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da **simo85** » 3 mag 2013, 18:15

Un saluto a tutti,

Sto studiando la serie e le trasformate di Fourier ed ho aperto il thread per vedere se sono sulla giusta strada.

Se ho capito bene:

La serie di Fourier rappresenta il segnale mediante la forma equivalente con onde seno (parte immaginaria) e coseno (parte reale).

$x(t) \begin{cases} 1 & t_0 \leq t \leq \pi \\ 0 & \pi \leq t \leq 2\pi \end{cases}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Esaminando la formula della serie di Fourier

$x(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos(\omega_0t) + b_n \sin(\omega_0t))$

I coefficienti della serie di Fourier sono gli indici delle armoniche (pari e dispari) del segnale x(t)

indici delle armoniche della componente reale
b_n

indici delle armoniche della componente immaginaria

Mentre la trasformata di Fourier del segnale x(t)

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) e^{-i \omega_0tn} \text{d}t$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Rappresenta la ampiezza/contentuto del segnale alla frequenza fondamentale $\omega_0$ e armoniche.

Giusto?

da **carloc** » 3 mag 2013, 20:12

Allora un po' di "punti fissi"

...

La serie si può fare solo per funzioni periodiche mentre la trasformata si può fare anche con funzioni non periodiche, anzi normalmente la si fa per funzioni non periodiche anche perché altrimenti in sostanza coincide con la serie ( e meno male

altrimenti sarebbe proprio un bel pasticcio :mrgreen:

)

La TCF secondo me la si può pensare come una caso limite della serie facendo tendere il periodo all'infinito (una funzione non periodica è periodica di periodo infinito :?:

attendo linciaggio dai matematici :mrgreen:

) le armoniche della serie sono distanziate 1/T se fai tendere il periodo all'infinito la distanza tra le armoniche tende a zero cioè arrivi allo spettro continuo di un segnale non periodico)

Poi la serie: quello di usare seni e coseni è una possibilità (e non è l'unica) ma in questo caso restringiamo la sua definizione alle sole funzioni reali (d'altra parte sommando seni e coseni di argomento reale non ottieni mai quantità complesse ;-)

)

...quindi quando dici a_n

e

(che non sono indici ma coefficienti di indice enne ;-)

) rappresentano la parte reale e quella immaginaria ci deve essere qualcosa di sbagliato

casomai i termini in seno ricostruiscono la componente dispari (*) della funzione mentre quelli in coseno la componente pari(*) :ok:

(*) qualsiasi funzione si può scomporre nella somma di una funzione dispari e di una pari

da **simo85** » 3 mag 2013, 22:25

Ciao

carloc intanto grazie per la risposta.

carloc ha scritto:La serie si può fare solo per funzioni periodiche mentre la trasformata si può fare anche con funzioni non periodiche

Sicuramente sono io che non ho i concetti ben chiari riguardo la differenza che c'è tra le due.
Vediamo se capisco.

Faccio un semplice esempio.

Segnale A (periodico).
Segnale B (aperiodico).

Volendo calcolare lo spettro della frequenza e relative armoniche del segnale A, calcolo la serie di Fourier e le relative armoniche e coefficienti. Ma a questo scopo posso anche usare la FT.

Diversamente, volendo calcolare lo spettro della frequenza e relative armoniche del segnale B, devo usare la FT.

carloc ha scritto:..quindi quando dici a_n e b_n (che non sono indici ma coefficienti di indice enne ) rappresentano la parte reale e quella immaginaria ci deve essere qualcosa di sbagliato

Si

ho sbagliato.

Volevo scrivere:

a_n

coefficienti con indice

delle armoniche della componente reale.
b_n

coefficienti con indice

delle armoniche della componente immaginaria.

Se poi non erro i coefficienti rappresentano la ampiezza dell' armonica nel dominio della frequenza.

Spero di non aver toppato.

da **carloc** » 3 mag 2013, 22:55

simo85 ha scritto:...
Faccio un semplice esempio.

Segnale A (periodico).
Segnale B (aperiodico).

Volendo calcolare lo spettro della frequenza e relative armoniche del segnale A, calcolo la serie di Fourier e le relative armoniche attraverso i coefficienti. Ma a questo scopo posso anche usare la FT.

Diversamente, volendo calcolare lo spettro della frequenza e relative armoniche del segnale B, devo usare la FT.

Sì questo mi pare ok :ok:

anche se nel caso del segnale non periodico non direi armoniche ma solo spettro come hai anche scritto

Per chiarire ulteriormente :-)

...
per calcolare un coefficiente della serie usi ad esempio la formula

$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos\left(2\pi \frac{n}{T}t\right)\,\text{d}t$

ora vedi che compare il periodo T, come fai ad applicarla la funzione non è periodica #-o

Invece per calcolare la TCF...
$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\text{e}^{-\text{j}2\pi f t }\text{d}t$
e qui direi che puoi mettere sia funzioni periodiche che non periodiche :ok:

quello che accade è che se metti una funzione non periodica ottieni uno spettro continuo invece se metti una funzione periodica ottieni una serie di delta di Dirac centrate proprio come le armoniche della serie di Fourier.

simo85 ha scritto:...
coefficienti con indice delle armoniche della componente reale.
coefficienti con indice delle armoniche della componente immaginaria.
...

stesso lapsus?

