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da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 9:38

Ciao a tutti!

Ho un segnale nella forma di somma di segnali periodici (ad esempio una serie di Fourier).
Come faccio a trovare il periodo del segnale somma?
Ad esempio qual è il procedimento per trovare il periodo di :

s(t) = sin(2t)+6cos(5t)

?

Grazie
Giulio

da **g.schgor** » 27 nov 2010, 10:09

Puoi applicare questa formula:
$sen(\alpha)+sen(\beta)=2\cdot sen(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

Si ha cioè una frequenza media $(\frac{\alpha+\beta}{2})$
modulata in ampiezza dalla metà della differenza $(\frac{\alpha-\beta}{2})$

da **carloc** » 27 nov 2010, 10:51

...sì con quel procedimento si trova la rappresentazione tipo portante modulata in ampiezza, ma credo che per il periodo sia più corretto fare il massimo comun divisore delle delle due frequenze, 5 e 2 nell'esempio => periodo della somma 1 rad/s .

Resta il fatto che se ti serve per fare la serie di Fourier della somma di due segnali -non ovviamente le due sinusoidi dell'esempio- è estermamente più conveniente fare le due serie separatamente e poi sommarle dopo nel domino di f.

Se invece la pensi applicata alla serie già fatta hai che le armoniche sono $f,2f,3f\ldots$ ovviamente MCD=f e periodo $T=\frac{1}{f}$

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 15:56

grazie delle risposte :)
non ho afferrato bene il concetto...allora, nell'esempio che ho postato le pulsazioni sono:

$\omega_1= 2$
$\omega_2= 5$

per definzione

$\omega= 2 \frac {\pi} {T}$

quindi:

$T_1= \pi$
$T_2= \frac {2} {5} \pi$

il periodo del segnale somma sarà quindi il m.c.m. dei due periodi? cioè:
$T = mcm (\pi, \frac {2} {5} \pi) = mcm (\frac {5} {5} \pi, \frac {2} {5} \pi) = \frac {10} {5} \pi = 2\pi$

giusto?

grazie
Giulio

da **g.schgor** » 27 nov 2010, 16:33

Per.... tagliare la testa al toro:
Questo sarebbe il risultato della somma
se le 2 frequenze avessero la stessa ampiezza

: FreqSum1.GIF (13.66 KiB) Osservato 6017 volte

Ma se la seconda ha ampiezza 6 volte la prima,
si ha questo risultato

: FreqSum2.GIF (5.55 KiB) Osservato 6017 volte

(in cui è più difficile scorgere la periodicità)

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 16:44

chiaro...ma quindi dovrei prima verificare che sia periodica? non basta dire che è una somma di funzioni periodiche? e come posso verificare che è periodica?

scrivo qui un procedimento che mi viene in mente, ma non so se è corretto...

una funzione è periodica se
f(x) = f(x+T), T = periodo

quindi

$s(t) = s(t+T) \Leftrightarrow sen(2t)+6cos(5t)=sen(2t+T)+6cos(5t+T)$

...e adesso?? :)

grazie
Giulio

da **DirtyDeeds** » 27 nov 2010, 17:01

Io la vedrei così:

Un segnale s(t)

è periodico di periodo

se, per ogni

,

. Poiché se un segnale è periodico di periodo

è anche periodico di periodi $T,2T,3T,\ldots$ , normalmente si prende il periodo minimo. Ora, il tuo segnale lo puoi scrivere come

$s(t) = \sin(\omega_1 t)+6\cos(\omega_2t)$

con

$\omega_1= 2\,\text{rad/s}$ e $\omega_2= 5\,\text{rad/s}$

Se il segnale è periodico, deve esistere

tale che

$s(t) = \sin[\omega_1(t+T)]+6\cos[\omega_2(t+T)]= \sin(\omega_1 t)+6\cos(\omega_2t)$

Perché ciò avvenga, per la periodicità delle funzioni seno e coseno, deve essere $\omega_1 T = 2\pi n$ e $\omega_2 T = 2\pi m$ , con

e

interi. Facendo il rapporto delle due pulsazioni si ottiene $\omega_1/\omega_2=n/m$ , ovvero: condizione necessaria (è facile dimostrare che questa condizione è anche sufficiente) perché s(t)

sia periodico è che il rapporto tra le due pulsazioni sia un numero razionale (nel tuo caso è $\omega_1/\omega_2 = 2/5$ , per cui il segnale è periodico).

Adesso supponiamo di aver ridotto la frazione n/m

ai minimi termini, di modo che

e

siano primi tra loro. Se non lo fossero, non otterremmo il periodo minimo. Da quanto detto sopra si ha

$T = \frac{ 2\pi n}{\omega_1} = nT_1$

oppure

$T = \frac{ 2\pi n}{\omega_2} = mT_2$

(In questo senso, quindi, possiamo dire, come hai detto tu, che

è il minimo comune multiplo dei due periodi)

Poiché nel tuo caso n = 2

si ha

$T = \frac{ 2\times 2\pi}{2\,\text{rad/s}} = 2\pi\,\text{s}$

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 17:14

chiaro :)

un'ultima domanda: perché è condizione necessaria alla periodicità che n/m

sia razionale?
in fondo se ad esempio n è multiplo di m ( e quindi il rapporto non è razionale) non significa che il segnale non sia periodico..

da **DirtyDeeds** » 27 nov 2010, 17:24

Rileggi bene la condizione:

DirtyDeeds ha scritto:condizione necessaria perché sia periodico è che il rapporto tra le due pulsazioni sia un numero razionale

Scrivere come hai scritto tu, non avrebbe molto senso: il rapporto tra due numeri interi

e

, $m\neq 0$ , è sempre razionale.

Quindi, il caso in cui $\omega_1/\omega_2$ sia un intero è compreso nella condizione data sopra.

Se, invece, per esempio, fosse $\omega_1 = \sqrt{2}\,\text{rad/s}$ e $\omega_2 = 1\,\text{rad/s}$ , il segnale non sarebbe periodico.

Edit: uff... quanti errori di battitura avevo fatto!

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 17:36

ohimè, che svista!

rapporto di pulsazioni, non degli interi n ed m!!

mannagggia...comunque ho capito il motivo secondo cui il rapporto delle pulsazioni (pulsazioni, pulsazioni, pulsazioni, pulsazioni, pulsazioni, pulsazioni...

) deve essere razionale: infatti eguagliando le due spressioni di T:

2* pi n /omega_1 = 2 pi m /omega_2
cioè
n/m = omega_1 / omega_2
(scusa lo spartano ma il parser non accetta l'espressione..)

e siccome il membro di sinistra è razionale deve esserlo anche quello di estra (sennò non sarebbe vera l'eguaglianza fra i periodi e quindi le formule dei periodi sarebbero errate)....giusto? :)

ah, perché nel mio caso n=2

? n non dovrebbe essere un numero arbitrario dato che il periodo del seno e coseno è $2 \pi$ e può essere moltiplicato per qualsiasi n intero?

grazie
Giulio

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periodo di un segnale somma

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