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Dispersori elementari

Indice

Abstract

L'articolo nasce dalla domanda di un utente su come la sezione di un picchetto, la sua lunghezza, la profondità di posa, influiscono sul valore della resistenza di terra. Oltre alle definizioni principali, mostra i calcoli relativi a quattro dispersori elementari: emisfera, sfera, corda, picchetto. Uno script Scilab permette di tracciare i grafici per esaminare gli ultimi due, quelli usati nella pratica.

Generalità

Un dispersore è un conduttore in intimo contatto con il terreno, che consente alla corrente che vi perviene di disperdersi in esso. E' un po' come la foce di un fiume attraverso cui l'acqua si disperde nel mare ( direbbe Alberto Angela :-) )

Il dispersore è dunque, per le correnti di guasto dell'isolamento verso terra di un sistema elettrico, un tunnel che immette un flusso di cariche nel terreno. Il tunnel deve essere scorrevole, il che si traduce, elettricamente, in resistenza sufficientemente bassa. Ciò permette di limitare la pressione sulla porta di ingresso, cioè la tensione sulle masse elettriche. La forma dell'ingresso del tunnel dipende dalla struttura geometrica del dispersore, ed è il punto più stretto del tunnel. Il materiale conduttore di cui è fatto il dispersore, non influisce sulla "scorrevolezza" all'interno del tunnel, che è determinata esclusivamente dal terreno, quindi dalla sua resistività elettrica. La sezione del tunnel si allarga allontanandosi dal dispersore, e l'unico contorno che praticamente resta è l'intersezione con la superficie del terreno.

Il valore "sufficientemente basso" di RE' non è un assoluto, ma dipende dagli altri dispositivi di protezione (interruttori differenziali o magnetotermici) che collaborano con il dispersore per determinare il tipo di intervento in caso di guasto, quando la tensione supera i valori pericolosi definiti dalla curva di sicurezza.

Definizioni principali

La resistenza di terra RE è data dal rapporto tra la tensione totale di terra UE e la corrente I dispersa nel terreno dal dispersore.

R_E=\frac {U_E}{I} \quad [1]

La tensione totale di terra è la differenza tra il potenziale assunto dal dispersore nel punto di ingresso della corrente, ed il potenziale del terreno ad adeguata distanza dal dispersore. Convenzionalmente il potenziale distante è assunto pari a zero.

Si considera adeguata la distanza quando il potenziale del terreno diventa costante, il che si verifica in pratica quando essa è almeno 5 volte la dimensione massima del dispersore, che è la lunghezza del conduttore-dispersore se questo è unico, oppure la diagonale massima se il dispersore è costituito da una rete di conduttori.

Tenendo presenti le precedenti considerazioni, la misura di RE, generalmente è eseguita in alternata secondo lo schema voltamperometrico di figura.

Misura voltamperometrica di RE

Misura voltamperometrica di RE

L'andamento del potenziale è del tipo

Andamento del potenziale in funzione della distanza, x, dal dispersore

Andamento del potenziale in funzione della distanza, x, dal dispersore

Si assume come zero del potenziale quello del terreno a distanza maggiore di 5L, come detto. Il dispersore è nell'origine degli assi, O.Tra due punti qualsiasi del terreno, M ed N, si ha la tensione UMN = VMVN. Se M ed N appartengono alla superficie e distano un metro, quella è la tensione di passo (USS(Source Step)).

La tensione tra O ed M, UOM = VOVM, è la tensione di contatto a vuoto, indicata con UST (Source Touche), cui è sottoposta una persona che tocca, ad esempio, una massa avendo i piedi nel punto M del terreno. Convenzionalmente il punto M sul terreno è alla distanza di un metro dalla massa in tensione che ha lo stesso potenziale del dispersore cui è collegata.

La reale tensione di contatto, indicata con UT (Touche) sarà minore, in quanto la UST si ripartisce tra l'effettiva resistenza del corpo umano, che dà luogo alla UT, e la resistenza verso terra della persona REB(Earth Body).

