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Indice

1 Abstract
2 Scomposizione della reazione di indotto
3 Il diagramma di Blondel
- 3.1 Esercizio
4 Diagramma delle due reattanze (o di sole cadute di tensione)
- 4.1 Esercizio
5 Bibliografia

Abstract

Nel diagramma di Potier si suppone che la variazione di tensione provocata dalla reazione di indotto, sia unicamente dipendente dal valore della corrente nell'avvolgimento. In realtà il flusso magnetico della corrente di indotto, che, concatenandosi con gli avvolgimenti di induttore, ne modifica la tensione da esso prodotta, varia in funzione della riluttanza magnetica su cui agisce la forza magnetomotrice della reazione. La riluttanza varia a seconda della posizione della reazione di indotto, la quale dipende, come visto, dalla natura del carico. Nelle macchine a poli lisci, almeno in prima approssimazione, la si può ritenere costante, per la sostanziale costanza del traferro, pur alterata dal profilo delle cave. Non lo si può fare con le macchine a poli salienti. In esse il traferro in corripondenza all'asse polare è minimo, mentre è massimo in corrispondenza all'asse interpolare. Di conseguenza una stessa forza magnetomotrice produce un flusso massimo se il suo asse coincide con l'asse polare, come si ha con i carichi puramente reattivi, ed uno minimo se coincide con l'asse interpolare, come nel caso dei carichi puramente resistivi. Il diagramma di Blondel tiene conto di questa diversità.

Scomposizione della reazione di indotto

In generale la posizione della reazione di indotto è intermedia e, non essendo a priori nota la riluttanza di cui tenere conto, non è possibile ricavarne il flusso prodotto, quindi la reale tensione autoindotta. E' possibile però scomporne l'armonica fondamentale in due componenti sinusoidali, agenti sempre nella stessa posizione, quindi in condizioni di riluttanza nota per entrambe. L'una ha l'asse coincidente con l'asse polare, l'altra con l'asse interpolare.
Nella figura successiva sono tracciate, assumendo come ascissa l'angolo elettrico $α$ con origine su un asse interpolare,

la forza magnetomotrice di eccitazione $m e (α)$ : andamento rettangolare

m e (α) = + M e

per

0 < α < π

m e (α) = - M e

per

π < α < 2π

(in grigio, tratteggiata, la sua fondamentale secondo Fourier);

la forza magnetomotrice reazione di indotto $m i (α)$ : in giallo ne è rappresentata la sinusoide fondamentale secondo la scomposizione di Fourier. Tale sinusoide è sfasata in ritardo dell'angolo $π / 2 + γ$ rispetto ad un osservatore fisso sullo statore che le vede spostarsi verso destra, (come descritto qui)

${m_i}\left( \alpha \right) = {M_i}\cos \left( {\alpha + \gamma } \right) = {M_i}\cos \gamma \cos \alpha - {M_i}\sin \gamma \sin \alpha$

con

M i = 1,35 n q I k 1

ampiezza della fondamentale dello sviluppo in serie di Fourier della reazione di indotto.

le due componenti $m d (α)$ in blu, ed $m q (α)$ , in rosso, della reazione di indotto secondo, rispettivamente, l'asse polare (asse diretto) e l'asse interpolare (asse in quadratura)

$\begin{array}{l} {m_d}\left( \alpha \right) = - {M_d}\sin \alpha \\ {m_q}\left( \alpha \right) = {M_q}\cos \alpha \end{array}$

con

${M_d} = {M_i}\sin \gamma \quad {\rm{ ; }} \quad{M_q} = {M_i}\cos \gamma$

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Ora è possibile determinare il flusso prodotto da ogni forza magnetomotrice, quindi ricavare il flusso effettivo risultante. Si dimostra che tale flusso può essere descritto da una semplice relazione come $Φ = Λ p M r$ dove $\Lambda_p=\frac{1}{\Re_p}$ è una permeanza media del polo (inverso della riluttanza) mentre il fasore che rappresenta $M r$ è ricavabile dalla relazione

${{\dot M}_r} = {{\dot M}_e} + {K_d}{{\dot M}_d} + {K_q}{{\dot M}_q}$

$\dot M_e$ è il fasore che rappresenta la forza magnetomotrice di eccitazione di ampiezza $M e$ ;
$K_d \dot M_d$ è il fasore che rappresenta la "reazione diretta" di ampiezza $K d M d$ ;
$K_q \dot M_q$ è il fasore che rappresenta la "reazione in quadratura" di ampiezza $K q M q$ ;

K d

e

K q

sono coefficienti dipendenti dall'ampiezza del traferro, dal profilo della scarpa polare, dal rapporto tra la larghezza della scarpa e quella del semipasso polare,

