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Indice

1 Abstract
2 Introduzione
3 Testo del problema
4 Soluzione
5 Script matlab

Abstract

Esercizio sul trasformatore trifase e script matlab per visualizzare le curve del rendimento convenzionale.

Introduzione

Su Electroportal si trovano già molti esercizi svolti da admin sull'argomento, ma un ripasso non fa mai male...sperando di essere utile a qualcuno.

Testo del problema

I dati di targa di un trasformatore trifase sono:

$A n = 600 k V A$ ;
$V 1 n = 10 k V$ ;
$V 2 n = 400 V$ ;
$f = 50 H z$ ;
$V c c % = 4,8%$ ;
$P 0 % = 0,48%$ ;
$P c c % = 1,28%$ ;

Calcolare:

a) la variazione di tensione al secondario tra regime a vuoto e il regime al 75% del carico nominale con fattore di potenza degli utilizzatori $cos\varphi= 0,6$ induttivo;
b) il rendimento per questo carico, e la corrente del secondario per cui si ha il rendimento massimo.

Soluzione

La corrente nominale al secondario è:

$I_{2n}=\frac{A_{n}}{\sqrt{3}V_{2n}}=\frac{600\times 10^{3}}{\sqrt{3}\times 400}= 866\, A$

considerando il regime al 75% del carico nominale si ha:

$I_{2}=0,75I_{2n}=0,75\times 866= 650\, A$

La tensione e l'impedenza di cortocircuito, rispettivamente, valgono:

$V_{2cc}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{V_{cc}%\cdot V_{2n}}{100}=\dfrac{4,8\times 400}{\sqrt{3}\times100}= 11,1\, V$

$Z_{2cc}= \dfrac{V_{2cc}}{I_{2n}}=\dfrac{11,1}{866}= 12,8\cdot 10^{-3}\, \Omega$

La resistenza di cortocircuito:

$R_{2cc}=\dfrac{P_{cc}%\cdot A_{n}}{3\times 100 I_{2n}^{2}}= \frac{1,28\times 600\times 10^{3}}{3\times 100\times 866^{2}}= 3,4\cdot 10^{-3}\, \Omega$

Nota l'impedenza e la resistenza di cortocircuito, la reattanza di cortocircuito vale:

$X_{2cc}=\sqrt{Z_{2cc}^{2}-R_{2cc}^{2}}=\sqrt{\left( 12,8\cdot 10^{-3}\right)^{2}-\left( 3,4\cdot 10^{-3} \right)^{2} }= 12,3\cdot 10^{-3}\, \Omega$

A questo punto possiamo rispondere al punto a.

La variazione di tensione al secondario tra regime a vuoto e regime al 75% del carico nominale, utilizzando la caduta di tensione industriale, vale:

$\left | \Delta V\right |=\sqrt{3} I_{2}\cdot \left ( R_{2cc}cos\varphi +X_{2cc} sen\varphi \right )= 13,4\, V$

Diagramma vettoriale relativo alle tensioni stellate

Passiamo al punto b.

La potenza assorbita dal carico vale:

$P_{2}=\sqrt{3} V_{2}\cdot I_{2}\cdot cos\varphi =\sqrt{3}\times 386,6\times 650\times 0,6= 261,1 kW$

Le perdite nel ferro sono:

$P_{0}=\dfrac{P_{0}%\cdot A_{n}}{100}=\dfrac{0,48\times 600}{100}=2,88\, kW$

Le perdite nel rame sono:

$P_{j}=3 I_{2}^{2}\cdot R_{2cc}=3\times 650^{2}\times 3,4\cdot 10^{-3}=4,3\, kW$

Il rendimento al 75% del carico nominale con $cos\varphi= 0,6$ , trascurando le perdite addizionali, risulta:

$\eta % =\dfrac{P_{2}}{P_{2}+P_{0}+P_{j}}100= \dfrac{261,1}{261,1+2,88+4,3}100=97,3%$

Il massimo rendimento si ottiene quando le perdite nel rame coincidono con le perdite nel ferro:

$P j = P 0$

curve.png

quindi la corrente al secondario per la quale si ha il massimo rendimento risulta:

$I_{2x}=\alpha_{x}\cdot I_{2n}=\sqrt{\dfrac{P_{0}%}{P_{cc}%}}\cdot I_{2n}=\sqrt{\dfrac{0,48}{1,28}}\times 866= 530\, A$

Script matlab

L'espressione del rendimento convenzionale in funzione del carico è:

$\eta=\dfrac{\alpha \cdot A_{n} \cdot cos\varphi}{\alpha \cdot A_{n} \cdot cos\varphi + P_{0} + \alpha^{2}P_{cc}}$

Utilizzando uno script matlab è possibile visualizzare le curve del rendimento convenzionale in funzione del fattore di carico e parametrizzate secondo il fattore di potenza.

Nel seguito riporto lo script matlab necessario a visualizzare le curve del rendimento.

%-------------------------
clc; clear all; close all;
%-------------------------

% Dati trasformatore

% Potenza nominale in kVA
An=600;

% Perdite a vuoto e in cortocircuito in kW
P0=2.88;
Pcc=7.68; 

% Fattori di potenza del carico
cosfi1=1;
cosfi2=0.6;
cosfi3=0.2;
cosfi4=0.1;

% Creo il vettore fattore di carico
alfa=0:0.001:1;

% Calcolo i diversi rendimenti convenzionali
% (il fattore di potenza è il parametro) 
for i=1:1001;
eta1(i)=((alfa(i)*An*cosfi1)/(alfa(i)*An*cosfi1+P0+(alfa(i)^2)*Pcc))*100;
eta2(i)=((alfa(i)*An*cosfi2)/(alfa(i)*An*cosfi2+P0+(alfa(i)^2)*Pcc))*100;
eta3(i)=((alfa(i)*An*cosfi3)/(alfa(i)*An*cosfi3+P0+(alfa(i)^2)*Pcc))*100;
eta4(i)=((alfa(i)*An*cosfi4)/(alfa(i)*An*cosfi4+P0+(alfa(i)^2)*Pcc))*100;
end

% Visualizzo le curve in uno stesso grafico
plot(alfa,eta1,'r',alfa,eta2,'b',alfa,eta3,'g',alfa,eta4,'k')

% Comandi vari
legend('1','0,6','0,2','0,1')
title('Rendimento in funzione del fattore di carico')
xlabel('Fattore di carico')
ylabel('Rendimento percentuale')
grid

Dopo aver premuto il tasto Run si ottiene la seguente figura:

Curve rendimento.png

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