Il caos gravitazionale classico.

La meccanica classica fornisce delle leggi generali, cioè equazioni differenziali che consentono di prevedere l’evoluzione dei sistemi gravitanti, a partire da condizioni iniziali assegnate. Queste equazioni non sempre sono risolvibili con metodi esatti. Nei casi risolvibili, le traiettorie delle singole particelle (nel senso di punti materiali) costituenti i sistemi restano individuate sotto forma di equazioni algebriche. Un esempio è dato dall’orbita ellittica di un satellite.
Un esempio non risolvibile è costituito da tre o più particelle libere, sotto l’azione della reciproca attrazione gravitazionale. In questo caso le traiettorie possono essere caotiche, simili ad una matassa aggrovigliata, e non c’è alcuna equazione in grado di rappresentarle, né tanto meno esiste un metodo per individuare una cosiffatta equazione a partire dalle equazioni differenziali che governano il moto.
Queste considerazioni risalgono agli albori della meccanica classica e precisamente a Newton, tre secoli fa.

L'intervento del computer.

Un sistema di equazioni differenziali peraltro può sempre risolversi, in modo più o meno approssimato, con metodi numerici iterativi. Il campo in cui tali metodi riescono praticamente applicabili, risulta molto allargato grazie all’uso dei computer. Diciamo subito che qualsiasi computer, da un sistema del 1950 a uno attuale, risulta utilizzabile per questo scopo. Ciò che cambia è principalmente la comodità nella presentazione dei risultati e nella messa a punto del programma (e almeno 4 ordini di grandezza nella velocità).

I moti gravitazionali sono reversibili..

Le leggi della meccanica di cui parliamo, sono reversibili. Assegnato lo stato iniziale di un sistema, opportune equazioni differenziali determinano gli stati successivi (è chiaro che la parola “stato” indica le posizioni delle particelle, ed anche le loro velocità). Se adesso prendiamo uno di tali stati come nuovo stato iniziale, dopo averne invertito le velocità (una specie di “rimbalzo” ideale del sistema contro una parete onnipresente), le stesse equazioni determineranno un moto che ripercorre a ritroso il cammino già fatto, fino a riportare il sistema esattamente nel suo primo stato. In termini matematici, si può sostituire la variabile t col suo opposto (notiamo che le leggi generali contengono derivate di ordine pari).

..anche quelli caotici?

Se però il moto è caotico, il suddetto esercizio può essere solamente pensato, ma non effettivamente risolto. Questa può sembrare una pura difficoltà tecnica, ma c’è dell’altro. Come nella termodinamica dei gas, anche nei sistemi gravitanti, ogni stato possiede un proprio grado di disordine, e statisticamente si muove verso stati altrettanto o più disordinati. Pertanto, gli stati meno disordinati sono più facili da trasformare, e più difficili da raggiungere. Il moto verso stati più disordinati è senza ritorno (in assenza di interventi esterni). Il disordine manifesta una irreversibilità, sia pure statistica, che emerge dalle leggi meccaniche, ma non é presente in esse. Riassumendo: i moti non caotici sono sicuramente reversibili, ma esistono anche moti irreversibili. Una conclusione sembra obbligata: i moti caotici possono essere irreversibili.

Dunque il disordine è irreversibile, ma sapremmo definirlo?

La termodinamica collega il disordine ad altre misure fisiche (per esempio, al volume in cui un gas è confinato), ma se cerco di spiegare in generale cosa è il disordine, devo introdurre un punto di vista anche psicologico. Uno stesso stato possiede meno disordine, se viene percepito in modo più strutturato. Per esempio, una tela imbrattata ha molto disordine, ma se vedo in essa un significato, ne rimane meno. Tornando ai sistemi gravitanti, pensiamo di porre una particella di massa unitaria esattamente nel punto finale di ogni periodo di questa pagina, e consideriamo soltanto l’azione reciproca delle forze gravitazionali. Ne conseguirà un moto caotico (!). E’ possibile che, dopo un certo tempo, le particelle tornino nello stato iniziale? Praticamente no, pertanto tale stato non possiede il massimo disordine. Adesso diciamo soltanto che, nello stesso stato iniziale, si trova una particella in ciascun periodo senza definirne la posizione più di tanto. E’ possibile tornare a tale stato? Basta una piccola fluttuazione.

Un po' di autocritica.