τ

, dal valore dell'induzione nei percorsi in Ferro che però non hanno un'influenza molto significativa. Se, come di solito è, la larghezza della scarpa è

2 / 3τ

ed il profilo è tale da dar luogo, a vuoto, ad un andamento sinusoidale dell'induzione a vuoto, sinusoidale, i due coefficienti valgono

$K_d=0{,}85 \quad ; \quad K_q=0{,}43$

Il diagramma di Blondel

Con il diagramma di Blondel si può determinare la corrente di eccitazione per avere, con un dato carico, la tensione desiderata. Per la sua costruzione supponiamo che sia nota la tensione a vuoto $E 0$ nonché l'angolo $γ$ sfasamento tra essa e la corrente del carico. In realtà gli elementi noti saranno in genere la tensione $V$ , la corrente $I$ ed il suo sfasamento $\varphi$ rispetto alla tensione, la resistenza e la reattanza di dispersione di un avvolgimento, per cui $E 0$ e $γ$ sono valori che dobbiamo ricavare, ma, una volta costruito il diagramma, aggireremo il problema.

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Immaginando dunque noti $E 0$ e $γ$ ed $I$ . Si tracciano i due fasori nel diagramma. Dalla caratteristica di magnetizzazione, in corrispondenza ad $E 0$ possiamo ricavare $M e$ , che sarà rappresentata dal fasore in quadratura di anticipo su $E 0$ . Ora si sommano ad esso i due fasore $K d M d$ , in fase con $I sinγ$ , e $K q M q$ in fase con $I cosγ$ . La risultante dei tre fasori è la forza magnetomotrice risultante, $M r$ . Ad essa, sulla caratteristica di magnetizzazione, corrisponde la tensione a carico $E$ , in quadratura di ritardo. Sottraendo al fasore di quest'ultima le cadute ohmica, $R I$ ed induttiva, $X d I$ otteniamo il fasore della tensione sul carico, $V$ .
Per potere costruire però il diagramma partendo dai dati effettivamente disponibili dobbiamo però procedere in modo diverso. Nel diagramma è tracciata la parallela al fasore della corrente, passante per l'estremo A di $M r$ . Essa interseca in H il fasore $M e$ . Ora tracciamo le perpendicolari ad $M e$ passanti per A e per l'estremo di $M e$ . Otterremo i punti C e B, intersezioni delle due perpendicolari, rispettivamente con $M e$ e con la retta parallela alla corrente. Sulla parallela sono ora individuati i segmenti AB ed AH che sisultano rispettivamente pari a

$\begin{array}{l} \text{AB} = \frac{{{K_d}{M_d}}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{K_d}{M_i}\sin \gamma }}{{\sin \gamma }} = {K_d}{M_i}\\ \text{AH} = \frac{{{K_q}{M_q}}}{{\cos \gamma }} = \frac{{{K_q}{M_i}\cos \gamma }}{{\cos \gamma }} = {K_q}{M_i} \end{array}$

quindi dipendenti solo dalla corrente I, oltre che dai coefficienti $K d$ e $K q$ che riteniamo noti, e non dall'angolo $γ$ .
Il diagramma di Blondel allora può essere tracciato disegnando i fasori $V \, , \, I \, , \, RI \, , \, X_dI \, , \, E , \,M_r$ . Dall'estremo di $M r$ si traccia ora la parallela alla corrente e, su di essa, i segmenti AB ed AH. Ora si traccia la retta che passa per H e per il punto comune di $V$ ed $I$ . Mandando da B la perpendicolari a questa retta si individua su di essa l'estremo di $M e$ . Sulla caratteristica di magnetizzazione ora si può leggere il valore di $E 0$ e tracciarne il fasore rappresentativo in quadratura di ritardo.

Esercizio

Un generatore trifase a poli sporgenti con collegamento a stella delle fasi, con le seguenti caratteristiche

$S_n= 1 \, \rm{MVA} \, ; \, f = 50 \, \rm{Hz}\, ; \, U_n=3 \, \rm{kV}\, ; \,\cos\varphi_n=0,7_R\, ; \,X_d=1{,1} \, \Omega \, ; \,$
$B_M=0{,}935 \, \rm{T }\, ; \, \tau=0{,}43 \, \rm{m}\, ; \,L=0,{43} \, \rm{m}\,$

Prova a vuoto

$M_e \, \rm{kA}$	$E_0 \, \rm{V}$
0	0
1,1	402
2,2	804
3,3	1207
4,45	1609
5,27	1851
7,0	2056
8,9	2160
9,2	2176
9,5	2192

Calcolare la forza elettromotrice a vuoto quando funziona con carico nominale.

