Excel-Fourier

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Salve.
Riprendo l'intervento di qualche giorno fa (avendo, questa mattina, un po' di tempo a disposizione!).

Proviamo a "chiedere" ad Excel la trasformata di Fourier di un'onda sinusoidale. Trattandosi di un segnale ad energia infinita, e quindi non trasformabile,la teoria ci dice che dovremme ottenere due delte di Dirac, centrate rispetto all'origine, di ampiezza pari alla semiampiezza dell'onda sinusoidale in esame, e poste su un valore di frequenza pari alla frequenza del segnale sinusoidale (f e -f, naturalmente).

Proviamo a vedere assieme.

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Inseriamo un numero di campioni pari a 32, un periodo di 1 ms ed un'ampiezza di 1 volt.

fig1.png (4.92 KiB) Osservato 3253 volte

Conseguentemente, nelle celle relative, viene calcolato il valore:
- della pulsazione angolare (espresso in rad/s),
- dell'intervallo di campionamento (espresso in s),
- della frequenza di campionamento (espressa in Hz e pari all'inverso di quest'ultimo),
- e dell'unità della scala delle frequenze dello spettro desiderato (in Hz, anche questa).

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Nelle colonne A, B e C inseriamo, rispettivamente:

- l'etichetta dell'ordine del campione;
- il valore dell'istante di campionamento, associato a quel campione, espresso in secondi;
- il valore della tensione sinusoidale, corrispondente a quel campione, espresso in volt.

fig2.png (23.44 KiB) Osservato 3252 volte

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In figura viene riportato l'andamento, nel tempo, della successione dei campioni visti sopra. Per ragioni di leggibilità sono state omesse le etichette dell'asse orizzontale.

fig3.png (9.98 KiB) Osservato 3252 volte

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Ed ora, finalmente, "chiediamo" ad Excel l'elaborazione della trasformata discreta di Fourier (DFT). Ecco cosa si ottiene:

fig4.png (28.61 KiB) Osservato 3250 volte

In colonna D vi è il risultato di tale elaborazione. Nella colonna successiva, invece, sono stati posti i valori delle etichette dell'asse della frequenza dello spettro.

Si notano solo due valori -16 i e 16 i, in corrispondenza di 1000 Hz e -1000 Hz. Cerchiamo di interpretarli.

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Il primo dei due termini si riferisce alla frequenza positiva f. Ed il secondo alla frequenza negativa -f. Denominiamoli, rispettivamente:



e



Per poter ottenere la ricostruzione del segnale v(t), occorre moltiplicare ciascuno di questi coefficienti, in generale complessi, per il fattore di Eulero:



Possiamo allora scrivere:



dove si è tenuto conto del cambiamento di segno dell'esponente del fattore di Eulero per frequenze negative.
Sostituendo:



Passando alla rappresentazione trigonometrica:



Sviluppando i prodotti, ed elidendo i termini in coseno, in quanto eguali ed opposti, si ottiene:



Da ciò si deduce che il fattore di normalizzazione, usato dal motore FFT di excel, equivale ad N/2, con N pari al numero dei campioni.

Nel nostro caso, quindi, i coefficienti:



e



divengono, dopo l'azione della normalizzazione:



e



Spero di aver interpretato correttamente.