Va bene che la termodinamica vale anche nei sistemi gravitanti, però non è facile stabilire cosa si intenda per ordine in tali sistemi. Il paragone coi gas può essere fuorviante. Nella termodinamica dei gas, il disordine è una funzione dello stato macroscopico del sistema (per esempio, del volume in cui un gas è confinato). Nella meccanica dei corpi gravitanti, il termine "stato" assume un significato un po' diverso, perchè non rappresenta una condizione durevole del sistema bensì una condizione istantanea che deve necessariamente evolversi (come lo "stato microscopico" della termodinamica) . Va bene che tale condizione istantanea può possedere un significato, magari anch' esso quantificabile coi metodi della teoria dell'informazione, però non sono sicuro che tale significato, e l' ordine di cui si parla in termodinamica, siano la stessa cosa. In caso negativo, la presente discussione assume il valore di un paragone con la termodinamica e non di una sua applicazione. Mi pare che rimanga giustificato, a maggior ragione, il tentativo di fare chiarezza mediante l'aiuto della simulazione computerizzata.

Un sofisma sorge spontaneo.

Prendiamo uno stato esattamente definito, che si evolve caoticamente per un certo tempo verso stati più disordinati, poi prendiamo uno di questi stati come nuovo stato iniziale, dopo averne invertito le velocità. Di conseguenza, il sistema dovrebbe ripercorrere a ritroso il suo moto e tornare allo stato meno disordinato, in barba alla irreversibilità, seguendo una evoluzione che dovremmo ancora chiamare caotica, salvo il fatto che sia preordinata ad uno scopo. La scelta dello stato iniziale questa volta ha un effetto miracoloso, perché non si è mai visto in natura un moto caotico che converga verso uno scopo, nè tanto meno che faccia diminuire il disordine.
Guarda caso, questo stato finale che dovrebbe coincidere con uno stato iniziale, non può essere calcolato con esattezza.

Cosa dice la fisica.

Dato per scontato che la coordinata temporale è unica (diversamente dalle coordinate spaziali), e dunque il tempo è di per sé un ordinamento degli stati, le equazioni della meccanica valgono in ambedue le direzioni del tempo, mentre il principio che il disordine è crescente vale soltanto nella direzione positiva. Peraltro l’ottenimento di qualsiasi scopo richiede l’uso di un motore, sia esso artificiale o naturale, e questo funziona grazie ad un aumento del disordine (secondo principio della termodinamica). Poiché anche la nostra mente funziona grazie a dei motori, questa sente fortemente la direzione del tempo ed ha scoperto delle equazioni che utilizzano una coordinata temporale unica. Così il cerchio si chiude e non vorrei aggiungere altro, se non commemorare con un attimo di silenzio la tragica fine di Boltzmann.

E se facessimo un esperimento simulato?

Adesso vorrei pormi il seguente, modesto quesito: dato che il computer consente di simulare sullo schermo i moti caotici, sarebbe possibile simulare dei moti caotici che convergano verso uno scopo? In pratica, si tratta di partire da uno stato, che sia dotato di un significato riconoscibile, simularne il moto per un certo tratto, poi invertirlo ed assistere all'evoluzione di ritorno verso lo stato prescelto. Un simile spettacolo si può ottenere anche proiettando all’indietro il film di una costruzione che crolla; però quest’ultimo è un rovesciamento puramente apparente, mentre dalla simulazione fisica al computer mi attendo qualche possibile “illuminazione” sulla reversibilità effettiva delle equazioni differenziali. Inoltre, un programma di simulazione ed uno stato iniziale occupano ben meno memoria di un filmato.

Sì, proviamo.

Per verificare tale possibilità, per prima cosa mi sono dotato di un programma di simulazione piana basato sulle leggi generali della meccanica. Questo programma richiede in input le masse, le posizioni e le velocità delle singole particelle, così da definire lo stato iniziale, poi lavora secondo il ciclo seguente:

• dalle posizioni, calcola le forze attrattive e quindi le accelerazioni
• con le formule del moto uniformemente accelerato, calcola le posizioni e le velocità dopo un piccolo intervallo di tempo
• con queste nuove posizioni e velocità, ripete il ciclo e così via.

Naturalmente, la simulazione è tanto più precisa quanto più piccolo è l’intervallo. Quando le particelle si avvicinano molto, le forze diventano grandi e l’imprecisione risulta evidente; per evitare questo inconveniente si è limitato opportunamente il calcolo della forza al di sotto di una certa distanza minima, in deroga alla legge gravitazionale di Newton. L’adozione di un intervallo variabile gioverebbe alla rapidità, ma non alla reversibilità, e pertanto tale soluzione è stata scartata. Una blanda correzione poi assicura la costanza dell'energia e della quantità di moto totali del sistema.

I primi risultati..

