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da **ucr** » 1 apr 2018, 21:40

Un saluto e un augurio di buona Pasqua a tutti!
Scrivo questo messaggio nella speranza di sciogliere definitivamente i miei dubbi riguardo alle funzioni di trasferimento, in particolare nell'analisi dei filtri.
Io so che la funzione di trasferimento viene espressa come un rapporto tra polinomi complessi, però mi chiedo: una F(s) può essere ricondotta nella forma F(s) = a + ib? In caso di risposta affermativa, calcolare la fase della funzione di trasferimento coincide con il calcolare l'argomento del suddetto numero?
E poi vorrei sapere che relazione esiste tra fase, zeri e poli per poter tracciare il diagramma di Bode di una funzione qualsiasi dato che a scuola ci hanno dato la regola dei -20dB/dec senza aggiungere altro.

da **sebago** » 2 apr 2018, 11:33

Sono allibito...
Hai provato a guardare cosa dice il libro di testo?

da **ucr** » 2 apr 2018, 12:29

sebago ha scritto:Sono allibito...

Non c'è da sorprendersi: le scuole serali sono un luogo dove professori svogliati ed incapaci, in attesa della pensione, si incontrano con studenti pluriripetenti speranzosi che un miracolo consenta loro di diplomarsi.

sebago ha scritto:Hai provato a guardare cosa dice il libro di testo?

Sì, ho consultato il mio libro di testo dell'anno passato e l'ho trovato troppo incasinato perché usa della matematica che non abbiamo fatto come la trasformata di Laplace. Il manuale di Elettronica e Telecomunicazioni di G. Biondo e L. Sacchi invece mi è stato un po' più di aiuto, solo che non riesco a capire come esprimere la funzione di trasferimento in questa forma:
$K = K_1 \frac{\tau_1 \tau_2 {\omega '}_{n1}^2 {\omega '}_{n2}^2}{T_1 T_2 {\omega}_{n1}^2 {\omega}_{n2}^2}$

Poniamo che io abbia la seguente funzione di trasferimento:
$F(s) = \frac{8}{2s^3 + 9s^2 + 4s}$
Mi calcolo gli zeri e i poli eguagliando a zero numeratore e denominatore e li rappresento sul piano complesso indicandoli rispettivamente con un pallino e con una x. Poi, secondo il manuale, devo scrivere la F(s) nella forma indicata sopra sostituendo gli zeri e i poli trovati ed è qui che non capisco come procedere. Potresti aiutarmi? Grazie mille sebago!

da **sebago** » 2 apr 2018, 17:20

btfss ha scritto:matematica che non abbiamo fatto come la trasformata di Laplace

Non dico di capirne "l'intimo matematico", ma almeno sapere cos'è, dove si applica e quali sono le sue proprietà fondamentali è assolutamente necessario se vuoi studiare le funzioni di trasferimento e il funzionamento del sistema che rappresentano. Altrimenti è come cercare di fare un bell'arrosto allo spiedo senza saper accendere il fuoco...

btfss ha scritto:non riesco a capire come esprimere la funzione di trasferimento in questa forma:
$K = K_1 \frac{\tau_1 \tau_2 {\omega '}_{n1}^2 {\omega '}_{n2}^2}{T_1 T_2 {\omega}_{n1}^2 {\omega}_{n2}^2}$

mai vista una cosa del genere, e fatico parecchio a vederla come "funzione di trasferimento" (se poi non indichi cosa sono quei parametri, è peggio di una formula magica)

btfss ha scritto:Poniamo che io abbia la seguente funzione di trasferimento:
$F(s) = \frac{8}{2s^3 + 9s^2 + 4s}$
Mi calcolo gli zeri e i poli eguagliando a zero numeratore e denominatore e li rappresento sul piano complesso indicandoli rispettivamente con un pallino e con una x. Poi, secondo il manuale, devo scrivere la F(s) nella forma indicata sopra sostituendo gli zeri e i poli trovati ed è qui che non capisco come procedere. Potresti aiutarmi? Grazie mille sebago!

