Premessa

Accogliendo l’invito di Admin a scrivere di musica, mi lancio adesso su Mozart prendendolo come spunto per ritornare su un argomento a me caro: la simmetria, qui cercata nella musica. Pur volendo essere sintetico mi sono ritrovato un articolo un po’ lungo; lo pubblicherò quindi in due parti. Mi scuso se alcune parti dovessero risultare un po’ troppo “specialistiche”.

Un Mozart asimmetrico

W.A. Mozart

Ricordo bene quando, all’età di 10 anni, ho avuto in dono il primo volume delle Sonate per pianoforte di W.A. Mozart. Studiavo lo strumento da solo un anno ma alcune di quelle pagine non mi sembravano così difficili (anni dopo mi sarei ricreduto abbondantemente!). Ci trovavo alcuni simpatici motivetti che potevo “isolare” e suonare con piacere, cosi che nella mia fantasia di bambino sentivo Mozart molto vicino, una sorta di amico della mia età o poco più grande, allegro e giocherellone.

Non ero poi molto lontano dalla verità e quando leggevo i commenti del revisore, che parlando di Mozart usava l’appellativo di “Maestro”, rimanevo un po’ perplesso, come se, chiamandolo con un nome così altisonante, volesse togliermi questa fantasia di amicizia ideale. Il revisore è per definizione un musicista esperto che si prende la briga di “sistemare” graficamente lo spartito, aggiungendo indicazioni ritenute utili, rendendosi garante dell’autenticità della composizione e inserendo a volte osservazioni di tipo critico o storico. In quel caso si trattava del grande Alfredo Casella, di cui la mia maestra era stata allieva, un uomo il cui prestigio non era assolutamente in discussione; tra l’altro era stato anche uno dei promotori di Mozart in Italia. Sembrerà strano, ma fino agli anni ’30 del secolo scorso, questo grande, incomparabile autore era pochissimo conosciuto da noi, salvo che per opere liriche quali Don Giovanni, Il Flauto magico, Le Nozze di Figaro, Così fan tutte.

Nonostante quelli che io ritenevo tentativi di intimidazione da parte di Casella, continuavo ad amare e a studiare quei “motivetti”, o meglio le sonate in cui erano contenuti. Divenuto più grandicello cominciai anche a leggere qualcosa sul mio autore preferito e a un certo punto trovai sull’Enciclopedia della Musica di Ricordi, altro regalo di mio padre, un’osservazione che mi colpì molto ma che compresi poco. Nella voce “Mozart” l’autorevole critico e compositore René Leibowitz riportava un’idea di Schoenberg (il fondatore della musica dodecafonica), veniva illustrata con alcuni esempi musicali, secondo il quale un tratto saliente della musica di Mozart è l’asimmetria; quest’idea mi rimase in mente come qualcosa di poco chiaro ma importante. Un po’ confusamente il concetto di simmetria mi appariva centrale per la scienza, un pensiero forse derivato dallo studio liceale delle simmetrie nei cristalli. Guardandomi intorno ogni tanto mi trovavo a notare come molti oggetti e animali, compresi gli esseri umani, erano caratterizzati da varie simmetrie.

Ne parlai una volta con il marito della mia maestra di pianoforte, un biologo e studioso di filosofia della scienza, dal quale seppi che “la vita non sarebbe possibile se un essere fosse totalmente simmetrico”, un’affermazione che mi colpì ma di cui ancora una volta non capii la spiegazione, ammesso che mi sia stata data. Solo successivamente ho avuto modo di constatare come la simmetria sia un concetto presente in moltissimi campi del sapere umano, anche se non sempre in modo esplicito.

Che cos’è la simmetria?

Sono stato sempre affascinato dall’osservare che oggetti uguali disposti alla rinfusa su un piano tendono a disporsi in modo simmetrico se sollecitati da una forza oscillante costante. Da ragazzino facevo spesso l’esperimento con le puntine da disegno: ne mettevo non troppe, capovolte, nella loro scatola rettangolare dai bordi bassi, con la testa appoggiata sul fondo della scatola in quantità tale che rimanga un po’ di spazio tra l’una e l’altra; facendo scivolare avanti e indietro la scatola sul tavolo, per un percorso di qualche cm e a una velocità di circa 2 movimenti al secondo, notavo che dopo un po’ le puntine si dispongono in modo estremamente regolare, formando una sorta di piastrellatura. La spiegazione che (adesso) mi do è che le singole quantità di moto acquisite producono microurti in cui viene ceduta energia da parte delle puntine più veloci a quelle meno veloci; l’energia “converge” verso valori uguali per tutte le puntine, le quali così si dispongono in modo regolare. Nasce cioè una simmetria, che in questo caso si rivela come un aspetto di una situazione di raggiunto equilibrio.