Il potenziale massimo è quello assunto dal dispersore e coincide con la tensione totale di terra UE = VO − 0 (Earth). E' la massima tensione cui può essere sottoposta una persona che deve, per questo, toccare una massa con una parte del corpo, mentre con un'altra tocca un punto a potenziale zero, una massa estranea ad esempio, oppure è a notevole distanza dal dispersore.

Dispersore emisferico

emisferico.gif

emisferico.gif

Il dispersore emisferico, che nella pratica tecnica in realtà non è usato, si studia perché la sua simmetria geometrica consente di pervenire, senza eccessive difficoltà matematiche, ad espressioni semplici e significative per il valore della resistenza di terra e per l'andamento del potenziale nel terreno.

La corrente I se il terreno è omogeneo, si diffonde radialmente in tutte le direzioni. Si può allora dire che la densità di corrente in ogni superficie sferica concentrica con l'elettrodo vale

\delta=\frac {I}{2 \pi x^2}

con x distanza dal centro dell'elettrodo. Le superfici sferiche sono equipotenziali poiché il campo elettrico è ad esse perpendicolare.

Il campo elettrico, che è il gradiente di potenziale cambiato di segno, vale

K =  - {\rm{grad}}V =  - \frac{{{\rm{dV}}}}{{{\rm{dx}}}} = \rho  \cdot \delta

Si può allora scrivere

\begin{array}{l}
 K =  - {\rm{grad}}V =  - \frac{{{\rm{dV}}}}{{{\rm{dx}}}} = \rho  \cdot \delta  \\ 
 x \ge 0 \\ 
 K = \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi x^2 }} \\ 
 V_\infty   - V_x  = \int_x^\infty  {{\rm{d}}V =  - \int_x^\infty  {\frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi x^2 }}} }  \cdot {\rm{dx}} =  - \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi }}\left[ { - \frac{1}{x}} \right]_x^\infty   =  \\ 
  = \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi }}\left[ {\frac{1}{x}} \right]_x^\infty   = 0 - \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi x}} \\ 
 U_x  = V_x  - V_\infty   = \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi x}} \\ 
 x \le r_0  \\ 
 U_x  = \frac{{\rho  \cdot I}}{{2\pi r_0 }} = U_E  \\ 
 \end{array}

quindi

R_E  = \frac{{U_E }}{I} = \frac{\rho }{{2\pi r_0 }} = 0,159 \cdot \frac{\rho }{{r_0 }} \quad [2]

La resistenza di terra è tanto più bassa quanto più esteso è il dispersore e quanto più bassa è la resistività del terreno.

Dispersore sferico

Si immagina che una sfera metallica di raggio r0 sia immersa in un mezzo conduttore uniforme di resistività ρ. In tal caso le linee di corrente sono radiali e la superficie attraverso cui transita l'intensità di corrente I è sferica. Concettualmente le considerazioni sono le stesse fatte sul dispersore emisferico; cambia la superficie disperdente che è quella di una sfera completa. Quindi considerando una qualsiasi linea radiale come asse x con l'origine al centro del dispersore si ha

U_x  = V_x  - V_\infty   = \frac{{\rho  \cdot I}}{{4\pi x}}

U_E  = \frac{{\rho  \cdot I}}{{4 \pi r_0 }}

R_E  = \frac{\rho }{{4\pi r_0 }}

Più che in pratica, le formule precedenti sono utili per il calcolo dei dispersori elementari effettivamente usati come picchetti verticali e conduttori orizzontali. Allo scopo tali dispersori sono immaginati suddivisi in infiniti elementi puntiformi, ciascuno disperdente una corrente infinitesima dI che determinano nell'ambiente circostante una distribuzione di potenziale sferica. Quindi si assumerà che alla distanza r dall'elemento che disperde la corrente infinitesima, questa provochi il potenziale infinitesimo  \rm{d}U_r = \frac {\rho}{4 \pi r} \cdot \rm{d} I.


