ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **jmonty** » 11 nov 2012, 12:32

Salve,

Ho il seguente sistema:
x1(t+1)=-3x1(t)+3x2(t)+u(t)
x2(t+1)=-x1(t)+x2(t)+u(t)

la soluzione generale è data dalla seguente formula:

x(t)=F^(t-tau)*x(tau)+sommatoria(F^(t-i-1)*G*U(i)) per i che va da tau a t-1.

Fin qui tutto ok!

Se calcolo la matrice F^t con il metodo del polinomio resto che utilizza il teorema d Cali-Hamilton

trovo 2 autovalori -2 e 0.

L'unica cosa che non mi torna è il senso di questo sistema:

0^t=a0+a1*0
(-2)^t=a0+a1(-2)

0^t è indeterminato per t=0 cos'è che non va?

da **Candy** » 11 nov 2012, 12:40

Ti invito a leggere le regole del forum e, qiundi, a rispostare il messaggio utlizzando LaTeX, senza scuse e rinvii a prossime volte.

da **DirtyDeeds** » 11 nov 2012, 13:31

jmonty dopo quasi 100 messaggi, se non sei proprio disattento, dovresti avere imparato che le formule si scrivono il LaTeX, quindi: no LaTeX, no answer ;-)

jmonty ha scritto:Cali-Hamilton

Una mutazione di Hamilton con molte braccia?

da **dimaios** » 11 nov 2012, 18:05

DirtyDeeds ha scritto:Una mutazione di Hamilton con molte braccia

jmonty il teorema è di Hamilton-Cayley.
Concordo con quanto sottolineato da

Candy e

DirtyDeeds ; le regole del forum valgono per tutti e siccome le formule devono essere scritte in LaTex attieniti al comandamento nr. III di EY ( ref. http://www.electroyou.it/admin/wiki/peanuts-ey-4#regole_del_forum ).

da **jmonty** » 12 nov 2012, 17:23

Ho il seguente sistema:
$x_{1}(t+1)=-3 \cdot x_{1}(t)+3 \cdot x_{2}(t)+u(t)$
$x_{2}(t+1)=-x_{1}(t)+x_{2}(t)+u(t)$

La soluzione generale è data dalla formula di lagrange discreta.

Se calcolo la matrice F^t

con il metodo del polinomio resto che utilizza il teorema d Cali-Hamilton

trovo 2 autovalori -2 e 0.

L'unica cosa che non mi torna è il senso di questo sistema:

$0^t=a_{0}+a_{1} \cdot 0$
$(-2)^t=a_{0}+a_{1} \cdot (-2)$
0^t

è indeterminato per t=0 cos'è che non va?

da **DirtyDeeds** » 12 nov 2012, 17:55

spesso lo si considera convenzionalmente (e tacitamente) pari a 1. Poi, usa i pedici nella scrittura delle equazioni, altrimenti non si capisce cos'è un pedice e cos'è un coefficiente. Infine, non usare l'asterisco per denotare un prodotto, perché l'asterisco indica convoluzione.

Quindi:

$\begin{align}0^t& = a_0+0a_1 \\ (-2)^t &= a_0+(-2)a_1\end{align}$

jmonty ha scritto:Cali-Hamilton

Ma tu, le nostre risposte, le leggi? :evil:

da **dimaios** » 12 nov 2012, 19:17

jmonty, non hai pubblicato il procedimento che hai seguito.

Personalmente farei cosi' :

Prendi il sistema originale.

$x_{1}(t+1)=-3 \cdot x_{1}(t)+3 \cdot x_{2}(t)+u(t)$
$x_{2}(t+1)=-x_{1}(t)+x_{2}(t)+u(t)$

Scrivi le equazioni equazioni in forma stato ottenendo la matrice A:

$A = \[ \left( \begin{array}{ccc} -3 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right)\]$

Diagonalizza la matrice nel seguente modo :

$A = Q \cdot D \cdot Q^{-1}$

Dove

$Q = \[ \left( \begin{array}{ccc} -0.9487 & -0.7071 \\ -0.3162 & -0.7071 \end{array} \right)\]$

Ed invece D e' una matrice diagonale.

$D = \[ \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\]$

Siccome la potenza di A e' scrivibile come :

$A^{n} = Q \cdot D^{n} \cdot Q^{-1}$

E la potenza della matrice D e' immediata in quanto diagonale ( gli elementi della diagonale sono gli autovalori ) ...

$D^{n} = \[ \left( \begin{array}{ccc} \lambda_{1}^{n} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}^{n} \end{array} \right)\]$

Basta quindi fare la moltiplicazione ed hai concluso.

Per quanto riguarda la matrice al passo 0 come ti ha gia' detto

DirtyDeeds considera per definizione :

$A^{0} = I =\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\]$

da **jmonty** » 13 nov 2012, 17:15

Come si fa a diagonalizzare una matrice?

da **dimaios** » 13 nov 2012, 18:22

jmonty ha scritto:Come si fa a diagonalizzare una matrice?

Si studia nel corso di Algebra Lineare al primo anno di universita'. Non mi sembra il caso di fare certe domande.

da **jmonty** » 13 nov 2012, 19:52

Ok ho gli appunti di algebra! :-P

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