Soluzione

La corrente nominale vale $I_n=\frac{S_n}{\sqrt{3}U_n}=\frac{10^6}{\sqrt{3}3 \times 10^3}=193 \, \rm{A}$
La resistenza non è fornita, ma in genere la si può trascurare. Quindi disegnamo La tensione di fase e la corrente sfasate dell'angolo $\varphi=\arccos(0{,}8)=45{,}6^\circ$ . Aggiungiamo la caduta di $X_dI=1{,}1 \times 193 \, \Omega$ , ottenendo la tensione prodotta in una fase in condizioni nominali di funzionamento $E n$ . Effettuiamo il calcolo con i complessi per una maggior precisione, assumento la corrente sull'asse reale

$\begin{array}{l} \dot E_n = \dot V_n + {\rm{j}}{X_d}{{\dot I}_n} = \frac{{{U_n}}}{{\sqrt 3 }}\angle \varphi + {\rm{j}}{X_d}{I_n} = 1732\angle 45{,}6 + {\rm{j1{,}1}} \times {\rm{193 = }}\\ {\rm{ = }}1212 + {\rm{j}}1237 + {\rm{j}}212 = 1889\angle 50{,}1 \end{array}$
Approssimando la caratteristica di magnetizzazione con segmenti che uniscono i punti della tabella nel piano M,E₀, determiniamo la forza magnetomotrice risultante che produce la tensione nominale di 1889 V:
${M_r} = 5{,}27 + \left( {7 - 5{,}27} \right) \times \frac{{1889 - 1851}}{{2056 - 1851}} = 5{,}6 \, {\rm{kA}}$ ne tracciamo il fasore in quadratura di anticipo con $E n$
Ora tracciamo la parallela alla corrente, quindi all'asse reale nel diagramma, passante per l'estremo di $M r$ . Su di essa dobbiamo riportare i due segmenti AB ed AH. E' necessario calcolare la $M i$
$M i = 1,35 n q I K 1$
Si ha, indicando con N il numero totale di conduttori dell'avvolgimento, $nq=\frac{N}{2p}$
ed N si può ricavare dall'espressione della tensione indotta
$N = \frac{{{E_n}}}{{2{,}22{k_1}f\Phi }}$
dove è necessario conoscere il flusso polare, che vale
$\Phi = \frac{2}{\pi }{B_M}L\tau = \frac{{2 \times 0{,}935 \times 0{,}43 \times 0{,}43}}{\pi } = 0{,}11{ \,\rm{Wb}}$
Abbiamo perciò
$\begin{array}{l} {M_i} = 1{,}35nqI{k_1} = 1{,}35\frac{N}{{2p}}I{k_1} = 1{,}35\frac{{{E_n}I}}{{4{,}44pf\Phi }} = \\ = 1{,}35 \times \frac{{1889 \times 193}}{{4{,}44 \times 4 \times 50 \times 0{,}11}} = 5039 \,\rm{A} \end{array}$
Abbiamo allora
$\begin{array}{l} {\rm{AB}} = {K_d}{M_i} = 0{,}85 \times 5039 = 4283{\rm{A}}\\ {\rm{AH}} = {K_q}{M_i} = 0{,}43 \times 5039 = 2167{\rm{A}} \end{array}$
Ora tracciando la semiretta OH ed intersecandola con la perpendicolare passante per B, individuiamo su di essa l'estremo di $M e$ , cioè il punto G in figura. La lunghezza di OG, nel disegno riprodotto con FidoCadJ (400%), risulta di circa 9,2 cm, quindi la tensione indotta a vuoto è, da tabella, $E_0=2176 \, \rm{V}$ . Si tratta di un calcolo grafico ovviamente, ma si possono trovare le relazioni analitiche per arrivare a valori più precisi.
Sempre sul grafico possiamo determinare l'angolo $γ$ che, misurato con un goniometro, risulta circa 61*. Anche in questo caso è possibile essere molto più precisi per via analitica. Ad esempio l'angolo può essere calcolato in questo modo
$\begin{array}{l} \rm{HK} = \rm{KA} + \rm{AH} = M_r\sin \alpha + K_qM_i = 5039\sin 50,1^{\circ} + 2167 = \\ = 3866 + 2167 = 6033{\rm{A}}\\ OK{\rm{ = }}{M_r}\cos \alpha = 5039\cos 50{,}1 = 3232 \, {\rm{A}}\\ \gamma = \arctan \frac{{HK}}{{OK}} = \arctan \frac{{6033}}{{3232}} = 61,8^{\circ} \end{array}$
Lascio le altre precisioni ai volonterosi lettori che arrivati fino a questo punto sono desiderosi di esercitarsi in geometria analitica. :)

