ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Shika93** » 3 nov 2016, 0:07

No, no, calma. Lo corregge perché ha detto che lo avrebbe fatto. Per tutti. Non per me. Era un esercizio che ci aveva lasciato per il ponte dei santi.
$\left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n=e^{2x}$ no?

Quindi il mio problema sarebbe
$\lim_{n \to \infty} \int_{\text{[}0, +\infty\text{]}}^{} e^{-x}dx$
Dato che la funzione non dipende da

posso dire che è Lebesgue integrabile, dato che l'integrale del limite è uguale al limite dell'integrale e lo calcolo? ( $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=1$ )

da **PietroBaima** » 3 nov 2016, 0:18

Hey, non puoi sostituire la funzione col suo limite e poi lasciare ancora indicato il limite dicendo che non dipende da n.

Inoltre perché dici che sia L integrabile se non dipende da n?

da **Shika93** » 3 nov 2016, 0:32

PietroBaima ha scritto:Hey, non puoi sostituire la funzione col suo limite e poi lasciare ancora indicato il limite dicendo che non dipende da n.

Mmm...Quindi?

PietroBaima ha scritto:Inoltre perché dici che sia L integrabile se non dipende da n?

L'ho pensato io. Vedendo che non dipende da n ho pensato che il limite non servisse più a niente. Ma dall'affermazione sopra direi che la dipendenza da n non può sparire...

da **PietroBaima** » 3 nov 2016, 0:39

quindi non è giusto.
Se tu sostituisci la successione con il valore asintotico ne stai calcolando il limite.

La relazione corretta è che

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \left (1+\frac{1}{n}\right )^n=\text{e}$

mentre

$\left (1+\frac{1}{n}\right )^n=\text{e}$

è sbagliato.

da **Shika93** » 3 nov 2016, 0:44

Ok ora magari dirò una minchiata, ma posso tirare fuori dall'integrale la funzione $\left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n$ in modo da avere il limite di quella che moltiplica l'integrale in x? In questo modo avrei $e^{2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3x}dx$ o non ha senso con il mio problema?
Diversamente non saprei dove andare a sbattere.

da **PietroBaima** » 3 nov 2016, 0:48

non puoi perché x è la variabile di integrazione.
Quando calcoli l'integrale x deve sparire, è muta.

Pensa a quello che ti hanno spiegato su Lebesgue...
Non è un esempio difficile
Il mio era ben peggio :mrgreen:

da **Shika93** » 3 nov 2016, 1:02

Ci ho provato.
Io so che se ho una funzione

definita in $E\subset \mathbb{R}^n$ è Lebesgue integrabile se
$\int_{E}^{}|f(x)|dx <\infty$
Nel caso di una successione, che è il mio caso,
$\lim_{n \to \infty} \int_{E}^{} f_n(x)dx=\int_{E}^{} f(x)$

Il mio f_n(x)

è $\left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}$
Che ci faccio?

da **dimaios** » 3 nov 2016, 11:31

DirtyDeeds ha scritto:Non so se avete notato nel video come il tipo guardava gli studenti ritardatari o quelli che facevano un po' di rumore ....

Si

DirtyDeeds, è molto sensibile alle variazioni ambientali! :mrgreen:

Comunque ho dato un'occhiata a diversi suoi video e mi sembra un docente molto valido per cui l'attenzione e la puntualità se la merita proprio. ;-)

da **DirtyDeeds** » 3 nov 2016, 12:07

dimaios ha scritto:Comunque ho dato un'occhiata a diversi suoi video e mi sembra un docente molto valido per cui l'attenzione e la puntualità se la merita proprio

Sì, infatti, e grazie della segnalazione: sono andato anch'io a vedere qualche video e spiega molto bene.

da **Shika93** » 3 nov 2016, 21:08

Shika93 ha scritto:Ci ho provato.
Io so che se ho una funzione definita in $E\subset \mathbb{R}^n$ è Lebesgue integrabile se
$\int_{E}^{}|f(x)|dx <\infty$
Nel caso di una successione, che è il mio caso,
$\lim_{n \to + \infty} \int_{E}^{} f_n(x)dx=\int_{E}^{} f(x)$

Il mio è $\left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}$
Che ci faccio?

Scusa

PietroBaima ma non era poi completamente sbagliato quello che avevo fatto. Non l'ha corretto, però ho pensato:
devo calcolare $\lim_{n\to + \infty} \int_{0}^{\infty} \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}dx$
Chiamo la funzione da integrare f_n(x)

e studio il suo comportamento per x fissato, e n che tende a infinito. Quindi studio il limite
$\lim_{n\to + \infty}f_n(x)$
e a quel punto tolgo la dipendenza da n perché mi viene
$\lim_{n\to + \infty} \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}=e^{2x}e^{-3x}=e^{-x}$
che è Lebesgue integrabile perché il suo modulo all'infinito tende a 0. Poi calcolo il suo modulo
|f_n(x)|

e vedo che
per $x \in (0,1)$ |f_n(x)|=1

mentre
per $x \geq 1$ e $n \geq 2$
$|f_n(x)|=(1+x)^2 e^{-3x}$ che è Lebesgue-integrabile in $(0,+ \infty)$ . Quindi il problema si dovrebbe poter risolvere come
$\int_{0}^{+ \infty} e^{-x}dx =1$

O no?

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Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

[31] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

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