ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **oiram92** » 18 giu 2016, 17:57

il mio prof fa da eccezione..o sottointende troppe cose oppure..

Il testo dell'esercizio (da esame) è il seguente :

Sia X(t)

un processo aleatorio la cui densitá spettrale di potenza é :

$S_X(f) = \frac{1}{F} rect \left(\frac{f}{F}\right)$

e sia $Y(t) = X(t) \cdot cos \left(\frac{2}{3}\pi\;Ft + \phi \right)$ dove $\phi$ é una v.a. uniforme nell’intervallo $[0, 2\pi]$ .

(a) Calcolare il valore medio e la potenza di X(t)
(b) Calcolare il valore di F tale che la minima frequenza a cui potere campionare il segnale Y(t)

per ottenere una copia fedele del segnale sia 3000 Hz

(c) Calcolare la funzione di autocorrelazione corrispondente e la potenza del segnale Y(t)

Supponendo che il segnale sia stazionario riesco a risolvere l'esercizio (credo) senza problemi, ma se viene a mancare quella condizione mi trovo in alto mare..anche perché (seguendo il tuo suggerimento ho ricontrollato il teorema sul libro e mi dice che) "Il teorema è utilizzabile anche per i processi non stazionari, tuttavia è quasi sempre di difficile applicazione pratica"..ci sono strade alternative che non vedo?

da **dimaios** » 18 giu 2016, 18:00

Prova a chiederlo al professore ma realisticamente penso lo sottointenda.
Ti confermo che è molto difficile trovare un problema d'esame sui processi non stazionari in un corso di Teoria dei Segnali classico.

da **oiram92** » 18 giu 2016, 18:24

Grazie proverò a chiedere :ok:

ti dispiacerebbe dare un occhiata allo svolgimento per favore? Nella risoluzione dell'esercizio ho considerato che X(t)

sia stazionario in senso lato, dunque :

Prima determino la funzione di autocorrelazione $R_X(\tau)$ come anti-trasformata di S_X(f)

:

$R_X(\tau) = sinc(F\tau)$

Quindi :

$\lim_{\tau \to \infty} R_X(\tau) = 0 \;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\; E[X] = 0$

P_X = R_X(0) = 1

Per calcolare il valore di

per cui $f_{cmin} = 3000 \;Hz$ prima calcolo l'autocorrelazione di Y(t)

:

$R_Y(\tau) = E\left\{Y(t)Y(t+\tau)\right\} = R_X(\tau) \cdot E\left\{cos\left(\frac{2}{3}\pi F t + \phi \right)\cdot cos\left(\frac{2}{3}\pi F (t+\tau) + \phi \right)\right\}$

Sviluppando il prodotto tra coseni con la formula di Eulero ottengo :

$R_Y(\tau) = R_X(\tau) \cdot E\left\{\frac{1}{2}cos\left(\frac{2}{3}\pi F (2t+\tau) + 2 \phi \right) + \frac{1}{2} cos\left(\frac{2}{3}\pi F\tau \right)\right\}$

$R_Y(\tau) = \frac{1}{2} sinc(F\tau)\cdot cos \left(\frac{2}{3}\pi F \tau \right)$

Quindi, a prescindere dal valore di

la potenza del segnale Y(t)

è :

$P_Y = R_Y(0) = \frac{1}{2}$

Adesso per calcolare la densità spettrale di potenza come trasformata dell'autocorrelazione utilizzo la trasformata notevole del prodotto di una funzione per la funzione coseno (teorema di modulazione nel tempo) :

$S_Y(f) = \frac{1}{4} tr \left(\frac{f - \frac{F}{3}}{F}\right) + \frac{1}{4} tr \left(\frac{f + \frac{F}{3}}{F}\right)$

Da qui si vede che la massima frequenza dello spettro di potenza è pari a :

$f_s = \frac{F}{3} + F = \frac{4}{3} F$

Essendo :

$f_c = 2 f_s = 3000 \;\;\;\; \leftrightarrow \;\;\;\; F = \frac{3 \cdot 3000}{8} = 1125$

da **dimaios** » 18 giu 2016, 19:00

Ho dato un'occhiata sommaria al procedimento e direi che è corretto.
Non ho controllato i calcoli con le funzioni trigonometriche.

Ho notato una cosa piuttosto fastidiosa che da qualche anno appare sugli appunti ed esercizi di vari studenti.
Una volta si impiegavano le lettere minuscole nel dominio del tempo e quelle maiuscole in quello delle frequenze per evitare ambiguità.

$x(t),r(\tau)$ processo aleatorio e autocorrelazione
X(f)

Spettro del segnale
ecc.

Ora c'è un misto incomprensibile che genera solo confusione.
Inoltre le funzioni rect e tri hanno due definizioni diverse a seconda dell'indicazione.

rect(t)

e $rect_{T}(t)$

Anche questo contribuisce nella generazione di una gran confusione.

da **oiram92** » 18 giu 2016, 19:43

Grazie per la conferma :ok:

Si in effetti hai ragione (e anche io la penso come te). Ogni prof (che prende come riferimento il libro di testo che consiglia) ha la propria notazione e le proprie convenzioni (che contribuiscono a confondere più del dovuto la mente di noi studenti..). Ad esempio nel mio corso :

$x(t) \to$ segnale determinato nel dominio del tempo
$X(t) \to$ segnale aleatorio nel dominio del tempo
$X(f) \to$ segnale (determinato o aleatorio) nel dominio della frequenza

Per quanto riguarda invece il fatto dei pedici (per fortuna) il nostro prof ci ha sempre abituato ad utilizzare la relazione generale :

$A \cdot rect \left(\frac{t}{T}\right)$

in modo da avere tutto esplicito e quindi diminuire la possibilità di errore (da distrazione)

Un'altra cosa che ritengo fastidiosa (e che riguarda teoria dei sistemi-teoria dei segnali-controlli automatici,elettronica,ecc..) è che per definire lo stesso segnale si usano simboli diversi cosicchè ad ogni esame bisogna dimenticare la notazione studiata in precedenza e adottare quella preferita dal prof..

Tanto per fare qualche esempio mi riferisco a :

$rect \left(\frac{t}{T}\right) \to \prod \left(\frac{t}{T}\right)$

$tr \left(\frac{t}{T}\right) \to \bigwedge \left(\frac{t}{T}\right)$

$u(x) \to H(x) \to \theta(x)$

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Autocorrelazione di un segnale

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