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Premessa

Nella sezione del forum "Ah, ci sono" è stato accesamente, diciamo così, discusso un problema di elettrostatica. Non è la prima volta che l'elettrostatica dà origine a "battaglie" virtuali che mi portano a sfogliare più di qualche testo per trovare una soluzione convincente. E così mi imbatto in esercizi classici che penso utile riproporre, verificandoli magari con qualche programma di simulazione, come FEMM in questo caso.

Esercizio 1

Una lastra conduttrice piana di spessore x, viene introdotta in un condensatore piano, in aria, parallelamente alle sue armature quadrate di area A e distanti d . Il condensatore è caricato con un generatore ideale di tensione con fem E.
Si considerino condizioni ideali, quindi

campo elettrico uniforme tra le armature del condensatore nullo fuori;
induzione completa

Si chiede di discutere come variano le grandezze fisiche in gioco: campo elettrico, lavoro ed energia, forze agenti, capacità.

Dati numerici

$x= 5 \, {\rm{mm}}$
$A=400 \, {\rm{cm}}^2$
$d= 1 \, {\rm{cm}}$
$E=10 \, {\rm{kV}}$

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Avendo ipotizzato che, una volta introdotta la lastra, l'induzione è completa, si può effettuare il calcolo della capacità risultante considerando i due condensatori in serie costituiti dalle due armature e dalle facce della lastra introdotta che sta ad esse di fronte. Il campo elettrico all'interno della lastra è nullo e le cariche indotte si trovano solo sulle superficie. Complessivamente la carica della lastra rimane nulla e l'interno della lastra costituisce il collegamento tra i due condensatori.

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La capacità con lastra introdotta risulta perciò
$C_f = \frac{1}{{\frac{1}{{C_1 }} + \frac{1}{{C_2 }}}} = \frac{1}{{\frac{{x_1 }}{{\varepsilon _0 \cdot A}} + \frac{{x_2 }}{{\varepsilon _0 \cdot A}}}} = \frac{{\varepsilon _0 \cdot A}}{{x_1 + x_2 }} = \frac{{\varepsilon _0 \cdot A}}{{d - x}}$
Dunque è come quella di un condensatore che ha le stesse armature alla distanza d-x.
Senza lastra la capacità del condensatore è
$C_i = \frac{{\varepsilon _0 \cdot A}}{d}= \frac{{8,85 \times 10^{ - 12} \times 400 \times 10^{ - 4} }}{{10^{ - 2} }} = 35,4 \, {\rm{ pF}}$
La capacità aumenta di un fattore
$m = \frac{{C_f }}{{C_i }} = \frac{d}{{d - x}}$
che, nel caso dell'esercizio, vale $m=\frac{1}{1-0,5}=2$
La capacità finale è indipendente dalla posizione della lastra.

Carica costante

Se la lastra viene introdotta dopo aver scollegato il generatore che ha caricato $C i$ , la carica $Q=E \cdot C_i$ rimane costante; quindi lo rimane anche la densità superficiale $\sigma =\frac {Q}{A}$ , e con essa, il campo $K= \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ tra armatura e lastra. Il campo nella lastra è invece nullo, per cui la tensione tra le armature del condensatore, che è l'integrale del campo elettrico lungo una linea che congiunge le armature, diminuisce poiché manca il contributo relativo allo spessore della lastra. Alla stessa conclusione si giunge considerando che la capacità aumenta, mentre la carica è costante, essendo $U= \frac{Q}{C}$ . Il grafico della differenza di potenziale in funzione della distanza dall'armatura negativa, assumendo quest'ultima come riferimento, nei due casi è

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Il campo elettrico è identico nei due casi e corrisponde alla tangente dell'inclinazione dei segmenti di retta. Nel primo caso $E=K \cdot d$ ; nel secondo $K \cdot (x_1+x_2)=K \cdot (d-x) = K \cdot \frac d 2 = \frac E 2$
L'energia iniziale vale
$W_i = \frac{1}{2}\frac{{Q^2 }}{{C_i }} = \frac{1}{2}C_i \cdot E^2 = \frac{1}{2} \times \frac{{8,85 \times 10^{ - 12} \times 4 \times 10^2 \cdot 10^{ - 4} }}{{10^{ - 2} }} \times 10^8 = 1,77 \, {\rm{ mJ}}$
L'energia finale varia in modo inversamente proporzionale alla capacità; quindi dimezza, nel caso specifico.
$\begin{array}{l} W_f = \frac{1}{2}\frac{{Q^2 }}{{C_f }} \\ \frac{{W_f }}{{W_i }} = \frac{{C_i }}{{C_f }} = \frac{1}{m} = \frac{1}{2} \\ W_f = 0,885 \, {\rm{ mJ}} \\ \end{array}$
Ciò significa che il lavoro fatto per introdurre la lastra è negativo, cioè il campo elettrico ha attratto all'interno la lastra per induzione elettrostatica. L'induzione si manifesta non appena il bordo della lastra entra nel campo elettrico esistente tra le armature
$L=\Delta W=W_f-W_i=0,885-1,77=-0,885 \, \text{mJ}$