Dispersore cilindrico

Consideriamo allora un dispersore cilindrico lungo L e di raggio r0 immerso in un mezzo omogeneo indefinito di resistività ρ. Consideriamo il sistema di riferimento cartesiano indicato in figura, con l'origine nel centro del conduttore e l'asse x coincidente con l'asse del conduttore. Sia I l'intensità della corrente dispersa totale, uniformemente distribuita lungo il conduttore. L'elemento di conduttore infinitesimo di spessore ds alla distanza s dall'origine, disperde la corrente {\rm{d}}I = \frac{I}{L} \cdot {\rm{d}}s e produce nel punto P a distanza r da esso il potenziale VP = UP assumendo zero il potenziale di un punto a distanza infinita

U_P  = V_P  - V_\infty   = \frac{\rho }{{4\pi r}} \cdot {\rm{d}}I

r = \sqrt {\left( {\sqrt {\left( {s - x} \right)^2  + y^2 } } \right)^2  + z^2 }  = \sqrt {\left( {s - x} \right)^2  + y^2  + z^2 }

La distanza è dunque funzione di s. Il potenziale nel punto P prodotto da tutti gli elementi che compongono il dispersore è la somma dei loro contributi. Tale somma corrisponde matematicamente all'integrale

U_P  = \int_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{\rho I}}{{4\pi L \cdot r}}}  \cdot {\rm{d}}s = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}}\int_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{{\rm{d}}s}}{{ \cdot \sqrt {\left( {s - x} \right)^2  + y^2  + z^2 } }}}

Possiamo risolvere l'integrale indefinito con WolframAlpha. Ecco il risultato

Calcoliamo l'integrale definito. \begin{array}{l}
 A = x;B = y;C = z \\ 
 U_P  =\frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \left[ { - \ln \left( {2 \cdot \left( {\sqrt {\left( {x - s} \right)^2  + y^2  + z^2 }  + x - s} \right)} \right)} \right]_{ - \frac{L}{2}}^{ + \frac{L}{2}}  \\ 
 U_P  =\frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \left( {\frac{{2 \cdot \left( {\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + z^2 }  + x + \frac{L}{2}} \right)}}{{2 \cdot \left( {\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + z^2 }  + x - \frac{L}{2}} \right)}}} \right) \\ 
 \end{array}

U_P  = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \frac{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + z^2 }  + x + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + z^2 }  + x - \frac{L}{2}}} \quad [3]

Per calcolare la tensione totale di terra UE basta considerare un punto sul conduttore. Prendiamo P(0,r0,0). Otteniamo

U_E  =\frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \frac{{\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 }  + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 }  - \frac{L}{2}}}

Moltiplicando e dividendo l'argomento del logaritmo per il numeratore si ottiene

\frac{{\left( {\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 }  + \frac{L}{2}} \right)^2 }}{{\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2  - \left( \frac{L}{2} \right)^2}} = \frac{{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2  + \left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + 2 \cdot \frac{L}{2} \cdot \sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 } }}{{\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2  - \left( \frac{L}{2} \right)^2}}

e se L > > r0 si può porre

\approx \frac{{4\left( {\frac{L}{2}} \right)^2 }}{{r_0^2 }} = \left( {\frac{L}{{r_0 }}} \right)^2

Quindi in tal caso si può assumere come

tensione totale di terra

U_E  = \frac{{\rho I}}{{2\pi L}} \cdot \ln \frac{L}{{r_0 }} \quad [4]

La resistenza di terra

è perciò

R_E = \frac{\rho}{2\pi L} \cdot \ln \frac{L}{{r_0 }} \quad [5]


Tondino interrato orizzontale (corda)


Un conduttore cilindrico infisso nel terreno a profondità h, che disperde la corrente I, dà luogo sulla superficie parallela che separa l'aria, isolante quindi con \rho_{aria}=\infty mentre è finita la resistività del terreno ρ, al potenziale

U_P  = \frac{{\rho I}}{{2\pi L}}\ln \frac{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + h^2 }  + x + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2  + y^2  + h^2 }  + x - \frac{L}{2}}} \quad [6]

Ricordiamo sempre che il potenziale è la tensione del punto rispetto allo zero posto a distanza infinita.