Ciò che definisce più rigorosamente la simmetria è come al solito la matematica, la quale però comporta uno sciorinare di simboli spesso, almeno per me, piuttosto scoraggianti. Solo di rado vinco la lotta contro una particolare ed endemica pigrizia verso la matematica, dalla quale sono peraltro attratto; per sua natura essa costituisce il massimo del rigore e quindi dell’intolleranza. La sua indiscutibile ma algida bellezza non lascia scampo: qualsiasi ridondanza viene bandita e soprattutto l’algebra impegna le mie povere facoltà mentali in faticose sfide. Per fortuna alcuni matematici, presi talvolta da accessi di generosità verso il resto del genere umano, si prodigano in spiegazioni adatte a noi comuni mortali, non scevre da infiltrazioni di astuto marketing (vedi per esempio i piacevoli libri di Odifreddi).

Vari studiosi ci informano che siamo costruiti per notare la simmetria intorno a noi. La vediamo in particolare nella geometria, specialmente nelle figure piane: l’arte fin dalle sue prime espressioni e l’architettura sono piene di immagini, costruzioni e decorazioni simmetriche.

Troviamo spesso la simmetria legata a una situazione di equilibrio e, in molti casi, di minimo dell’energia: la bilancia ne è un esempio espressivo e familiare. Il principio di conservazione dell’energia, base, almeno finora, di tutta la fisica, si manifesta spesso attraverso la simmetria. Lo troviamo nella serie armonica delle frequenze di oscillazione di una corda ideale, fatta di multipli di una frequenza fondamentale. Perché sono multipli interi e non moltiplicatori frazionari o irrazionali? La risposta mi sembra essere che i numeri interi, in questo caso, corrispondono a onde stazionarie (ossia funzioni solo del tempo e non anche dello spazio) e quindi a minimi dell’energia. D’altra parte è intuitivo che i ventri e i nodi delle oscillazioni stazionarie provengono da divisioni in parti uguali della corda, e quindi da numeri interi; altrimenti ci sarebbe movimento di propagazione e le onde non sarebbero più stazionarie. Anzi è proprio questa la condizione per la quale le onde nella corda rimangono “ferme” rispetto alla direzione della corda stessa, dando luogo a una simmetria bilaterale, con l’asse posto al centro della corda.

Armonici in una corda

C’è sempre nella simmetria qualcosa che si ripete e infatti le cose simmetriche sono sempre scomponibili in moduli, parti irriducibili. Per quanto intrinsecamente legata a un concetto di equilibrio e quindi di staticità, una sua definizione geometrica intuitiva avviene attraverso il movimento, riconducibile a una rotazione, a una traslazione o a varie combinazioni delle due: d’altra parte nella geometria proiettiva una traslazione è una rotazione con centro all’infinito. Le figure simmetriche sono ribaltabili o ruotabili rispetto a una retta o a un piano, secondo che siamo in due o in tre dimensioni. In base al tipo di movimento implicato, in geometria vengono definiti vari tipi di simmetria, di cui vorrei fare solo qualche accenno. Nelle definizioni classiche si chiama diedrica la simmetria di ribaltamento, mentre si chiama ciclica quella di rotazione.

diedrica

ciclica

Simmetria diedrica: oltre alle rotazioni nel piano esistono vari assi di ribaltamento. Simmetria ciclica: solo rotazionale nel piano

Se pensiamo a un quadrato, una sua rotazione di 90° nel piano intorno all’asse perpendicolare passante per il punto d’incontro delle diagonali rende il quadrato esattamente sovrapponibile con quello di partenza. Continuando, dopo 4 rotazioni si torna alla posizione iniziale. Si dice allora che il quadrato possiede 4 simmetrie di rotazione nel piano (compresa la rotazione di 0°). Risulta chiaro che applicando qualsiasi numero di rotazioni di 90° in qualsiasi senso, orario o antiorario, si ottiene sempre una della 4 posizioni possibili. Altre 2 simmetrie si ottengono passando in 3 dimensioni, con il ribaltamento del quadrato intorno alle diagonali e intorno alle due rette mediane, cioè alle perpendicolari a ogni coppia di lati paralleli, passanti per i loro centri.