Vediamo un po': indica quali sono gli zeri e i poli di quella F(s), poi ragioniamo sul resto.

da **ucr** » 2 apr 2018, 18:31

Non è un caso se ho chiesto del materiale per studiare tutto quanto per l'esame: la scuola fa schifo, noi studenti pure e poi ci mettiamo anche che a quanto pare, con molto dispiacere, di queste cose non capisco una beneamata.

Comunque, si eguagliano numeratore e denominatore a zero per trovare rispettivamente zeri e poli della funzione di trasferimento. Nella fattispecie non ci sono zeri (8=0), dunque si procede coi poli:
2s^3 + 9s^2 + 4s = s(s^2 + 9s + 4)

Risolvendo l'equazione con la formula apposita si trovano i poli s = 0

, $s = -\frac{1}{2}$ , s = -4

ed il circuito è stabile. Poi si tracciano i poli sul piano complesso e da qui in poi servono un aiuto e un bel miracolo...

La forma della funzione di trasferimento proposta deriva da questa:
$H(s) = K_G \frac{(s - z_1)(s - z_2)(s - z_m)}{s^h(s-p_{h+1})(s-p_{h+2})(s-p_{n})}$
dove z_j

sono le radici del polinomio, h è la molteplicità del polo zero. Cosa voglia dire non lo so.

da **sebago** » 2 apr 2018, 19:06

btfss ha scritto:Nella fattispecie non ci sono zeri (...),
...si trovano i poli , $s = -\frac{1}{2}$ , ed il circuito è stabile.

Fin qui (quasi) ci siamo:
1) nessuno zero, ok, ma non scrivere che è perché 8=0, semmai si dice che l'equazione 8=0 non ha soluzioni, quindi no soluzioni no zeri;
2) il denominatore "non torna", nel senso che l'equazione che hai scritto:

non è corretta (se sviluppi il prodotto a secondo membro ti accorgi che non coincide con il primo membro.
Correttamente, invece:
2s^3 + 9s^2 + 4s = s(2s^2 + 9s + 4)

Che porta alle soluzioni:
s_1=0

che coincidono con le tue. Che si può dire?
a) che il sistema (non "il circuito", non è detto che quella FdT rappresenti per forza un circuito) è del terzo ordine;
b) che, a una prima vista, il sistema è "al limite di stabilità", visto che presenta sì due poli con parte reale negativa ma uno dei poli è nullo (e dunque la sua parte reale non è né positiva né negativa).
E parliamo di una valutazione "teorica" della stabilità (ma non complichiamo troppo le cose).
Ad ogni buon conto, sulla base di questi risultati, la nostra funzione di trasferimento la esprimiamo così:
$F(s)=\frac{8}{2s(s+4)(s+\frac{1}{2})}=\frac{4}{s(s+4)(s+\frac{1}{2})}$
A questo punto devi dire cosa vuoi fare di questa FdT.
Vuoi rappresentarne la risposta armonica (ovvero come si comporta alle varie frequenze)? E' una funzione di anello di un sistema retroazionato e vuoi valutarne la stabilità con il criterio di Bode?

P.S.: se vuoi "assimilarla" a quell'espressione che hai indicato sopra, occorre che tu chiarisca cosa sono tutti quei simboli.

da **dimaios** » 2 apr 2018, 19:21

btfss ha scritto:Non è un caso se ho chiesto del materiale per studiare tutto quanto per l'esame: la scuola fa schifo, noi studenti pure e poi ci mettiamo anche che a quanto pare, con molto dispiacere, di queste cose non capisco una beneamata.

btfss ha scritto:Non c'è da sorprendersi: le scuole serali sono un luogo dove professori svogliati ed incapaci, in attesa della pensione, si incontrano con studenti pluriripetenti speranzosi che un miracolo consenta loro di diplomarsi.

Va bene lo sfogo ma alla fine non ti serve a molto.
Cerchiamo di mettere un pochino di ordine nelle idee.