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La forza media di attrazione vale
$F_a = \frac{{W_i - W_f }}{l} = \frac{{0,885 \times 10^{ - 3} }}{{0,2}} = 4,425 \, {\rm{ mN}}$

Tensione costante

Se si mantiene costante la tensione, la lastra è sempre attratta all'interno del condensatore per induzione elettrostatica. In questo caso però, l'energia finale risulta maggiore di quella iniziale, in quanto direttamente proporzionale al valore della capacità; nel nostro caso, il doppio:
$\begin{array}{l} W_i = \frac{1}{2}C_i \cdot E^2 \\ W_f = \frac{1}{2}C_f \cdot E^2 \\ \frac{{W_f }}{{W_i }} = \frac{{C_f }}{{C_i }} = m \\ W_f = 3,54 \, {\rm{ mJ}} \\ \end{array}$
Poiché la capacità raddoppia, la carica sulle armature raddoppia; il generatore perciò fornisce al sistema l'energia ${\rm{W}}_g = Q \cdot E = C_i \cdot E^2 = 3,54 \, {\rm{ mJ}}$
Di tale energia la metà serve ad incrementare l'energia elettrostatica immagazzinata, l'altra metà fornisce il lavoro di attrazione della lastra. La forza media di attrazione si calcola applicando il principio di conservazione dell'energia,
$W_g =3,54=\Delta W_e + F_a \cdot l=1,77 +F_a \cdot l$
avendo indicato con $W e = W f - W i$ la variazione dell'energia elettrostattica.
Essa vale
$F_a=\frac {1,77}{0,2}=8,85 \, \text{mN}$
E' il doppio del caso precedente. Del resto l'aumento di energia elettrostatica è il doppio della diminuzione che si aveva a carica costante.

Esercizio 2

Manteniamo ora la stessa struttura ed introduciamo una lastra di materiale isolante con costante dielettrica relativa $\varepsilon_r=5.$ . Calcoliamo le stesse grandezze esaminate nel caso precedente.
Con la lastra conduttrice le cariche libere si disponevano sulle superfici in quantità esattamente uguale ed opposta a quella dell'armatura affacciata. Si aveva induzione completa.
Negli isolanti non ci sono cariche libere, ma le molecole che lo costituiscono si polarizzano: diventano cioè dipoli, se non lo sono già e, nel caso lo fossero, si orientano nel senso del campo. L'effetto "macroscopico" della polarizzazione è di far apparire sulle superfici del dielettrico una carica elettrica di segno opposto a quella dell'armatura di fronte. La densità di carica $σ P$ è sempre inferiore alla densità presente sulle armature ed è tanto più vicina ad essa quanto maggiore è la costante dielettrica relativa.
La figura seguente illustra quanto avviene macroscopicamente.

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Si può immaginare il dielettrico (A+B) come un insieme di cariche elettriche (B) positive cui è sovrapposta una carica elettrica negativa (A) con (bari)centro coincidente. L'applicazione del campo elettrico sposta il baricentro delle cariche negative rispetto a quello delle positive.
Alle estremità si formano superfici in cui prevale la carica di un segno; all'interno del materiale la carica complessiva è sempre nulla