Una definizione di simmetria

Una definizione di simmetria per gli oggetti geometrici e fisici che mi pare abbastanza abbordabile è quella riportata sull’articolo “Aspect of Simmetry” pubblicato su "University of Illinois at Chicago Honors College": la simmetria è una trasformazione che mappa un oggetto su se stesso lasciandone invariata la struttura.

La simmetria è quindi collegata anche a un concetto di invarianza. Considerando quindi i due termini “trasformazione” e “struttura” vediamo che il primo implica movimento, variazione mentre il secondo implica stasi, invarianza. Non potendomi però accontentare così facilmente (non a caso ogni tanto mi si accusa di pignoleria), e dando comunque per scontati i concetti di trasformazione, di mappatura e di oggetto (scusate se è poco…), mi domando: cosa si intende con “struttura”? Conviene limitarci alla “struttura matematica”, che in questo caso è perfettamente attinente.

Charles Wells, professore emerito alla Case Western Reserve University (Cleveland, Ohio) dà di struttura matematica una definizione “colloquiale”, avvertendo appunto che non si tratta di una definizione matematica: “Una struttura matematica è un insieme (talvolta più di un insieme) con associati vari oggetti matematici, quali sottoinsiemi, insiemi di sottoinsiemi, operazioni e relazioni, che devono soddisfare vari requisiti (assiomi).” In pratica spesso una struttura è un insieme V di “vincoli”, quali regole, definizioni, relazioni, etc. che devono restare invariati quando, applicati a un certo insieme A, quest’ultimo subisce certi tipi di trasformazione. L’insieme V viene chiamato insieme di supporto ("underlying set") della struttura su A. Un esempio classico di struttura è la metrica, per la quale le distanze tra i punti appartenenti a un oggetto non variano quando l’oggetto viene cambiato di posizione nello spazio ordinario. Possiamo anche pensare una struttura descritta da una tabella o meglio ancora da una matrice, che, a sua volta, definisce uno spazio vettoriale; quest'ultimo ha per molti lo stesso significato di struttura.

Un altro caso semplice di conservazione della struttura matematica è la ricorsività, di cui sono un esempio illustre i frattali; la maggior parte di noi li conosce per le figure fantasmagoriche generate da appositi programmi di grafica e dotate di numerose e accattivanti simmetrie.

Per le trasformazioni di insiemi l’algebra parla di morfismo come di una trasformazione che mappa un insieme “dominio” su un altro insieme “codominio” mantenendo invariate alcune caratteristiche strutturali. Un morfismo familiare è quello detto funzione e indicato spesso con f(x,y) = 0. Se il morfismo è invertibile viene detto isomorfismo: nelle funzioni corrisponde alla possibilità di scrivere

x = f ^{− 1}(y) . Se il morfismo mappa un insieme su se stesso, allora è un endomorfismo. Se un morfismo è contemporaneamente isomorfismo e endomorfismo allora è un automorfismo.

Un automorfismo abbastanza conosciuto è la similitudine (o dilatazione lineare), una proprietà che in geometria viene facilmente visualizzata nei triangoli simili (angoli corrispondenti uguali o lati corrispondenti di lunghezza proporzionale).

Qualche dettaglio in più sulla simmetria

Nel classico libro di Weyl “La simmetria”, citato da Admin nel suo bell’articolo in materia, essa viene definita proprio come un automorfismo, con vari esempi interessanti e spiegazioni che però, almeno per me, non sempre brillano per chiarezza. Le cose vanno meglio con “Il disordine perfetto” (bizzarra ma impossibile traduzione del titolo originale “Finding Moonshine”) di De Sautoy, che si legge come un romanzo, in cui l’autore introduce qualche semplice ma utile strumento matematico.

Uno di questi è l’analisi combinatoria, abbastanza intuitiva nelle sue premesse, almeno per la geometria. Detti A, B, C i vertici di un triangolo equilatero, le simmetrie possibili corrispondono alle 6 permutazioni dei vertici. Le permutazioni di n elementi sono infatti n! cioè 3*2*1 = 6, corrispondenti a 3 simmetrie di rotazione rispetto al centro più 3 simmetrie di ribaltamento attorno alle bisettrici. Questa regola non vale per il rettangolo: delle 4! = 24 permutazioni possibili solo 8 ne lasciano invariata la struttura; ad esempio, nel rettangolo ABCD, la permutazione ABDC non è accettabile in quanto il rettangolo si trasforma in un doppio triangolo con un vertice in comune “a farfalla” e la struttura risulta alterata. Strettamente legato alla combinatoria e quindi alla simmetria è il concetto di gruppo, elaborato dal matematico Évariste Galois (a 17 anni!).