Come si vede è il doppio di quello del dispersore cilindrico in mezzo omogeneo. Si ottiene applicando il

principio delle immagini:


il campo elettrico prodotto nella superficie di separazione conduttore-isolante è identico a quello prodotto sulla stessa superficie dallo stesso conduttore e dalla sua immagine simmetrica rispetto a quella superficie, entrambi immersi nello stesso mezzo omogeneo pari alla resistività del terreno. Applicando dunque la [3] al dispersore reale ed alla sua immagine per determinarne i rispettivi potenziali sulla superficie, caratterizzati da z=h, di separazione che vanno poi sommati, si ricava la [6]

Anche per calcolare la tensione totale di terra ricorriamo al principio delle immagini. Si considera il potenziale del punto K (0, \,0 \, ,r_0) che sta sulla superficie del conduttore reale. Il potenziale di quel punto dovuto al conduttore stesso vale, sempre applicando la [3] e considerando L > > r0

U_{E_{reale} }  = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}}\ln \frac{{\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 }  + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0^2 }  - \frac{L}{2}}} \approx \frac{{\rho I}}{{4\pi L}}2 \cdot \ln \frac{{L}}{{r_0 }}

Per il conduttore immagine in cui è fissato un sistema di riferimento nello stesso modo di quello adottato per il conduttore reale, con l'origine nel suo centro, il punto K ha coordinate 0,\, 0 \, ,2h+r_0, quel punto ha potenziale

U_{E_{immagine} }  = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}}\ln \frac{{\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + \left( {2h + r_0 } \right)^2 }  + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + \left( {2h + r_0 } \right)^2 }  - \frac{L}{2}}}

E'

U_E=U_{E_{reale} }+U_{E_{immagine} }

da cui

R_E  = \frac{\rho }{{4\pi L}}\left[ {2 \cdot \ln \frac{L}{{r_0 }} + \ln \frac{{\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + \left( {2h + r_0 } \right)^2 }  + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + \left( {2h + r_0 } \right)^2 }  - \frac{L}{2}}}} \right]

Picchetto verticale


Il picchetto di lunghezza L e raggio r0 che disperde nel terreno la corrente I, è infisso alla profondità h. Il potenziale sul terreno si può determinare applicando la [3] ed il principio delle immagini, tenendo conto che la superficie di separazione è caratterizzata dall'ascissa x=\frac {L}{2}+h

Si ha pertanto

U_P  = \frac{{\rho I}}{{2\pi L}} \cdot \ln \frac{\sqrt {(L+h)^2  + y^2  + z^2 }  + L + h}{\sqrt {h^2  + y^2  + z^2 }  + h} \quad [7]

Ricorrendo sempre al principio delle immagini, applicando sempre la [3] per determinare il potenziale del punto K sul conduttore reale le cui coordinate nel sistema di riferimento del conduttore reale ed in quello del conduttore immagine sono indicate nel disegno, si ottiene

\begin{array}{l}
 U_{E_{reale} }  = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \frac{{\sqrt {\left( {\frac{L}{2}} \right)^2  + r_0 ^2 }  + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( { - \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0 ^2 }  - \frac{L}{2}}} \\ 
 U_{E_{immagine} }  = \frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \frac{{\sqrt {\left( {2h + \frac{3}{2}L} \right)^2  + r_0 ^2 }  + 2h + \frac{3}{2}L}}{{\sqrt {\left( {2h + \frac{L}{2}} \right)^2  + r_0 ^2 }  + \frac{L}{2} + 2h}} \\ 
 \end{array}

Se L > > r0 si ha

\begin{array}{l}
 U_{E_{reale} }  \approx \frac{{\rho I}}{{2\pi L}} \cdot \ln \frac{L}{{r_0 }} \\ 
 U_{E_{immagine} }  \approx \frac{{\rho I}}{{4\pi L}} \cdot \ln \frac{{4h + 3L}}{{4h + L}} \\ 
 \end{array}

