ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Londoneye** » 8 lug 2014, 22:34

Ciao a tutti ragazzi!

Sono secoli che non scrivo, (a quanto dice il forum ultimo accesso un anno fa :cry:

), però ogni tanto vi ho letto!
In un anno cambiano tante cose, purtroppo per me è stato un anno un poco faticoso e sfortunatamente ho dovuto mettere da parte lo studio dei circuiti :cry:

Stasera vi scrivo per richiedere e "approfittare" della vostra conoscenza ed esperienza e per arricchire la mia :)

Sto svolgendo i circuiti dinamici e in particolare il seguente esercizio:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Questo è il circuito di partenza e i valori dei bipoli sono i seguenti:
$E=100V ;R_1=50 \Omega ; R_2=20 \Omega ; L=100mH ; C=20\mu F$
Il testo chiede di calcolare la dinamica della corrente i_L(t)

per $t\geq 0$

Allora, io ho studiato per primo, il circuito per $t\leq 0$ , considerando che l'interruttore si apre a t=0, quindi fino a quel momento il circuito in esame è in regime stazionario, infatti :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Riesco a calcolare facilmente, il valore della tensione e della corrente:

$V_c= E(R_2/R_1+R_2) = 100 (20/70)\cong 28,6 V$
i_l= 0 A

Ora passo allo studio del mio circuito quando l'interruttore si apre a t= 0 e sono in presenza di un RLC serie:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

A questo punto trovo l'equazione di stato del circuito. Applico kirchhoff ai nodi e alle maglie e poi sostituisco con le relazioni costitutive dei bipoli in esame.

nodo 1: -i_2 +i_L=0 -> i_2=i_L

nodo 2:

maglia:

relazioni costitutive: v_2= R_2i_2

$i_c=C\frac{\mathrm{d_v_c} }{\mathrm{ dt}}$
$v_L= L\frac{\mathrm{d_i_L} }{\mathrm{ dt}}$

operando le opportune sostituzioni arrivo alla mia equazione e cioè:
$LC(\frac{\mathrm{d^2_v_c} }{\mathrm{ dt^2}})+R_2C(\frac{\mathrm{d_v_c} }{\mathrm{ dt}})+ \frac{V_c}{LC} = 0$

divido tutto per LC e calcolo i valori di lambda:
$\lambda^2 +\frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0$

sostituendo tutti i valori mi trovo che $\lambda_1_2= -100 \pm 700i$
quindi $\Delta < 0$ e radici complesse e coniugate.

quindi la mia soluzione è:

$i_L(t)[= e^\alpha^t ( Acos( \beta t) + Bsen (\beta t) )$

Faccio una piccola premessa: Questa è una prova di esame con tanto di soluzione svolta. L'ho svolta aiutandomi con i passaggi quando non ero più sicura di quello che stavo facendo. Siccome avevo dei dubbi, fra tutti, ho portato anche questo esercizio a ricevimento dal mio docente.
Mi dice che alla soluzione i_L devo aggiungere la soluzione particolare, che nell'esercizio svolto e pubblicato da lui, omette.

Mi chiedo: posso far corrispondere la soluzione particolare a quella di regime?
E la mia difficoltà sta nel continuare da questo punto in poi. Devo trovare i valori delle costanti A e B applicando le condizioni iniziali, che qui non ho. Se non mi sono date dal testo, come le trovo? E dove le applico?
Praticamente non so andare oltre ||O

Vi sarei enormemente grata se poteste aiutarmi, grazie della pazienza!
:-)

da **gill90** » 9 lug 2014, 1:17

Ciao, prima di iniziare ti do un piccolo consiglio: quando scrivi

Londoneye ha scritto:nodo 1:
nodo 2:

puoi omettere tranquillamente l'applicazione rigorosa di Kirchhoff ai nodi quando hai solo due rami: basta che consideri un'unica corrente circolante! Di solito la legge di Kirchhoff ai nodi la applichi quando hai 3 (o più) rami che convergono verso un unico nodo, qui l'applicazione è immediata.
Per quanto riguarda l'esercizio, per trovare le condizioni iniziali è sufficienti imporre i dati in tuo possesso: sai che la tensione iniziale ai capi del condensatore è 28.6V, e che la corrente iniziale dell'induttore è 0A. Quindi tu hai un'espressione del tipo (occhio che la soluzione è v_c(t)

, non

)