Evariste Galois

Accontentiamoci della definizione che troviamo su Wikipedia, che mi assicurano essere esatta:

“Un gruppo è un insieme W munito di una operazione binaria “§”, ossia un’operazione eseguita su 2 elementi, che ad ogni coppia di elementi a, b di W associa un terzo elemento, che indichiamo con k = a§b, appartenente a W, rispettando i tre seguenti assiomi:

1. proprietà associativa: dati a, b, c appartenenti a W, vale (a§b)§c = a§(b§c)

2. esistenza dell'elemento neutro: esiste in W un elemento neutro e rispetto all'operazione §, cioè tale che a§e = e§a = a per ogni a appartenente a W

3. esistenza dell'inverso: ad ogni elemento a di W è associato un elemento a’, detto inverso di a, tale che a§a’ = a’§a = e

Per esempio per W = Z (insieme degli interi relativi cioè sia positivi che negativi) questi assiomi ci sembrano quasi ovvi se pensiamo a “§” come all’operazione somma (“+”) e a e = 0 come elemento neutro e l’inverso non è altro che il numero cambiato di segno; ma l’ovvio non appartiene all’algebra! . Peraltro è facile vedere che Z non è gruppo rispetto alla moltiplicazione.

Per descrivere la simmetria dobbiamo però prescindere dall’insieme Z o da altri insiemi numerici. L’algebra astratta, o tutta la matematica “moderna”, mi dicono, ha cercato sempre più di svincolarsi dalla semantica, cioè dai significati particolari, dai contenuti, per concentrarsi sempre di più sulla sintassi, ossia sulle regole di associazione tra “cose” prescindendo dalla natura delle cose stesse. Con ciò è diventata forse più difficile ma ha guadagnato in generalità. Le simmetrie di un oggetto formano gruppo rispetto a una particolare operazione binaria, abbiamo visto. Come esempio consideriamo la simmetria rotazionale di un poligono regolare di n lati intorno al proprio centro: ruotando il poligono di 360/n gradi il poligono ritorna “su se stesso” facendo “uno scatto” di posizione. Applicando più scatti di seguito si ottiene sempre una delle n posizioni possibili ossia una delle n simmetrie. I tre assiomi vengono tutti rispettati se si considerano gli elementi di W come il numero di scatti di posizione:

1. Il risultato non cambia se applico gli scatti in successione diversa. 2. L’elemento neutro è il numero dei lati, ossia il giro completo. 3. L’inverso è il numero di scatti che manca a completare il giro completo.

Dice De Sautoy che un oggetto simmetrico che si muove è “qualcosa che mi può mangiare o che io posso mangiare”, mentre gli oggetti simmetrici fermi, come i frutti, possono essere solo mangiati: per questo è vitale che li notiamo e che sono così importanti per noi. E di conseguenza alcuni oggetti simmetrici assumono un valore particolare, spesso esoterico o religioso, un valore di simbolo. I simboli, infatti, sono quasi sempre dotati di varie simmetrie.

L’ eccessiva simmetria risulta però monotona, statica, quindi ogni tanto bisogna romperla: solo così si genera il movimento e magari anche la vita, come diceva il biologo. La vita si svolge con una dialettica continua tra simmetria e asimmetria e anche l’arte, che della vita o di certi suoi aspetti vuole essere rappresentazione, opera allo stesso modo.

Al di fuori della matematica, spesso la simmetria non è completa e si dovrebbe parlare simmetria approssimata o di quasi-simmetria (come in certi cristalli). La quasi-simmetria è molto importante, forse più della simmetria stessa, come se il cervello fosse in grado di compensare il “quasi”, o di adattarlo a situazioni in cui è sufficiente o opportuna la presenza di un margine di imprevedibilità o di adattabilità ad una struttura preesistente. Sembra di poter dire che la simmetria stimola quella tendenza che abbiamo a ricondurre le nostre percezioni a qualcosa di conosciuto o di semplice, con la quale riusciamo a individuare e compensare mentalmente ciò che manca a un oggetto perfettamente simmetrico, che funge così da "obiettivo ideale".

De Sautoy, dopo aver passato in rassegna le 17 simmetrie possibili che caratterizzano le decorazioni su un piano (si può dimostrare che in 2 dimensioni non ne esistono di più), già esplorate tutte dai Mori nel piastrellare il palazzo dell’Ahlambra di Granada, racconta che i tessitori di tappeti del medio oriente inseriscono di proposito un “errore” nei complicati disegni simmetrici dei tappeti proprio per rompere la simmetria, che altrimenti sembrerebbe una sfida alla divinità.