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I campi tra armature e dielettrico, $K 0$ ed all'interno del dielettrico, $K$ , si possono determinare ricorrendo al teorema di Gauss applicato ai volumi colorati in giallo ed in azzurro. Ipotizzando le linee di campo verticali, Il flusso uscente da tali volumi è dovuto al contributo delle sole superfici tratteggiate ed è proporzionale alla carica racchiusa nel volume.
Il campo tra armature e dielettrico dipende esclusivamente dalla densità di carica libera sulle armature: $K_0=\frac {| \sigma_l |}{\varepsilon_0}$
Il campo all'interno del dielettrico invece dipende dalla somma algebrica della densità di carica libera e di quella di polarizzazione.
$K=\frac{| \sigma_l |-|\sigma_P|}{\varepsilon_0}$
Esso risulta pertanto inferiore a quello esistente al di fuori del dielettrico.
Esso può essere visto come la somma vettoriale del campo dovuto alle cariche libere e del campo di reazione prodotto dalla polarizzazione, $K_r=\frac{\sigma_P}{\varepsilon_0}$ che ha verso opposto.
Posto
$\frac{{\left| {\sigma _P } \right|}}{{\varepsilon _0 }} = \chi _e \cdot K$
con $χ e$ costante caratteristica del dielettrico denominata suscettività elettrica, relazione valida per dielettrici lineari, il rapporto tra i due campi vale
$\begin{array}{l} \frac{K}{{K_0 }} = \frac{{\left| {\sigma _l } \right| - \left| {\sigma _P } \right|}}{{\left| {\sigma _l } \right|}} = 1 - \frac{{\chi _e \cdot K}}{{K_0 }} \\ \frac{K}{{K_0 }} \cdot \left( {1 + \chi _e } \right) = 1 \\ \varepsilon _r = 1 + \chi _e \\ K = \frac{{K_0 }}{{\varepsilon _r }} \\ \end{array}$

Il fenomeno macroscopico è simile a quanto succede con l'introduzione della lastra metallica. Con la lastra metallica però, la carica superficiale dovuta alle cariche libere provocava induzione completa, quindi densità superficiali identiche; con il dielettrico la densità superficiale, oltre che essere di natura diversa, varia a seconda del dielettrico, ma è sempre inferiore a quella che si avrebbe con la lastra conduttrice. Quanto maggiore è la costante dielettrica, tanto minore è il campo nel dielettrico. Al limite, per $\varepsilon_r \to \infty$ , si ha la stessa situazione della lastra conduttrice: campo nullo all'interno e densità superficiale pari alla densità di carica libera sulle armature.

Carica Costante

Se la lastra di dielettrico è introdotta dopo che il condensatore è stato caricato e staccato dall'alimentatore, la carica sulle armature si mantiene costante. Rimane perciò costante il campo tra armature e dielettrico, mentre quello nel dielettrico si riduce. Si riduce di conseguenza la tensione tra le armature data da
$U = K_0 \cdot x_1 + K \cdot x + K_0 \cdot x_2 = K_0 \cdot x_1 + \frac{{K_0 }}{{\varepsilon _r }} \cdot x + K_0 \cdot x_2 = K_0 \cdot \left( {x_1 + x_2 + \frac{x}{{\varepsilon _r }}} \right)$

Varia dunque la capacità complessiva, che aumenta

$\begin{array}{l} C_f = \frac{Q}{U} = \frac{{C_i \cdot E}}{U} \\ \frac{C_f}{{C_i }} = \frac{E}{U} = \frac{d}{{x_1 + x_2 + \frac{x}{{\varepsilon _r }}}} = \frac{{\varepsilon _r \cdot d}}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}}= \frac{{5 \cdot 1}}{{5 \cdot 0,5 + 0,5}} = \frac{5}{3} \\ \end{array}$

Essendo costante la carica, l'energia immagazzinata diminuisce perché varia in modo inverso rispetto alla capacità

$\begin{array}{l} W_f = \frac{1}{2}\frac{{Q^2 }}{{C_f }} \\ W_i = \frac{1}{2}\frac{{Q^2 }}{{C_i }} \\ \frac{{W_f }}{{W_i }} = \frac{{C_i }}{{C_f }} = \frac{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}}{{\varepsilon _r \cdot d}}=\frac 3 5 \\ \end{array}$

$W_f=1,77 \times \frac 3 5 = 1,06 \, \text{mJ}$

La lastra di dielettrico è perciò attratta all'interno del condensatore, come avveniva per la lastra conduttrice. Il lavoro è effettuato dal campo elettrico.