Quindi

U_E  = U_{E_{reale} }  + U_{E_{immagine} }

U_E  \approx \frac{{\rho I}}{{2\pi L}} \cdot \ln \left( {\frac{L}{{r_0 }} \cdot \sqrt {\frac{{4h + 3L}}{{4h + L}}} } \right)

da cui

R_E  \approx \frac{\rho }{{2\pi L}} \cdot \ln \left( {\frac{L}{{r_0 }} \cdot \sqrt {\frac{{4h + 3L}}{{4h + L}}} } \right)


Grafici

I grafici dei potenziali si riferiscono dispersori (corda e picchetto) di L=3 \, {\rm{m}} di S=35 \, {\rm{mm}}^2 in un terreno di resistività \rho=100 \, \Omega {\rm{m}}, alla profondità h=0,4 \, {\rm{m}} che disperdono nel terreno la corrente I= 1 \, {\rm{A}}.

Le resistenze di terra sono normalizzate rispetto alla resistività del terreno. Quindi i valori letti sul grafico vanno moltiplicati per la resistività del terreno per ottenere il valore di RE del dispersore.

Sono tracciati con lo script di Scilab del paragrafo successivo.

Potenziale del terreno - corda

Potenziale del terreno - corda

Potenziale del terreno - picchetto

Potenziale del terreno - picchetto

Potenziale del terreno lungo l

Potenziale del terreno lungo l'asse parallelo alla corda

Potenziale del terreno lungo l

Potenziale del terreno lungo l'asse perpendicolare alla corda

Resistenza di terra in funzione della lunghezza del dispersore

Resistenza di terra in funzione della lunghezza del dispersore

Resistenza di terra in funzione della sezione del dispersore

Resistenza di terra in funzione della sezione del dispersore

Tensione di contatto a vuoto

Tensione di contatto a vuoto

Esaminando i grafici si può vedere che

la resistenza di terra RE

  • di un dato dispersore (L, r0) ad un data profondità h è proporzionale alla resistività del terreno, ρ.
  • a parità di terreno e profondità, diminuisce all'aumentare delle dimensioni L ed r0, ma, oltre un certo limite, tale diminuzione non è significativa, quindi, economicamente inutilmente onerosa.
  • a parità di dimensioni, diminuisce con la profondità.

mentre, a parità di corrente dispersa,

la tensione

  • di passo USS, diminuisce con l'aumento della profondità, in quanto si appiattisce l'andamento del potenziale sul terreno,
  • di contatto a vuoto, UST, percentualmente cresce con la profondità, rispetto alla tensione totale di terra, UE più di quanto questa diminuisca per la diminuzione della RE

Lo script Scilab

Con questo script si possono tracciare i grafici precedenti. Basta ricopiare ed incollare nella finestra di Scilab. E' possibile modificare i parametri del dispersore




clear;
rosso=color("red");
blu=color("blue");
//Dati
txt=['Lunghezza tondino(m)';'sezione(mm^2)';'profondità(m)';'resistività del terreno...
(ohm * metro) ';'intensità di correnre dispersa (A)'];
sig=x_mdialog('Parametridispersore',txt,['3';'35';'0.4';'100';'1']);
L=evstr(sig(1)); //lunghezza dispersore cilindrico
r0=(sqrt(4*evstr(sig(2))/%pi))/(2*1000); //raggio dispersore
h=evstr(sig(3));//profondità
rho=evstr(sig(4));//resistività del terreno
I=evstr(sig(5));//corrente dispera
//potenziali del terreno in una superficie quadrata di lato
// 2 volte la lunghezza del dispersore
k=rho*I/(2*%pi*L);
step=20;
dist=2;
x=[-dist*L/2:L/step:dist*L/2];
y=x;
S=size(x);
n=S(1,2);
for i=1:n,for j=1:n,
  //tondo orizzontale
 Num=x(i)+L/2+sqrt((x(i)+L/2)^2+y(j)^2+h^2);
  Den=x(i)-L/2+sqrt((x(i)-L/2)^2+y(j)^2+h^2);
  u(i,j)=k*log(Num/Den);
  //picchetto
 Num=h+L+sqrt((h+L)^2+y(j)^2+x(i)^2);
 Den=h+sqrt(h^2+y(j)^2+x(i)^2);
 uv(i,j)=k*log(Num/Den);
end,
end;
//potenziale di terra tondino interrato
UE=(k/2)*(2*log(L/r0)+log((L/2+sqrt((L/2)^2+(2*h+r0)^2))...
/(L/2+sqrt((L/2)^2+(2*h+r0)^2))));
//potenziale di terra del picchetto
UEV=k*log((L/r0)*(sqrt((3*L+4*h)/(L+4*h))));
//grafico tridimensionale potenziale del terrenointornoaltondo
xset("window",0);
plot3d(x,y,u);
plot3d(x,y,UE*ones(n,n));
 