La simmetria permea la natura: oltre che nelle orbite degli astri e nei cristalli la si trova in tutti gli organismi biologici, a cominciare dal loro DNA. E’ presente poi in tutte le attività umane, nelle costruzioni, nelle teorie scientifiche, nel linguaggio, nell’arte. Vederne tutte le implicazioni riempirebbe vari volumi.

Musica e simmetria

Considerando la musica, si può tranquillamente dire che è per lo più basata sulla simmetria, e a vari livelli.

Un primo livello è quello del suono, che si caratterizza per la periodicità delle oscillazioni della pressione dell’aria. Un suono possiede quindi una simmetria intrinseca, o almeno una “quasi-simmetria”, riconoscibile durante l’intervallo di tempo detto “fase di sustain”, in cui ciascun periodo è del tutto simile al precedente. Si tratta di simmetria di traslazione, simile a quella di una fila di mattoni uguali. Anche un suono che decresce lentamente in ampiezza (fase di “release”), come quello di una corda pizzicata, mantiene una forte somiglianza tra un periodo e il precedente: la differenza è appunto nell’ampiezza ma la forma rimane la stessa per vari periodi, e infatti percepiamo sempre lo stesso timbro. Ora, è vero che esiste musica solo percussiva, fatta solo di rumori, tuttavia la maggior parte consiste soprattutto di suoni.

Un secondo livello riguarda la scelta dei suoni: tra tutti i suoni possibili, si può constatare che ogni cultura ne privilegia una parte, individuata principalmente dal parametro altezza, fisicamente corrispondente alla frequenza della fondamentale (cioè del primo armonico). Nella musica occidentale che va dal ‘700 a oggi, il campionario dei suoni (in teoria della comunicazione si chiamerebbe alfabeto dei simboli) è costituito dalla successione di 88 altezze, suddivise in gruppi di 12 suoni detti “note musicali”. Ognuno di tali gruppi è chiamato “ottava”; al suo interno le note assumono i 7 nomi che conosciamo (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI) ai quali si aggiungono 5 dei medesimi nomi seguiti da un suffisso (#, b). La nota iniziale di ogni ottava ha la frequenza fondamentale doppia di quella iniziale dell’ottava precedente. Questa caratteristica fa sì che possano usarsi gli stessi nomi, ripetuti in ottave diverse. Per chiarire alcuni aspetti di simmetria di questo secondo livello mi pare opportuno illustrare qualche aspetto di questo campionario.

Le note musicali

Per comodità di scrittura utilizzo la notazione anglosassone: A = LA, B = SI, C = DO, D = RE, E = MI, F = FA, G = SOL. Le note, fino al medio evo inoltrato, erano solo 7 (in realtà erano 6 e la settima nota venne aggiunta dopo), disposte in altezza crescente (ossia frequenza fondamentale crescente). L’ottava nota, aumentando ancora di altezza, fu scelta in modo da essere molto simile alla prima, avendo scoperto che l’orecchio aveva questa proprietà. Quindi la distanza di “ottava” divenne subito un cardine di tutta la notazione: di fatto essa corrispondeva alla vibrazione di una corda lunga la metà di quella della prima nota. Oggi sappiamo che ciò corrisponde al doppio della frequenza fondamentale di vibrazione. Ciascuna nota dista dalla successiva uno o due semitoni. In particolare, da E a F e da B a C (dell’ottava superiore) la "distanza" è un semitono; le altre distanze sono di 2 semitoni (= 1 tono) se le note sono ordinate in altezza progressiva, o più semitoni in caso contrario. Tra le note tradizionali in successione crescente fino alla prima nota dell'ottava superiore, quindi, esistono in tutto 2 semitoni e 5 toni. Per creare i semitoni che mancavano nell’ambito dell’intervallo di ottava, furono introdotte le note “alterate” (aumentate o diminuite) di un semitono, indicate con i suffissi bemolle = ♭ (in inglese flat e io lo scriverò semplicemente “b”) per un semitono in meno e con il suffisso è il diesis = # (in inglese sharp) per un semitono in più. Ad esempio RE bemolle si scrive Db, mentre RE diesis si scrive D#. Le note sono così diventate 12. La distanza “semitono” non è di tipo “somma” ma è di tipo “prodotto”: il semitono è la “distanza minima” e corrisponde (oggi) a un rapporto di frequenza di 2^{1 / 12}. In altre parole la progressione delle altezze non è aritmetica ma è geometrica; l’ottava, per esempio, comprende 12 semitoni e infatti il rapporto è 2^{12 / 12}= 2. Nel sistema attuale, detto “temperamento equabile a 12 note” o “12TET (12 Tones Equal Temperament)” si hanno le coincidenze C# = Db, D# = Eb, E = Fb, E# = F, F# = Gb, G# = Ab, A# = Bb, B = Cb, B# = C. Questo ci porta a evidenziare subito che in passato esistevano altri tipi di “temperamento”, per i quali i semitoni non erano tutti uguali (tutti definiti con lo stesso rapporto di frequenza come oggi) ma dipendevano dalla nota che alteravano.