La forza media di attrazione vale

$F_a = - \frac{{\Delta W}}{l} = \frac{{W_i - W_f }}{l} = \frac{2}{5} \times \frac{{1,77}}{{0,2}} = 3,54 \, {\rm{ mN}}$

Tensione costante

Introducendo la lastra, il campo in essa diminuisce rispetto a quello preesistente. Ma essendo la tensione costante deve aumentare il campo tra dielettrico ed armature. Il rapporto tra i due campi è uguale alla costante dielettrica.
Il campo tra armature e dielettrico si ricava dalla
$E = K_{0,f} \cdot x_1 + K \cdot x + K_{0,f} \cdot x_2 = K_{0,f} \cdot x_1 + \frac{{K_{0,f} }}{{\varepsilon _r }} \cdot x + K_{0,f} \cdot x_2 = K_{0,f} \cdot \left( {x_1 + x_2 + \frac{x}{{\varepsilon _r }}} \right)$
$K_{0,f} = E\frac{{\varepsilon _r }}{{\left( {x_1 + x_2 } \right) \cdot \varepsilon _r + x}} = E \cdot \frac{{\varepsilon _r }}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}}$
Poiché il campo è proporzionale alla densità di carica sulle armature, quindi alla carica sulle stesse, il rapporto tra carica finale e carica iniziale è uguale a quello tra i campi. Quindi
$\frac{{Q_f }}{{Q_i }} = \frac{{K_{0,f} }}{{K_{0,i} }} = \frac{{\varepsilon _r \cdot d}}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d -x} \right) + x}} = \frac{{C_f }}{{C_i }}=\frac 5 3$

che coincide con il rapporto tra la capacità finale, con dielettrico inserito, e quella iniziale, senza dielettrico.
Essendo costante la tensione, l'energia è proporzionale alla capacità.
Quindi
$\frac{{W_{f} }}{{W_{i} }} = \frac{{C_f }}{{C_i }} = \frac{5}{3}$
$W_f=1,77 \times \frac 5 3 = 2,95 \, \text{mJ}$
L'energia erogata dal generatore è il prodotto della sua fem E per la variazione di carica. Quindi
$\Delta Q = Q_f - Q_i = \frac{2}{3}Q_i$
$W_g = E \cdot \Delta Q = E \cdot \frac 2 3 \cdot Q_i = 2W_i \cdot \frac 2 3= \frac{4}{3}W_i$
essendo $W_i=\frac{1}{2} E \cdot Q_i$
La variazione di energia immagazzinata è
$\Delta W = W_f - W_i = \frac{2}{3}W_i$
Quindi, come nel caso del primo esercizio, metà dell'energia che il generatore fornisce aumenta l'energia elettrostatica immagazzinata; l'altra metà fornisce il lavoro per attrarre la lastra all'interno del condensatore.
La forza media di attrazione, applicando sempre il principio di conservazione dell'energia
$W_g = \Delta W + F_a \cdot l$
vale
$F_a = \frac{{W_g - \Delta W}}{l} = \frac{2}{3}\frac{{W_i }}{l} = \frac{{2 \times 1,77}}{{3 \cdot 0,2}} = 5,9 \, {\rm{ mN}}$

Riepilogo

L'introduzione della lastra, conduttrice o isolante, produce un aumento di capacità.
A carica costante l'energia immagazzinata varia i modo inversamente proporzionale alla capacità; a tensione costante in modo direttamente proporzionale.
Tale rapporto dipende dallo spessore della lastra e dal materiale di cui è fatta. Nel caso del materiale dielettrico vale

$\frac{{C_f }}{{C_i }} = \frac{{\varepsilon _r \cdot d}}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}}$

Se si fa tendere $\varepsilon_r \to \infty$ si ottiene il rapporto valido nel caso in cui il materiale introdotto sia conduttore

$\frac{{C_f }}{{C_i }} =\frac d {d-x}$

La capacità finale può essere espressa come la serie di tre capacità:

$\begin{array}{l} C_f = \varepsilon _0 \cdot \frac{A}{d} \cdot \frac{{\varepsilon _r \cdot d}}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}} = \frac{{\varepsilon A}}{{\varepsilon _r \cdot \left( {d - x} \right) + x}} \\ = \frac{1}{{\frac{{d - x}}{{\varepsilon _0 \cdot A}} + \frac{x}{{\varepsilon A}}}} = \frac{1}{{\frac{{x_1 }}{{\varepsilon _0 \cdot A}} + \frac{{x_2 }}{{\varepsilon _0 \cdot A}} + \frac{x}{{\varepsilon A}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{C_1 }} + \frac{1}{{C_2 }} + \frac{1}{{C_x }}}} \\ \end{array}$

nonostante, nel caso del dielettrico, non ci sia induzione completa tra l'armatura metallica e la superficie del dielettrico.