Per cortesia indica il corso di studi che stai frequentando e la materia specifica ( soprattutto l'anno del triennio suppongo ).

btfss ha scritto:Io so che la funzione di trasferimento viene espressa come un rapporto tra polinomi complessi, però mi chiedo: una F(s) può essere ricondotta nella forma F(s) = a + ib? In caso di risposta affermativa, calcolare la fase della funzione di trasferimento coincide con il calcolare l'argomento del suddetto numero?
E poi vorrei sapere che relazione esiste tra fase, zeri e poli per poter tracciare il diagramma di Bode di una funzione qualsiasi dato che a scuola ci hanno dato la regola dei -20dB/dec senza aggiungere altro.

In generale la cosa è più complicata ma procediamo per gradi cercando di cancellare qualche "pregiudizio".

F(s)

è la trasformazione di una funzione f(t)

in un altro spazio che puoi considerare come una "terra aliena".

In pratica ad una funzione del tempo

facciamo corrispondere una funzione della variabile complessa

.

Nel dominio del tempo ad un istante

corrisponde il valore di f(t)

mentre nel dominio "alieno" ad un valore complesso

la funzione $F(\cdot)$ fa corrispondere un valore complesso.

La mappatura tra funzioni del tempo e "dominio alieno" di cui stiamo parlando si chiama trasformata di Laplace.
Non è l'unica mappatura possibile, anzi che ne sono molte altre , ma per quello che devi fare va bene questa : vedremo in seguito perché.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Indipendentemente dalla definizione più o meno complicata della trasformata, quello che devi capire è che le funzioni del tempo vengono mappate in funzioni complesse.

A cosa serve ?
Siamo sicuri che passando dal dominio temporale a quello complesso abbiamo qualche vantaggio ?

Sembra di complicarsi la vita ma in realtà non è così.
Infatti ci sono almeno due buoni motivi per passare alla trasformata di Laplace :

1. Alcune caratteristiche della f(t)

sono talvolta meglio visibili quando trasformata in F(s)

2. Alcune operazioni che nel dominio del tempo sono complicatissime nel dominio della trasformata di Laplace sono molto semplici.

Le tabelle di conversione tra f(t) ed F(s) le trovi dove vuoi, basta cercare su qualche libro o su internet.

Esempio.

In generale non è detto che data una f(t)

la corrispondente F(s)

sia necessariamente il rapporto di due polinomi complessi ma per le funzioni di interesse spesso accade ed è estremamente comodo.
In realtà non accade per caso ma perché la trasformata è stata creata cum grano salis. ;-)

Fino qui tutto chiaro ?

da **ucr** » 2 apr 2018, 21:36

sebago ha scritto:2) il denominatore "non torna", nel senso che l'equazione che hai scritto:

non è corretta (se sviluppi il prodotto a secondo membro ti accorgi che non coincide con il primo membro.
Correttamente, invece:

Nel trascrivere dal quaderno al computer ho tralasciato un due, però come si trovano poli e zeri è chiaro. La "semplificazione" della Fdt in binomi forse è chiara: si tratta di scomporre la funzione in prodotto di binomi come si faceva con Ruffini? E poi come faccio a tracciare il diagramma di Bode del guadagno G(s) e della fase in funzione della pulsazione $\omega$ (o della frequenza)?

dimaios ha scritto:Per cortesia indica il corso di studi che stai frequentando e la materia specifica ( soprattutto l'anno del triennio suppongo ).

Quinto anno delle superiori ad indirizzo Elettronica. La materia in questione è appunto Elettronica.

dimaios ha scritto:Fino qui tutto chiaro ?

Si può scrivere che F(s) = L(f(t))

? Se sì ho compreso, altrimenti credo di no. Sicuramente non è chiaro perché s è sempre uguale a $j\omega$ negli esercizi che svolgiamo a scuola.

Comunque grazie mille ad entrambi per l'enorme pazienza dimostrata.

da **dimaios** » 3 apr 2018, 9:33

Certo che è corretto scrivere quella formula.
Tramite la trasformazione $\mathcal {L}( \cdot )$ si esegue la mappatura della funzione f(t)

nella funzione corrispondente F(s)

.

In particolare :

$F(s) = \mathcal {L} [ f(t) ] = \int _{0 }^{+\infty }f(t) e^{-st} dt$

Ti ricordo che

è una variabile complessa.
Come tale è esprimibile come $s = \sigma + i\omega$ dove $\sigma$ è la parte reale e $\omega$ è la parte immaginaria.