Saffo e Alceo

Fin dall’inizio la definizione dell’altezza delle note ha posto molti problemi; per individuarla e misurarla con precisione adeguata, soprattutto riferendosi ai sistemi del passato, il semitono è stato diviso (esponenzialmente) in 100 parti, chiamate cent: un cent = 2^{1 / 1200}. La capacità discriminatoria in frequenza dell’orecchio è, al meglio, di circa 5 cent: il cent è quindi un’unità di misura adeguata per l’acustica dell’orecchio umano. Dicevo che indipendentemente dall’altezza, la distanza di ottava tra due suoni, che corrisponde al doppio della frequenza, alla percezione risulta poco definita. Di conseguenza è venuto spontaneo dare nomi ai suoni solo all’interno dell’ottava, le cosiddette “note musicali”; d’altra parte, considerando che i suoni utilizzati sono varie decine, sarebbe stato poco pratico dare un nome diverso a ciascuno di essi. Ci si limita invece ad aggiungere, quando serve (in musica piuttosto raramente; di più in acustica musicale), il suffisso numerico che indica l’ottava di appartenenza e che va da 0 a 7, coprendo tutta la banda di frequenza in cui i suoni sono distinguibili: da 27,5 Hz (A0) a 4.186 Hz (C7). Frequenze superiori (fino a 15 – 20 khz) sono udibili ma non distinguibili e quindi non si possono utilizzare come suoni a sé per scopi musicali; ma anche le frequenze della gamma bassa, diciamo sotto i 100 Hz sono poco distinguibili e fungono soprattutto da “riempimento”. Il pentagramma, tramite l’ausilio delle cosiddette “chiavi”, riesce a rappresentare tutte le note.

Poiché aumentando o diminuendo di un’ottava, o di un multiplo intero di ottave, il suono mantiene una sua autosimilitudine, la successione dei suoni nel sistema attuale può essere disposta sul Cerchio delle Note (CdN), una rappresentazione basilare nella cosiddetta Music Set Theory elaborata inizialmente da Howard Hanson nel 1960 e successivamente estesa da Allen Forte nel 1973.

Il Cerchio delle Note

Nel cerchio di sinistra si è scelto di rappresentare tutte le note alterate con il “#”, in quello di destra con il “b” (bemolle), considerando le coincidenze tra note alterate successive, evidenziate sopra nel 12TET. Con questa rappresentazione “logaritmica”, si vede che i 12 suoni presentano una simmetria di rotazione simile a quella dell’orologio: girando il cerchio di 30 gradi, si ottiene ancora una nota. Inoltre, poiché le note si ripetono in tutte le ottave con gli stessi nomi, le ottave presentano una simmetria di traslazione. Prescindendo dall’ottava di appartenenza, l’insieme delle note ha quindi una struttura di gruppo, messa in evidenza dal CdN, associando un numero da 0 a 11 e operazioni modulo 12. Normalmente si sceglie l’insieme di associazioni 0 <-> C, 1 <-> C# = Db, 2 <-> D, 3 = D# = Eb, …, 11 <-> B; ossia C = {0}, C# = Db = {1}, D = {2}, D# = Eb = {3}, … B = {11}. Ma si potrebbe partire da ciascuna delle 12 note, ad esempio A. Possiamo quindi individuare l’insieme T_C(C) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} come l’insieme delle note, ordinato inmodo crescente, dove gli elementi di t_i di T non sono altro che i coefficienti dell’esponente 1/12 di 2 e il primo elemento è t₀ = 0. Tenendo la convenzione C = {0}, si scrive T_C(A) = {9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Se la convenzione è A = {0}, si scrive T_A(A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} e le altre note prendono i numeri indicati: A# = {1} etc. Osserviamo che si usano implicitamente i logaritmi: la frequenza fondamentale di ogni nota F_i è ottenuta dalla quella della nota di partenza F₀ moltiplicata per la potenza di 2 corrispondente, ossia F_i = F₀2^{ti / 12}. Il vantaggio è, come al solito, che queste moltiplicazioni diventano semplici somme. Invece che da C Per costruire in pratica la scala dei suoni si prende F₀ come la frequenza di A4 = 440 Hz fissata come standard internazionale. Ne segue F₉ = F₀2^{9 / 12} ossia 440 = F₀2^{9 / 12} da cui F₀ = 440 * 2^{3 / 4} = 261, ... 626 … Hz e così via per le altre frequenze, che sono tutte numeri irrazionali, eccetto i multipli interi di 440.