xgrid();
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Potenziale del terreno e tensione totale diterra';
a=gca();
a.x_label.text='X (m)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='Y(m)';
a.z_label.font_size=3;
a.z_label.text='UP,UE(V)';
 
ax.font_size=2;
xset("window",1);
//grafico potenziale sul terreno parallelamenteall'assedelconduttore
//l'asse del conduttore
 
Num=x+L/2+sqrt((x+L/2)^2+h^2);
Den=x-L/2+sqrt((x-L/2)^2+h^2);
ux=k*log(Num./Den);
plot2d(x,ux,blu);
plot2d(x,UE*ones(x),blu);
xgrid();
//grafico potenziale sul terreno perpendicolarmenteall'assedelconduttore
xset("window",2);
Num=L/2+sqrt((L/2)^2+y^2+h^2);
Den=-L/2+sqrt((-L/2)^2+y^2+h^2);
uy=k*log(Num./Den);
plot2d(x,uy,blu);
plot2d(x,UE*ones(x),blu);
xgrid();
 
//resistenza di terra per unità di resistività del terreno
//in funzione della lunghezza del conduttore
xset("window",3);
LL=[1:0.5:15];
deff("yy=f(LL)","yy=1/(4*%pi*LL)*(2*log(LL/r0+log((LL/2+sqrt((LL/2)^2+(2*h+r0)^2))/...
(-LL/2+sqrt((LL/2)^2+(2*h+r0)^2)))))");
fplot2d(LL,f,blu);
xgrid();
//grafico tridimensionale del potenziale del terrenointornoal picchetto
xset("window",4);
plot3d(x,y,uv);
plot3d(x,y,UEV*ones(n,n));
xgrid();
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Potenziale del terreno e tensione totale diterra';
a=gca();
a.x_label.text='X (m)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='Y(m)';
a.z_label.font_size=3;
a.z_label.text='UP,UE(V)';
 
 
//grafico potenziale sul terreno in una qualsiasi direzione
//pichetto lungo L a profondità h
for i=1:2,
xset("window",i);
Num=h+L+sqrt((h+L)^2+x^2);
Den=h+sqrt(h^2+x^2);
uxv=k*log(Num./Den);
plot2d(x,uxv,5);
plot2d(x,UEV*ones(x),rosso);
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Potenziale del terreno e tensione totale diterra';
a=gca();
a.x_label.text='distanza (m)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='UP(V)';
legends(['UP,UE:corda';'UP,UE:picchetto'],[blu,rosso],'ll');
end;
 
//resistenza di terra per unità di resistività del terreno
//in funzione della lunghezza alla profondità h
xset("window",3);
 
deff("yy=f1(LL)","yy=1/(2*%pi*LL)*(log(LL/r0)*sqrt((3*LL+4*h)/(LL+4*h)))");
fplot2d(LL,f1,rosso);
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Resistenza di terra per unità diresistività (1/m )';
a=gca();
a.x_label.text='L (m)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='RE/ rho';
legends(['RE / rho: corda';'RE / rho:picchetto'],[blu,rosso],'ll');
 