Una volta collaudato il programma, e scelto uno stato iniziale (per esempio, cinque particelle ai vertici di una capanna, scelta in modo un po’ asimmetrico per evitare scontri multipli fra particelle), si è ottenuto effettivamente un moto caotico, e quindi si è posto il problema di simularne l’inversione. La prima idea è stata quella di riscrivere le istruzioni del programma in ordine inverso e cambiare tutti i segni algebrici; ma è stata scartata subito. E’ bastato introdurre una routine, che inverte tutte le velocità in seguito alla pressione di un tasto durante la simulazione.
Però le traiettorie, così invertite, non ripercorrono esattamente le traiettorie originali, perché il ciclo di calcolo anzidetto è asimmetrico. In pratica, ripercorrendolo in senso inverso non si ritrovano gli stessi numeri.

..e i primi progressi.

Per ottenere un ciclo simmetrico, si è dovuto cambiare nientemeno che la definizione di “stato”. Infatti non bisogna considerare le posizioni e “contemporaneamente” le velocità, bensì le posizioni all’inizio di ogni intervallo e le velocità al centro degli intervalli medesimi (o viceversa). Alternativamente, il programma incrementa le posizioni utilizzando le più recenti velocità (applica le formule del moto uniforme), e incrementa le velocità utilizzando le più recenti posizioni (da cui calcola forze e accelerazioni, poi applica le formule del moto uniformemente accelerato); tuttavia le posizioni si riferiscono a certi istanti, e le velocità ad altri. Potremmo chiamarli rispettivamente, istanti pari ed istanti dispari. Torna in mente il principio di complementarità della fisica quantistica: non si possono assegnare contemporaneamente la posizione e la velocità di una particella. E per quanto riguarda gli intervalli concatenati, potremmo chiamarli rispettivamente intervalli gravitazionali e intervalli inerziali, visto l'alternato ruolo della massa.

Cosa abbiamo scoperto col nostro esperimento? Il caos si può invertire o no?

Anche così, tuttavia, non si è ottenuta una reversibilità esatta; ed è ovvio che differenze anche minime nelle traiettorie si allargano enormemente durante la simulazione, seguendo delle linee continue ma imprevedibili. Ritengo che questo insuccesso sia dovuto ad irreversibilità intrinseche, e forse non evitabili, nel comportamento della unità aritmetica del computer (se A più B dà C, non sempre C più -B ridà esattamente A). La rappresentazione dei numeri “floating point” comporta uno scorrimento dei bit, e un possibile troncamento, ad ogni cambiamento dell’esponente; come in termodinamica, anche qui i “salti” sono nemici della reversibilità (è ovvio che, invertendo il calcolo, le cifre perse nei troncamenti non possono essere ritrovate).

E’ venuto il momento di ricapitolare:

1. La meccanica prevede che i moti gravitazionali siano reversibili
2. La termodinamica asserisce che alcuni fenomeni sono irreversibili
3. Se le particelle sono più di due, la meccanica fornisce soltanto le equazioni differenziali del moto, ma non è possibile calcolare esattamente le traiettorie, almeno nei casi caotici
4. La termodinamica ha un valore statistico, pertanto si applica soltanto ai sistemi con numerose particelle
5. Il tentativo di verificare, col computer, la reversibilità di un moto caotico, è fallito e forse non può riuscire.

Cerchiamo una conclusione.

Potremmo quindi ipotizzare che esista una corrispondenza tra l’irreversibilità asserita dalla termodinamica, e i moti caotici che si presentano in meccanica. Vorrei dilungarmi ancora un po’ su tale conclusione, cercando di ricondurla a termini più ortodossi. Non siamo riusciti a verificare la reversibilità delle traiettorie caotiche, ma non abbiamo neanche raggiunto la prova certa del contrario. Migliorando la precisione del calcolo, l’ambiguità resta intatta. Tutte le nostre considerazioni si riferiscono a sistemi semplicemente gravitanti, con la supposizione, già criticata, che la termodinamica si applichi anche a tali sistemi. I moti caotici possono fare aumentare il disordine, ma possono anche lasciarlo invariato; per convincersi di ciò basta pensare che i moti caotici continuano anche quando non vi è più alcun ordine da distruggere.
D’altra parte, il disordine può aumentare solo quando vi é un qualche processo che realizza una opportuna trasformazione, e i moti caotici possono svolgere questo ruolo. In ciò consiste l’ipotizzato collegamento fra caos e irreversibilità.
Uno stato iniziale graziosamente definito si trasforma spontaneamente in un disordinato scarabocchio, grazie ai moti caotici che può innescare. Invece, un’orbita ellittica non possiede alcun meccanismo che la trasformi in un moto più disordinato, e pertanto rimane regolare. Il caos costituisce una continua e gratuita sorgente di indefinitezza (non nel senso matematico di integrale indefinito) che contrasta col determinismo delle leggi meccaniche, pertanto può realizzare l’aumento del disordine, mascherando o eludendo il conflitto fra la reversibilità delle leggi e l’irreversibilità del risultato.