$v_c(t)= e^{-100t} ( A\cos( 700 t) + B\sin (700 t) )$

A cui devi imporre per intanto la prima condizione (soprassedendo sulle ipotesi di continuità della funzione per t=0), v_C(0)=28.6V

, poiché

e $A\cos(0)+B\sin(0)=A$ , segue che A=28.6V

. Per determinare B hai bisogno della seconda condizione nota, cioè i_L(0)=0

. Però sai anche che $i_L=i_c=C\frac{dv_C}{dt}$ . Derivando e imponendo dunque i_c(0)=0

, trovi il valore della costante B che ti manca (se non ho fatto errori dovrebbe venire sui 4.1V). Per quanto riguarda la soluzione particolare, partendo da

$\frac{d^2v_c}{dt^2} +\frac{R}{L}\frac{dv_c}{dt} + \frac{1}{LC}v_c = 0$

La soluzione particolare qui è v_c=cost=0

, cioè nulla! Infatti non hai forzanti esterne, il tuo circuito ha un andamento oscillante smorzato dalla resistenza, che abbatterà esponenzialmente la corrente e a regime manderà a zero tensione sul condensatore (e idem la corrente).
Ogni volta che devi dare un valore alle costanti dopo la risoluzione di un'equazione differenziale devi necessariamente rifarti allo stato di partenza dei componenti: se la variabile in questo caso è la v_c

, allora devi per forza conoscere il valore di v_c

ad un istante noto (qui t=0

). Inoltre, poiché il circuito è del secondo ordine, in genere è richiesta anche un'altra informazione, qui ricavabile dalla variabile aggiuntiva i_L

e dal suo stato noto.

da **Londoneye** » 9 lug 2014, 11:23

gill90

grazie mille per tutte le delucidazioni. Ora mi è un po' più chiaro, provo a risolvere e vi dico, magari posto pure qualche altro esercizio, giusto per capire se ho capito

Pardon per il gioco di parole.

Per quanto riguarda Kirchhoff, lo faccio perché mi sento più sicura, non ho un allenamento mentale per fare cose dirette al momento :oops:

grazie ancora :)

ps: la B viene -0.41 la A=0 Il prof fa questi passaggi ( dove io non ho saputo più continuare);

Testuali parole: " la soluzione può essere posta nella forma:"

$i_l= e^ \alpha ^t (Acos\omega t +Bsen\omega t)$
imponendo le condizioni iniziali, tenuto conto che i_L=0

, $\frac{\mathrm{di_L} }{\mathrm{dt} }$ quando t=0 = $\frac{\mathrm{v_L(0)} }{\mathrm{L} }= \frac{\mathrm{-v_c (0)} }{\mathrm{L} }=285.7$ , si ha:
A=0, B= -0.41 quindi $i_L(t)= -0.41 e^{-100t} sen700t$

se a me serve i_L

perché mi ritrovo con v_c

?

da **gill90** » 9 lug 2014, 12:23

Aaahh l'esercizio ti richiede di calcolare i_L

, scusa ma non avevo visto! Allora, tu l'equazione differenziale ce l'hai in v_c

, giusto? Allora puoi ricavarti semplicemente la i_c=i_L

derivando e moltiplicando per C, infatti $i_c=C\frac{dv_c}{dt}$ . Se fai questo passaggio sui calcoli appena fatti, ottieni:

$i_c=C\frac{d}{dt} \left ( e^{-100t} (A \cos (700t) + B \sin (700t)) \right )$

Sviluppando ottieni:

$i_c = -100C e^{-100t} (A \cos (700t) + B \sin (700t)) + Ce^{-100t} (-700 A \sin (700t) + 700 B \cos (700t))$

Sostituendo ( $C=20 \mu F$ , A=28.6V

, $B=\frac{A}{7} \approx 4.1V$ ) i due $\cos(700t)$ si eliminano e ti resta:

$i_c=-0.41e^{-100t}\sin (700t)$

Questo per dirti che anche partendo dalla soluzione in v_c

puoi tranquillamente trovarti il risultato finale per i_L

.
Alternativamente, per semplificarti i calcoli puoi ragionare così: sai che la soluzione in v_c

è del tipo $v_c= e^ \alpha ^t (A'cos\omega t +B'sen\omega t)$ , e di conseguenza la i_L=i_c

sarà ricavabile come $C\frac{dv_c}{dt}$ . Se ti metti a fare i calcoli, però, ottieni un risultato interessante:

$i_c=Ce^{\alpha t} \left ( \alpha A'\cos(\omega t) + \alpha B'\sin(\omega t)-\omega A' \sin (\omega t) + \omega B'\cos(\omega t) \right )$

Cioè puoi riscrivere la soluzione accorpando i termini moltiplicativi di seno e coseno: chiami $A=C(\alpha A'+\omega B')$ e $B=C(\alpha B' - \omega A')$ e ti resta dunque:

$i_c=e^{\alpha t}(A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t))$

A cui puoi applicare le condizioni iniziali come hai fatto per v_c

. Se ragioni come nel caso precedente (imponendo cioè i_c(0)

e

), vedrai che ottieni lo stesso risultato. Non è importante che tu impari come chiamare le nuove variabili A, B

e che relazione hanno con A', B'

, questo ti serve solo per capire come, una volta trovata un'espressione di quel tipo per v_c

, derivando e moltiplicando ottieni la stessa identica forma, a cui ovviamente vanno sostituiti i valori delle costanti moltiplicative. Cioè, una volta che ti ritrovi la forma della soluzione dell'equazione differenziale, la puoi applicare alternativamente a v_c

oppure a

, con questo intendendo che le puoi scrivere nella stessa identica forma, quella che cambierà saranno il valore di A, B

, ma partendo da una puoi ricavarti con qualche passaggio anche l'altra. Ovviamente conviene partire da quella che ti richiede il problema (io sono partito con v_c

perché non avevo letto che la richiesta fosse i_L

), ma se parti dall'altra e derivi ottieni lo stesso risultato finale, con qualche passaggio in più!

da **Londoneye** » 9 lug 2014, 13:27

gill90

grazie, ora mi guardo tutto :)

da **Londoneye** » 10 lug 2014, 15:00

ciao

gill90

Allora, io ho provato a fare i calcoli. Mi trovo con la derivata e tutto, sostituendo i valori dati.

Ma non riesco a capire come ti sei ricavato $B= \frac{A}{7}\cong 4.1$

Se sostituisco questo valore nella derivata sviluppata arrivo alla soluzione finale. Ma non ho capito come hai tirato fuori il valore di B. sorry

da **RenzoDF** » 10 lug 2014, 16:42

Senza passare dalla vc, si poteva scrivere direttamente la KVL alla maglia

${{v}_{C}}(0)+\frac{1}{C}\int\limits_{0}^{t}{i\,\text{d}\tau}+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri=0$

Derivando, si sarebbe arrivati direttamente all'equazione differenziale sulla i = iC= iL e quindi alfa e omega sarebbero risultate (ovviamente) uguali; dalle condizioni iniziali già ricavate, vC(0)=200/7 volt e iL(0)=0 ampere, si sarebbe potuta ricavare anche la condizione iniziale sulla derivata della corrente di maglia (visto che vL=-vC)

${{\left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{{{v}_{L}}(0+)}{L}=\frac{-{{v}_{C}}(0)}{L}=-\frac{2000}{7}\,\,\frac{\text{A}}{\text{s}}$

e quindi, visto che A=0 per avere i(0)=0, la

$i(t)={{e}^{\alpha t}}(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))$

per t=0, porta la derivata a semplificarsi nella seguente

${{\left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\omega B$

Avremo infine che

$B=\frac{-{{v}_{C}}(0)}{\omega L}=-\frac{20}{49}\approx -0.408\,\,\text{A}$

NB Un errore sempre in agguato è quello di ipotizzare una continuità anche nella tensione sugli induttori e nella corrente nei condensatori. ;-)

Edit ----

Giusto per vedere in faccia il transitorio proviamo a simulare numericamente con VisSim
usando l'equazione integro-differenziale iniziale

da **dimaios** » 10 lug 2014, 16:52

RenzoDF, sempre molto elegante nelle soluzioni. =D>

da **Londoneye** » 10 lug 2014, 17:04

RenzoDF

ok Thanks, rivedo.

da **gill90** » 11 lug 2014, 0:22

Se scegli il procedimento "lungo", cioè la derivata di v_c

, per la corrente ti viene come già detto:

$i_c = -100C e^{-100t} (A \cos (700t) + B \sin (700t)) + Ce^{-100t} (-700 A \sin (700t) + 700 B \cos (700t))$

e questa corrente deve essere nulla per t=0

, come si evince dalle condizioni iniziali che presuppongono l'induttore "scarico" in t=0

. Cioè imponi:

0= -100C (A) + C(700 B)

Che diventa $B=\frac{A}{7} \approx 4.1V$ .

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