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Diagramma delle due reattanze (o di sole cadute di tensione)

Lo si potrebbe chiamare il "Behn-Eschenburg" per le macchine a poli salienti. E' valido se la macchina lavora nella zona lineare della caratteristica di magnetizzazione. In pratica si ripete, per le tensioni, la stessa costruzione vista per le forze magnetomotrici. Quindi dati $V \, , \, I \, , \, \varphi \, , \, R, \, , \, X$ (reattanza di dispersione) si perviene nel solito modo a tracciare la $E$ , tensione indotta a carico. Ora, perpendicolare ad $I$ , si traccia il segmento $A B = X i d I$ e su di esso si individua il punto H, tale per cui $A H = X i q I$ dove
$X_{id}=K_dX_i \quad ; \quad X_{iq}=K_qX_i$
sono le due reattanze, rispettivamente: reattanza di reazione diretta e reattanza di reazione in quadratura, essendo $X i$ la reattanza di reazione ricavata leggendo, sulla caratteristica di magnetizzazione, la tensione $E i$ corrispondente alla $M i = 1,35 n q I k 1$ e rapportandola alla corrente: $X i = E i / I$ (come già visto).
Da B si manda la perpendicolare alla semiretta OH, intersecandola in D, che individua, su quella stessa semiretta, la tensione a vuoto $E 0$ . AC e CD sono le cadute induttive dovute alle componenti in fase ed in quadratura con $E 0$ della corrente $I$ , dovute alle due reattanze di reazione. Le reattanze di reazione, sommate alla reattanza di dispersione, sono

$X d = X i d + X$ reattanza sincrona diretta
$X q = X i q + X$ reattanza sincrona in quadratura

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Osservazione: se

X d = X q

come si può ritenere, in prima approssimazione, per le macchine a rotore liscio, il diagramma coincide con quello di Behn-Eschemburg.

Esercizio

Un generatore trifase a poli sporgenti, quadripolare con collegamento a stella delle fasi, non saturo ha:

$S_n=160 \, \rm{kVA} \, ; \, f= \, 50 \rm{Hz}\, ; \, U_n=4 \, \rm{kV}\, ; \, \cos\varphi_n=0{,}85_R$
$X_d=78 \, \Omega \, ; \, X_q=54 \, \Omega$

Trascurando la resistenza, calcolare la tensione a vuoto in condizioni nominali.

Soluzione

Calcoliamo corrente nominale e cadute di tensione sulla reattanza sincrona diretta ed in quadratura

$I_n=\frac{S_n}{\sqrt{3}U_n}=\frac{160 \times 10^3}{\sqrt{3}\times4\times10^3}=23{,}1 \, \rm{A}$

$\varphi {\rm{ = arccos}}\left( {{\rm{0,85}}} \right){\rm{ = 31,8^\circ }}$

$X_dI=78\times23{,}1=1801 \, \rm{V}$

$X_qI=54\times23{,}1=1247 \, \rm{V}$

Disegnamo il grafico vettoriale delle due reattanze

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Quindi operando con i numeri complessi, avendo assunto l'asse reale coincidente con la direzione della corrente, otteniamo

$\dot V = \frac{{{U_n}}}{{\sqrt 3 }}\angle {\varphi _n} = 2309\angle 31,8^\circ = 1963 + {\rm{j}}1217$
$\begin{array}{l} OB = \dot V + {\rm{j}}{X_d}I = 1963 + {\rm{j}}1217 + {\rm{j}}1801 = 1963 + {\rm{j}}3018\\ OH = \dot V + {\rm{j}}{X_q}I = \left| {OH} \right|\angle \gamma =\\ = 1963 + {\rm{j}}1217 + {\rm{j}}1247 = 1963 + {\rm{j}}2464 = 3150\angle 51{,}4^\circ \end{array}$

Ora possiamo calcolare il modulo della tensione a vuoto

$\begin{array}{l} \left| {HD} \right| = \rm{BH}\sin \gamma = \left( {1801 - 1247} \right)\sin 51,4 = 433 \, \rm{V}\\ \left| {OD} \right| = {E_{0n}} = \left| {OH} \right| + \left| {HD} \right| = 3150 + 433 = 3583 \, {\rm{V}} \end{array}$

${{\dot E}_{0n}} = {E_{0n}}\angle \gamma = 3583\angle 51{,}4 \, {\rm{V}}$

Bibliografia

Appunti di macchine elettriche - Ciro Di Pieri - Ed. CLEUP - Ia ed. settembre 1970; ristampa novembre 1991
Macchine elettriche rotanti - M.Andriollo - G. Martinelli - A. Morini - CLEUP , 1998

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Teoria della doppia reazione e diagramma di Blondel per una macchina sincrona

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