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Volume della sfera spiegato

Introduzione

A scuola ti insegnano che il volume della Sfera è 4/3πR3. Come si spiega questa formula? Beh, chi studia un po' di matematica in più sa che basta calcolare un integrale triplo, utilizzando la simmetria della sfera, il volume arriva subito. Io trovo però più divertente riuscire a visualizzare le dimostrazioni e in questo caso ne ho trovata una su Quora da parte di Vincent Yahia, Doctorat Physique & Physique des plasmas, École Polytechnique - Université Paris-Saclay che mi è piaciuta particolarmente e quindi ho pensato di riproporla qui, traducendola dal francese.

Dimostrazione

Possiamo iniziare con un cerchio di raggio R. In questo caso, il suo perimetro vale ovviamente 2πR. Ora, qual è l'area del disco delimitata da questo cerchio? Per trovare la risposta, possiamo immaginare che il disco sia composto da una moltitudine di circonferenze concentriche, incollate tra loro. La più piccola ha un raggio zero e la più grande ha un raggio R mentre le altre circonferenze occupano tutti i valori compresi tra 0 e R. Se prendo casualmente una di queste circonferenze di raggio r, possiamo rappresentare la sua "superficie" semplicemente come la sua lunghezza (è una linea, non ha spessore). [Passando da uno spazio a due dimensioni a uno spazio a una dimensione, una superficie diventa una linea, nota mia]. Questa "superficie" vale quindi 2πr. La superficie totale del disco, è quindi la somma delle lunghezze di tutti i cerchi concentrici da r = 0 a r = R.

Possiamo visualizzare questa superficie se "spieghiamo" le circonferenze una per una: otteniamo quindi una successione di segmenti.

Se continuo fino all'ultima circonferenza, otterrò una superficie blu equivalente alla superficie del disco.

È un triangolo rettangolo e se calcoliamo la sua area, ricadiamo sulla formula dell'area di un disco S = πR2. Per la sfera, usiamo lo stesso principio: la sfera è una pila di dischi, un po'come mostra l'immagine qui sotto, ragionando solo su una semisfera.

Ogni disco di raggio r' occupa un "volume" che viene ridotto alla sua superficie S = πr′2. I dischi vengono impilati su un'altezza R che corrisponde al raggio della sfera. Il problema ora è sapere quanto vale il raggio r' del disco che si trova all'altezza r

Lasciamolo da parte per il momento e consideriamo un altro caso più semplice: se i dischi hanno un raggio che corrisponde all'altezza in cui si trovano (r'= r), non abbiamo più una semisfera ma un cono (in questo caso misuriamo la distanza del disco dal vertice):

A distanza r dal vertice, abbiamo quindi un disco che occupa uno spazio πr2 in modo abbastanza semplice. Come vedere la somma di tutti questi dischi dall'alto verso il basso? Dimentichiamo π per un momento, dato che è solo una costante moltiplicativa che possiamo aggiungere alla fine. In questo caso, consideriamo una pila di quadrati di area r2 in cui r prende tutti i valori tra 0 e R.

Quando impilati, creano una piramide che può essere inclusa in un cubo di lato R. Data la simmetria del cubo, possiamo vedere che è composto da 3 di queste piramidi. Il nostro volume è quindi 1/3 del volume del cubo, quest'ultimo essendo R3

Per trovare il volume del cono, moltiplico semplicemente per π che avevo lasciato fuori e trovo V = 1/3πR3. Ora torniamo alla nostra semisfera. Qui è più complicato perché il raggio r di un dato disco non è "direttamente" dato dalla posizione del disco r rispetto all'equatore della sfera. Troviamo la relazione tra r 'e r tramite il teorema di Pitagora.

Quindi abbiamo r′2 = R2 - r2. Da qui, possiamo fare come abbiamo fatto prima e lasciare π da parte per ora. Ragionando ancora una volta sui quadrati, vediamo che la superficie S = r′2 è data dalla differenza tra un quadrato di area R2 (quindi di lato R) e un quadrato di area r2 (quindi di lato r).

Si possono ancora impilare le superfici blu all'interno di un cubo. Troviamo una figura complementare a quella che avevamo ottenuto per il cono. In effetti, il volume occupato da tutte queste superfici è uguale al volume del cubo meno il volume della piramide. Dato che quest'ultimo occupava 1/3 del volume del cubo, ne deduciamo che il volume cercato ne occupa 2/3 e quindi vale 2/3R3. Per la semisfera, moltiplichiamo per π e otteniamo 2/3πR3.

Per la sfera completa, moltiplichiamo semplicemente per 2 e otteniamo V = 4/3πR3.

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Commenti e note

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di ,

Non intendevo proprio barare, va inteso in modo simpatico. In realtà, rileggendo, credo di aver scritto una cavolata. Anche nel caso del triangolo di fatto hai usato la formula per l'area, quindi per il cubo hai seguito lo stesso ragionamento.

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di ,

Barare in che senso? le equivalenze vengono tutte dimestrate. Cos'è che non ti convince? Spiegati meglio.

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di ,

Molto interessante, però usare direttamente il volume del cubo (R^3) non è un po' come barare?

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di ,

bellissimo! mi ricordo che ai tempi del mio liceo era una dimostrazione facoltativa (come quella della formula di Erone), ed era basata sulla scodella di Galileo...

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