No reale e immaginaria ma pari e dispari ;-)

Infine sì, i coefficienti rappresentano le ampiezze delle armoniche :ok:

da **simo85** » 3 mag 2013, 23:07

OK comincio a chiarirmi le idee. GRAZIE.

carloc ha scritto:stesso lapsus?

Eh mi hai preceduto perché rileggendo stavo per aggiungere una risposta. :-)

carloc ha scritto:qualsiasi funzione si può scomporre nella somma di una funzione dispari e di una pari

Non mi è chiaro o sono solo confuso.

Prendendo come esempio l'onda quadrata i coefficienti e relative armoniche sono tutti di indice dispari (i coefficienti seno). Io mi riferivo, spiegandomi male forse, a questo. Scusa.

Forse sto tralasciando qualche dettaglio riguardante le funzione pari e dispari.
:-k

da **carloc** » 3 mag 2013, 23:31

Sì confondi l'ordine dell'armonica con il fatto che una funzione sia pari o dispari ;-)

un onda quadra ha solo le armoniche dispari :ok:

cioè se la fondamentale è f_0

avrai $3f_0, 5f_0\,\ldots$ ok

Ma saranno seni o coseni?

Dipende...

se prendi questa onda quadra

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

che è dispari, cioè per ogni t si ha che q_d(t)=-q_d(-t)

sembra uno scioglilingua ma se ci pensi un attimo non è niente di che

sarà nella forma di $q_d(t)=b_1\sin(\omega_0 t)+b_3\sin(3\,\omega_0 t)+b_5\sin(5\,\omega_0 t)+\ldots$ con tutti i coefficienti dei coseni nulli.

Se invece prendi questa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

che è pari, cioè q_p(t)=q_p(-t)

avrai invece
$q_p(t)=a_1\cos(\omega_0 t)+a_3\cos(3\,\omega_0 t)+a_5\cos(5\,\omega_0 t)+\ldots$
e questa volta hai solo coseni, e tutti i seni nulli

da **dimaios** » 3 mag 2013, 23:33

Per capire come funziona basta guardare questo demo Java provando a sviluppare in serie una funzione pari ed una funzione dispari!
In particolare aumenta il numero di coefficienti ..... noti nulla di strano ? ... alcuni coeefficienti non generano un contributo nell'interpolante per cui sono ........ nulli ! ;-)

da **simo85** » 3 mag 2013, 23:37

carloc ha scritto:Sì confondi l'ordine dell'armonica con il fatto che una funzione sia pari o dispari

BINGO!

E GRAZIE

carloc! Ora mi è chiaro un po' tutto il concetto!

Vedo di continuare a fare gli esercizi di calcolo (mi sto preparando per la università).
E poi sarà fnalmente il turno della trasformata a tempo discreto (che con questa ho i conti in sospeso e

dimaios ne sà qualcosa). :mrgreen:

PS: eccolo. :-)

Grazie anche a te per la applet (ma da qui non la posso aprire). Ho anche trovato questa (che forse è la stessa).

da **DirtyDeeds** » 4 mag 2013, 9:18

Un'aggiunta sugli sviluppi di Fourier per funzioni simmetriche. Oltre a essere pari o dispari, le funzioni periodiche possono avere altri tipi di simmetrie che possono semplificare la determinazione dei coefficienti di Fourier. In particolare, data la serie

$x(t) = a_0+\sum_{k=1}^\infty [a_k\cos(2\pi k ft)+b_k\sin(2\pi k f t)]$

con coefficienti

$\begin{align}a_0 &= \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)\,\text{d} t \\ a_k &= \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)\cos(2\pi k ft)\,\text{d} t \\ b_k &= \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)\sin(2\pi k ft)\,\text{d} t\end{align}$

con t_0

arbitrario, si ha:

1) Se

è una funzione dispari, cioè se x(-t) = -x(t)

, allora

$\begin{align} a_k &= 0\quad \text{per tutti i $k$} \\ b_k &= \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x(t)\sin(2\pi k ft)\,\text{d} t \end{align}$

2) Se

è una funzione pari, cioè se x(-t) = x(t)

, allora

$\begin{align} a_0 &= \frac{2}{T}\int_0^{T/2}x(t)\,\text{d} t \\ a_k &= \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x(t)\cos(2\pi k ft)\,\text{d} t \\ b_k &= 0\quad \text{per tutti i $k$}. \end{align}$

3) Se

è simmetrica a mezz'onda, cioè se x(t+T/2) = -x(t)

, allora

$\begin{align} a_0 &= 0\quad \text{e}\quad a_k = b_k = 0\quad \text{per $k$ pari} \\ a_k &= \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x(t)\cos(2\pi k ft)\,\text{d} t\quad \text{per $k$ dispari} \\ b_k &= \frac{4}{T}\int_0^{T/2}x(t)\sin(2\pi k ft)\,\text{d} t\quad \text{per $k$ dispari} \end{align}$

4) Se

è simmetrica a quarto d'onda, cioè se è simmetrica a mezz'onda e pari o dispari, allora

$\begin{align} a_k &= \frac{8}{T}\int_0^{T/4}x(t)\cos(2\pi k ft)\,\text{d} t\quad \text{per $k$ dispari, se $x$ è pari (tutti gli altri valori nulli)} \\ b_k &= \frac{8}{T}\int_0^{T/4}x(t)\sin(2\pi k ft)\,\text{d} t\quad \text{per $k$ dispari, se $x$ è dispari (tutti gli altri valori nulli)} \end{align}$