Facendo poi tendere ad infinito la costante dielettrica relativa, $C_x \to \infty$ e le capacità da considerare per la serie sono due.

Una verifica con FEMM

L'esercizio è stato simulato con FEMM. Ecco i risultati ottenuti per il caso in cui la tensione tra le armature è costante. Si è limitato il calcolo dell'energia al volume delimitato dalle due armature.

Solo aria (o vuoto) tra le armature

$\varepsilon_r=1$

Il campo elettrico è $1 \frac {\text{MV}}{\text{m}}$ . L'energia immagazzinata $1,77 \, \text {mJ}$

NB: "in qualsiasi punto" vale per il campo elettrico. V=100 V è il valore della superficie equipotenziale. I potenziali delle due armature sono stati fissati rispettivamente a + 5000 V e - 5000 V.

Con lastra dielettrica

$\varepsilon_r=5$

Il campo elettrico tra armature e dielettrico è $1,67 \, \frac {MV}{m}$ . Quello nel dielettrico $0,334\, \frac {MV}{m}$ , un quinto del precedente.

L'energia immagazzinata è di $2,95 \, \text{mJ}$

Con lastra "conduttrice"

E' stato osservato che per ottenere il comportamento identico ad una lastra conduttrice, si deve far tendere la costante dielettrica all'infinito. Qui è stato posto $\varepsilon_r=5 \cdot 10^6$

Il campo elettrico nella lastra è quasi nullo; quello tra dielettrico e lastra è quasi raddoppiato. L'energia immagazzinata è di $3,54 \, \text{mJ}$

Download

Il file .FEE è scaricabile da qui

Appendice: spigolature teoriche

Macroscopico e microscopico

Il livello microscopico è il livello atomico: quindi le cariche microscopiche sono i singoli elettroni e protoni che costituiscono la materia. A tale livello il campo elettrico è molto intenso vicino ad un nucleo e debolissimo tra un atomo e l'altro. Se inoltre consideriamo distanze microscopiche dell'ordine di un nanometro $\left ( 10^{-9} \, \text{m} \right )$ , il rapido movimento degli elettroni fa sì che esso vari ogni femtosecondo $\left ( 10^{-15} \, \text{s} \right )$ . A tale livello il campo elettrico non è mai statico.
L'elettrostatica studia il campo elettrico a livello macroscopico. Il livello macroscopico descrive la media del campo microscopico su un volumetto piccolissimo ma che contiene un grandissimo numero di atomi, calcolata in tempi sempre piccolissimi, ma enormi rispetto ai femtosecondi. Per fissare le idee potremmo pensare l'effetto di una carica "statica" come derivante dal comportamento di un volumetto di lato un micrometro osservato ogni microsecondo.

Dipolo

E' costituito da due cariche puntiformi uguali ed opposte,+q e -q, separate da una distanza d. Orientando il segmento che unisce le due cariche verso la carica positiva, si definisce momento di dipolo il vettore

$\vec p = q \cdot \vec d$

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Se immerso in un campo elettrico il momento di dipolo si dispone parallelamente al campo.

Se si immerge un dielettrico in un campo elettrico, i suoi dipoli si orientano. I dipoli possono già esistere nel materiale (polare) ma, se non esistono, si formano per deformazione della distribuzione di cariche nell'atomo. Quest'ultimo fenomeno è presente in ogni materiale, ma l'effetto prodotto dai dipoli esistenti nei materiali polari, è sensibilmente più intenso. L'effetto complessivo prende il nome di

polarizzazione

che è definita come il momento di dipolo elettrico per unità di volume. Cioè se N sono i dipoli per unità di volume, si ha,

$\vec P=N \cdot \vec p$

Il momento di dipolo ha le dimensioni di $Cm$ ; la polarizzazione di $\frac {\text {C}}{\text {m}^2}$ , cioè di una densità superficiale di carica; tale densità è quella che si forma sulle facce libere del dielettrico. Se con $\vec n$ si indica il versore della normale alla superficie del dielettrico si può scrivere

$\sigma_P= \vec P \cdot \vec n$

Il flusso di $\vec P$ attraverso una superficie chiusa corrisponde alla carica uscita dal volume delimitato dalla superficie. Ciò significa che, in quel volume, è comparsa una carica uguale ed opposta. Quindi esiste una densità volumica di carica di polarizzazione. La divergenza di $\vec P$ è allora, in generale, non nulla, ed uguale all'opposto della densità volumica di carica di polarizzazione

$\nabla \cdot \vec P = - \rho_P$

I dielettrici lineari ed isotropi sono detti normali e per essi vale la relazione

$\vec P=\varepsilon_0 \cdot \chi_e \cdot \vec K$

Nei dielettrici normali la densità volumica di polarizzazione è sempre nulla: le cariche di polarizzazione compaiono cioè solo sulla superficie del dielettrico.