Il fatto che abbia utilizzato i simboli $\sigma,\omega$ anzichè a,b

non è casuale ma per il momento usiamoli semplicemente come convenzione.

Come ti ho spiegato in precedenza la trasformata di Laplace rende visibili certe proprietà dei segnali che nel dominio del tempo non riusciresti ad apprezzare facilmente.

In particolare se invece di considerare

ovunque sul piano complesso prendiamo in considerazione solo la parte immaginaria finiamo per "ridurre" la trasformata al solo asse immaginario.

Poniamo quindi $s=i\omega$ .

Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace F(s)

calcolata per $s=i\omega$ fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.

Ricorda che F(s)

è la trasformata di Laplace del tuo sistema ed è un numero complesso dipendente da

. Se a

sostituisci $i\omega$ ottieni $F(i\omega)$ che è un numero complesso dipendente da $\omega$ . Ad ogni frequenza ( pulsazione ) hai un numero complesso diverso che dice quanto vale il guadagno ( amplificazione o attenuazione ) ovvero $|F(i\omega)|$ e lo sfasamento $arg[F(i\omega)]$ ingresso uscita del tuo sistema.

In pratica se in ingresso al tuo sistema metti un segnale sinusoidare ( che è monofrequenza ) sai esattamente ( a quella frequenza ) quanto viene amplificato e sfasato.

A questo punto puoi capire la "regola" dei -20 db/decade che in realtà si ricava facilmente.
Se vuoi possiamo vederlo insieme con un esempio semplice.

Prendi in considerazione il sistema RC in figura e prova a ricavare la funzione di trasferimento nella Laplace trasformata .... la "regola" deriva immediatamente dallo svolgimento di alcuni passaggi.

u(t)

: Segnale di ingresso in tensione
y(t)

: Segnale d'uscita in tensione

: Resistenza

: Capacità

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

: Trasformata di Laplace dell'ingresso
Y(s)

: Trasformata di Laplace dell'uscita

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$ : Funzione di trasferimento del sistema.

Devi ricavare G(s)

che è la funzione di trasferimento del riquadro rosso indicato in figura.

da **sebago** » 3 apr 2018, 10:00

Premesso che continuo a non capire perché affermi che “questa forma”
$K = K_1 \frac{\tau_1 \tau_2 {\omega '}_{n1}^2 {\omega '}_{n2}^2}{T_1 T_2 {\omega}_{n1}^2 {\omega}_{n2}^2}$
derivi da questa
$H(s) = K_G \frac{(s - z_1)(s - z_2)(s - z_m)}{s^h(s-p_{h+1})(s-p_{h+2})(s-p_{n})}$
(che è un’espressione più o meno standard per le FdT), se confronti quest’ultima con quella che abbiamo ricavato per la tua, che riporto:
$F(s)=\frac{4}{s(s+4)(s+\frac{1}{2})}$
è evidente che:
a) K_G=4

b)

, ovvero il polo nullo (non chiamarlo "polo zero", alimenti la confusione...) ha molteplicità 1;
c) p_2=-4

e

Noto ora che, mentre sto scrivendo, l'eccellentissimo

dimaios ti ha fornito un'ottima spiegazione sugli altri dubbi. Rimane il problema di come tracciare il diagramma di Bode (del modulo e della fase della FdT al variare della pulsazione). Prima però facciamo una leggera modifica formale:
$F(s)=\frac{4}{s(s+4)(s+\frac{1}{2})}=\frac{4}{4 \frac{1}{2} s(\frac{1}{4}s+1)(2 s+1)}=\frac{2}{s(1+0,25s)(1+2s)}$

"Passiamola" al dominio della pulsazione:
$F(j\omega)=\frac{2}{j\omega(1+j\omega 0,25)(1+j\omega 2)}$
In questa forma si notano tre tipologie di funzioni elementari:
1) la costante K=2, a numeratore
2) la funzione $j\omega$ a denominatore
3) le funzioni $1+j\omega0,25$ e $1+j\omega2$ , anch'esse al denominatore ed entrambe del tipo $1+j\omega\tau$

A questo punto la domanda è:
"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"

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Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

[1] Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

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