E' mai capitato durante la simulazione che il caos si spegnesse spontaneamente?

Alcune versioni del programma, durante la fase di messa a punto, mostravano un fenomeno di “cattura dell’orbita stabile”. Cioè, poteva accadere che un moto, inizialmente caotico, andasse a convergere verso una figura stabile. Per esempio, nel caso di tre particelle, queste finivano per rincorrersi lungo un'orbita a forma di 8, mentre quattro particelle disegnavano un bellissimo rosone rotante. La figura sottostante mostra un tratto del caos formato da tre particelle, fino al raggiungimento dell'orbita a 8. Per interpretare correttamente la figura, si tenga conto che le coordinate sono state trasformate in modo che i punti a distanza infinita vadano a trovarsi su un orizzonte circolare. Personalmente, mi ero bevuta l’idea che una simile cattura fosse realmente possibile in natura. Invece non può essere così. Poiché le leggi del moto sono reversibili, una volta raggiunta l’orbita stabile sarebbe possibile invertire il moto, e dunque avverrebbe il fenomeno contrario: l’orbita stabile verrebbe abbandonata, e si tornerebbe al moto caotico originario. Altro che orbita stabile! La versione corretta del programma mostra che le traiettorie regolari non possono nascere da un moto caotico, ma possono presentarsi fin dall’inizio, e rimangono regolari anche se vengono assoggettate a piccole perturbazioni. Se vogliamo ancora difendere la improbabile tesi della cattura, possiamo porre le seguente domanda: è possibile che l’orbita ad 8 abbia un verso di percorrenza stabile ed uno instabile, magari in dipendenza dalla parte da cui è avvenuta la cattura?

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I metodi numerici hanno i loro limiti..

Se la simulazione non è in grado di dissipare del tutto simili incertezze, ciò a mio avviso può dipendere dal fatto che il programma deve eseguire diversi calcoli di numeri reali e diverse scansioni di indici interi (indici che individuano una particella), e non c'è un'unica regola logica per spezzare l'alternanza di queste operazioni e aggiornare le variabili di stato.
(Per inciso, ho fatto tutte le simulazioni col QuickBasic che sui PC attuali non gira più).

..ma sono affascinanti.

Una volta messo a punto il programma, in modo da ottenere il massimo grado di reversibilità possibile, ho potuto notare che i sistemi caotici tendono a disgregarsi ed a formare delle coppie. Una coppia può formarsi nello scontro casuale fra tre particelle: due rimangono avvinte in una stretta orbita reciproca, e la terza si allontana con notevole velocità, talvolta perdendosi all’infinito. In termini di bilancio energetico, la formazione di una coppia ravvicinata comporta un abbassamento della energia potenziale interna, non del tutto compensato dall’energia cinetica acquistata dall’orbita, pertanto una terza particella deve ricevere energia. Questi giochetti somigliano poco a quello che avviene in una galassia; però alcune stelle doppie esistono realmente (per non parlare delle previsioni sulla degenerazione delle galassie).
Ancora una curiosità: sostituendo la formula della attrazione gravitazionale con una legge di tipo elastico, direttamente proporzionale alla distanza, i moti caotici spariscono ed il sistema pendola, con movimenti lineari o (visivamente) ellittici.

Conclusioni sicure..

Una considerazione è stata ricorrente nel corso di questa verifica: i sistemi gravitanti appaiono divisi in due classi. Assegnando lo stato iniziale a caso, quasi certamente otteniamo un moto caotico, purché le particelle siano almeno tre. Però esistono anche dei sistemi che disegnano delle figure regolari, e un metodo per trovarli è quello di concatenare delle coppie di particelle che descrivano delle orbite poco eccentriche e abbastanza diverse, sull’esempio del sistema solare. In questi casi, la simulazione risulta reversibile senza ambiguità.

..e conclusioni soggettive.

Se non vi fossero i moti caotici, l’universo sarebbe (almeno, sotto l’aspetto strettamente meccanico) un gigantesco orologio obbligato a ripetere eternamente gli stessi movimenti, senza possibilità di storia, evoluzione e vita. Ma se non vi fossero i moti regolari… Volevo trovare un programma di simulazione reversibile, e non ci sono riuscito; ma ho trovato una più umana visione della fisica