La "superficie" interessata dalla densità di carica di polarizzazione $σ P$ ha, in realtà, uno spessore $δ$ , molto piccolo, ma finito. $δ$ è la distanza tra i baricentri delle cariche dei dipoli. In tale zona tra densità volumica e densità superficiale si può allora stabilire la relazione

$\rho_P=\frac {\sigma_P}{\delta}$

Un pezzo di materiale dielettrico polarizzato, come la lastra dell'esercizio, presenta una carica positiva su una faccia e negativa sull'altra che vale, in valore assoluto $P \cdot A$ . Il volume della lastra è $Vol=A \cdot x$ . Il momento di dipolo della lastra è allora $P \cdot Vol =(P \cdot A) \cdot x$ . La lastra in sostanza è un grosso dipolo: le cariche sono sulle sue superfici perpendicolari al campo elettrico in cui la lastra è immersa; la distanza è quella tra le due superfici.

Spostamento elettrico

Se Q è la carica sulle armature di un condensatore, la densità di carica su di esse, detta induzione elettrostatica o spostamento elettrico, dovuta alle cariche libere che si addensano sulla superficie è $\sigma_l=\frac Q A$ .
Introducendo nel campo del condensatore il dielettrico, sulla sua superficie si forma una densità superficiale di carica, che non è dovuta alle cariche libere, inesistenti in un dielettrico ideale, ma al fenomeno della polarizzazione. Tale densità di carica è, in valore assoluto, pari al modulo del vettore polarizzazione.

$\left | \sigma_P \right |=| \vec P|$

Si ha

$K=\frac { \left | \sigma_l \right |- \left | \sigma_P \right |}{\varepsilon_0}$

Tenendo presente che le grandezze sono vettoriali, si può definire il vettore "spostamento elettrico"

$\vec D = \varepsilon _0 \vec K + \vec P$

Per i dielettrici normali

$\vec D=\varepsilon \cdot \vec K$

con

$\varepsilon= (1+ \chi_e) \cdot \varepsilon_0 = \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0$

Il vettore $\vec D$ è determinato dalle cariche libere sui condutttori, le cariche che, possiamo dire, sono sotto il nostro controllo in quanto è con esse che siamo in grado di creare i campi elettrici con i condensatori.
La divergenza dello spostamento elettrico in un punto è uguale dalla densità volumica $\left ( \frac {\text{C}}{\text{m}^3} \right )$ di cariche libere in quel punto:

$\nabla \cdot \vec D = \rho_l \, [1]$

Le linee di forza di $\vec D$ hanno origine nelle cariche libere positive e finiscono nelle cariche libere negative. Le linee di $\vec D$ attraversano le cariche di polarizzazione come se queste non esistessero.
In un dielettrico normale la densità volumica di polarizzazione è sempre nulla: $ρ P = 0$ .
A parità di cariche libere in un dielettrico normale infinitamente esteso, il campo elettrico è $ε r$ volte inferiore che nel vuoto.
La [1] e la

$\nabla \text{x} \vec K = 0$

che definisce nullo il rotore del campo elettrico in condizioni statiche, sono le equazione fondamentali dell'elettrostatica per i dielettrici.

Bibliografia

Problemi di fisica generale - Elettromagnetismo ed ottica, Massimo Nigro - Cesare Voci Ed. Libreria Cortina - Padova 1975

Elettromagnetismo-Alessandro Bettini- Ed. Zanichelli, 1994

Elementi di fisica per l'Università II Campi ed Onde - Alonso-Finn - Ed. Addison-Wesley, 1969

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Due esercizi di elettrostatica

Indice

Premessa

Esercizio 1

Dati numerici

Carica costante

Tensione costante

Esercizio 2

Carica Costante

Tensione costante

Riepilogo

Una verifica con FEMM

Solo aria (o vuoto) tra le armature

Con lastra dielettrica

Con lastra "conduttrice"

Download

Appendice: spigolature teoriche

Macroscopico e microscopico

Dipolo

polarizzazione

Spostamento elettrico

Bibliografia

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