Il Cerchio delle Note (CdN). Il cerchio di sinistra usa i diesis e quello di destra i bemolli.

Intervalli e frequenze

La distanze tra una nota e un’altra qualsiasi è detta intervallo, si misura in semitoni e ha un nome ordinale riferito a quante note non alterate (ossia le 7 note) bisogna “percorrere” dalla nota iniziale a quella finale comprese: per esempio tra D e G c'è un intervallo di "quarta". Le alterazioni, dato che sono apparse in un periodo storico successivo, vengono indicate con gli aggettivi maggiore, minore, giusta, eccedente, diminuita, secondo i casi. Un semitono corrisponde all’intervallo di seconda minore e sulla tastiera è la distanza tra un tasto bianco e il nero successivo o precedente (C-C#, C#-D, D-D#, etc.) o anche tra B e C e tra E e F. Spesso si nominano gli intervalli a partire da C, ma, visto che il nome indica la distanza in semitoni è chiaro che riguardano qualsiasi coppia di note; nella figura si vedono infatti due gruppi di intervalli nell’ambito di un’ottava: un gruppo parte da C, l’altro, tanto per esemplificare, parte da G#. Normalmente viene sottinteso che gli intervalli sono “ascendenti”, ossia si contano dalla nota più bassa a quella più alta delle due. Possono però essere anche discendenti e in questo caso, se ci fermiamo all’ottava come intervallo massimo, sono il complemento a 9 di quelli ascendenti: una quinta ascendente corrisponde a una quarta discendente, una settima ascendente a una seconda discendente e così via. Il complemento è a 9 e non a 7 perché nel denominare gli intervalli si contano anche le note (non alterate) di partenza e quella di arrivo: D-A è un intervallo di quinta ascendente o di quarta discendente. Si possono indicare intervalli anche superiori all’ottava, come la nona, la decima, etc. rinunciando alle operazioni modulo 12. Ciò ha senso musicalmente, ma richiede un tipo di analisi un po’ diversa, che semplicemente estende quella modulo 12 e che adesso non consideriamo.

Note e intervalli

Tabella 1

Prima del temperamento equabile

Questo insieme di 12 note è il risultato di un processo storico, iniziato molti secoli fa, per il quale dal continuum sonoro sono stati scelti solo alcuni suoni che avevano tra loro un rapporto di “consonanza” ossia che, emessi a gruppi di due risultavano piacevoli all’orecchio. I suoni scelti sono stati derivati da un unico suono di una corda tesa, come quella di una chitarra attuale, che viene accorciata tramite un ponticello scorrevole: uno strumento siffatto è chiamato “monocordo” e la scoperta, attribuita a Pitagora, è che se la nuova lunghezza è in rapporto con quella iniziale come due numeri interi piccoli, i due suoni, quello emesso prima di muovere il ponticello e quello emesso dalla corda accorciata, sono consonanti. Muovendo il ponticello a metà della corda, formando quindi il rapporto 2/1 si ottiene un suono che suona quasi uguale e quello di partenza, anche se abbastanza più acuto, a quella “distanza” che in seguito verrà chiamata “ottava”. Il rapporto 3/2 genera un suono molto consonante con il suono iniziale e meno distante. Con altri rapporti di interi piccoli, come 4/3 e 5/4, si sono trovati altri suoni consonanti più vicini, in altezza, a quello iniziale. Ordinando i nuovi suoni in altezza crescente si ottiene una “scala” di suoni, tra loro vicini, ma non troppo e, salvo il secondo e il settimo, tutti consonanti con il primo. Fino al medio evo le note erano solo 7 (numero “esoterico”), quelle che oggi si trovano nei tasti bianchi della tastiera; continuando a salire in altezza, a una distanza quasi uguale a quella tra terza e quarta nota, si trovava un’ottava nota, il cui suono risultava del tutto simile alla prima, anche se molto più acuta. Da questa ottava nota si poteva continuare con un’altra scala di 7 suoni, uguale alla prima come successione sonora ma tutta più acuta. La scala delle sette note caratterizzata dai rapporti crescenti 1:1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8 è detta “scala diatonica”.