//UPv/UE
xset("window",7);
plot2d(x,100*(UEV-uxv)/UEV,rosso);
plot2d(x,100*(UE-ux)/UE,blu);
xgrid();
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Tensione di contatto a vuoto / tensionetotale di terra';
a=gca();
a.x_label.text='distanza (m)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='UST / UE (%)';
legends(['100 * UST / UE: corda';'100 * UST / UE:picchetto'],[blu,rosso],'ll'); 
 
//Resistenza di terra per unità di resistività in funzione
//della sezione del dispersore di lunghezza L allaprofondità h
xset("window",8);
w=[1:50];
deff("yw=fw(w)","yw=1/(2*%pi*L)*(log(L/(0.0005*sqrt(4*w/%pi)))*sqrt((3*L+4*h)/(L+4*h)))");
fplot2d(w,fw,rosso);
xgrid();
 
deff("yw1=fw1(w)","yw1=(1/(4*%pi*L))*(  2*log(L/(0.0005*sqrt(4*w/%pi)))...
+log((L/2+sqrt((L/2)^2+(2*h+0.0005*sqrt(4*w/%pi))^2))/(-L/2+sqrt((L/2)^2...
+(2*h+0.0005*sqrt(4*w/%pi))^2))))");
fplot2d(w,fw1,blu);
 
f=gcf();
f.figure_size= [500,400]
f.axes_size= [500,400]
f.figure_name = 'Resistenza di terra per unità diresistività';
a=gca();
a.x_label.text='Sez(mm^2)';
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.y_label.text='RE/ rho (1/m)';
legends(['RE / rho: corda';'RE / rho:picchetto'],[blu,rosso],'ll');

Bibliografia

7

Commenti e note

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Per quanto affermato alla fine del paragrafo immediatamente precedente.

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Salve, mi sa dire perchè nel dispersore cilindrico la formula del potenziale in P è quella? Cioè questa: Up=(ro/4*pi*r)*dI. Da dove viene fuori quel 4*pi*r? Grazie.

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ben fatto dettagliato e argomentato egregiamente, una dispensa da conservare ;)

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Sì, è vero, Davide: mancava l'elevamento al quadrato. Ti ringrazio della segnalazione che mi ha permesso di correggere. Il contenuto dell'articolo ha essenzialmente finalità didattiche ed è una piccola parte di ciò che puoi trovare nella bibliografia inserita. Per gli integrali, come vedi, ormai c'è WolframAlpha che aiuta parecchio, addirittura mostrandoti i passaggi per arrivare al risultato. E' veramente incredibile!

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La cosa ha dell'incredibile perchè mi ero collegato per cercare informazioni sui dispersori di terra e trovo per l'appunto il tuo articolo pubblicato ieri. I miei integrali sono un po' arrugginiti ultimamente ma mi sembra che il prodotto notevole a denominatore che porta alla 4 manchi di un quadrato (il secondo L/2 credo si intenda appunto al quadrato). Comunque mi pare di capire che il dispersore a picchetto abbia prestazioni superiori al dispersore a corda ma che peraltro il dispersore a corda di solito ha lunghezza notevole mentre il picchetto raramente raggiunge i 2m di lunghezza, da questo direi che la corda e meglio anche se più costosa.

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C'è scritto poco più in alto, nel paragrafo Dispersore cilindrico. Moltiplichi e dividi l'argomento del logaritmo per il suo numeratore. Sopra hai il quadrato del numeratore e sotto il prodotto notevole (a+b)*(a-b).Svolgi i calcoli ed allora è facile vedere cosa si può trascurare al numeratore che si approssima con L^2, mentre al denominatore rimane r0^2.

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stupendo era proprio l'argomento che mi interessava tra l'altro è stato trattato veramente bene. complimenti!! volevo però chiederti un chiarimento non riesco a capire come fai a semplificare l'espressione Uereale=.... con l'ipotesi di L>>r (scusa ma non riesco ad incollare tutta l'espressione) sto impazzendo.

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