco allora lo stesso problema su un testo di esercizi del 1975 che molti studenti di Fisica e del Biennio di Ingegneria dell'Università di Padova hanno avuto modo di conoscere: Problemi di Fisica Generale di Massimo Nigro e Cesare Voci ed. Libreria Cortina.
La copertina