All’incirca nell’anno 1000 furono dati alle note i nomi attuali (salvo la prima, che invece di DO si chiamava UT e in francese si chiama ancora così). In qualche modo si è sempre cercato di misurare la problematica e cruciale “distanza” tra una nota e la successiva. Fino a tempi abbastanza recenti non si conosceva il concetto di frequenza, quindi la misura veniva fatta in termini di lunghezza di una corda, o meglio di rapporti di lunghezza. Si pensò che nella scala di 7 note il rapporto 15/16 poteva essere una sorta di unità di misura: fu detto “semitono” ma ci si rese conto che quel rapporto non poteva essere costante lungo tutta la scala (pensiamo anche alla precisione e all’accuratezza ottenibili ai tempi). In termini numerici, si può notare come “sommando” un intervallo di quinta (3/2) con uno di quarta (4/3) si abbia un’ottava: 3/2 ° 4/3 = 2 ossia un’ottava. Bisognerebbe però che “sommando” a se stesso tante volte un intervallo semplice, alla fine si ottenesse un numero intero di ottave, ossia (3 / 2)^p = 2ⁿ, con p ed n interi. Purtroppo una tale soluzione si rivela inesistente, e questo ha generato non pochi grattacapi nei secoli ai poveri teorici della musica. Nel medio evo, quando cantare in chiesa era molto importante, la difficoltà di intonare una scala a partire un suono di altezza prestabilita, sia per quelli con la voce acuta che per quelli con la voce bassa, indusse a tentare di riprodurre la stessa scala diatonica iniziando non dalla nota UT ma da un’altra nota, ad esempio MI (E) come nota iniziale, perché tra nota iniziale e seconda nota (MI-FA) c’è un semitono, mentre ci deve essere un tono, come quando si parte da DO (C).

Però, per farlo, si dovettero aggiungere altre note, altrimenti le distanze in semitoni e toni suddette (tra prima nota e seconda, seconda e terza, etc.) non erano possibili. Si introdussero allora le note “alterate” e dalla scala diatonica si costruirono delle scale “cromatiche”; ma per garantire una buona intonazione furono necessarie note alterate sia in più (aumento di frequenza di un semitono indicato dal diesis) sia in meno (diminuzione di frequenza di un semitono indicato dal bemolle). I semitoni non erano tutti uguali e quindi le note alterate erano diventate troppe, con conseguente difficoltà di uso. Così, dal ‘600 si cominciò a cercare di ridurne il numero; il fisico e matematico olandese Simon Stevin (lo stesso della legge della meccanica dei fluidi) ravvisò nel numero 12 (altro numero esoterico!) la quantità giusta di note ciascuna distante dalla successiva o precedente un semitono uguale per tutte, ottenuto attraverso un “temperamento”, ossia un aggiustamento del rapporto di altezza che lo rendeva unico e precisamente uguale alla semplice media geometrica su 12 parti nell'ambito dell'intervallo di ottava. Questo temperamento è stato quindi chiamato “equabile”; anche se nella scrittura sono rimasti diesis e bemolli, ormai la loro distinzione rimane un fatto puramente di tradizione, perché il diesis aumenta l’altezza di un semitono e il bemolle l’abbassa dello stesso semitono. Accanto a molti vantaggi, uno svantaggio è che i soli intervalli veramente consonanti sono quelli di ottava; per realizzare l’uguaglianza dei semitoni si è dovuto rinunciare ai rapporti di numeri interi piccoli e quindi alla consonanza “perfetta”, ciò che fu abbastanza difficile da accettare ma che presentava indubbi vantaggi per gli strumenti a tastiera. Prima di approdare definitivamente al temperamento equabile, nel corso del tempo si sono ideati e molti altri tipi di temperamento, tesi a garantire una maggiore consonanza di certi intervalli, soprattutto quelli di terza maggiore. L’uso del computer rende oggi possibile utilizzare qualsiasi tipo di temperamento. Tuttavia noi siamo oggi così abituati al temperamento equabile, quindi a consonanze imperfette, che quei ritorni al passato possono addirittura creare un qualche sconcerto nell’ascolto per i non puristi. Per chi vuole approfondire consiglio, tra i tanti: http://en.wikipedia.org/wiki/12-tone_equal_temperament e http://it.wikipedia.org/wiki/Temperamento_(musica)

Nella seconda parte affronteremo il discorso della tonalità e altri aspetti della simmetria e della asimmetria in musica, compresa quella di Mozart.