Premessa

Nell'epoca dei computer ed in un sito di elettronica può sembrare alquanto strano parlare di soluzioni matematiche con riga e compasso, ma questo fa seguito al bell'articolo di admin "La divina proporzione", in cui viene evocata la sezione aurea.

Per comodità riassumo qui i termini del problema:

Si vuole suddividere in 2 parti, a e b, un segmento di lunghezza L in modo che sia verificata la seguente proporzione:

con, ovviamente, la condizione che L= a + b.

Le soluzioni

Ponendo ad es. L=1, per via algebrica si perviene rapidamente alla soluzione a=0.382..., b=0.618... ed il loro rapporto viene definito come "aureo".

Ma i matematici dell'antica Grecia non utilizzavano l'algebra, e ricavavano i risultati per via puramente geometrica.

Ecco ad es. come , dato a, ricavavano b:

Infatti , ricavato come ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti a ed a/2, sommata poi ad a/2.

Un ulteriore passo è la costruzione di un triangolo con b come altezza e (a+L) come base. Quiesto è inscrivibile in un cerchio di raggio (a+b/2), quindi è rettangolo, coincidendo il diametro con l'ipotenusa, e corrisponde al rapporto aureo visto precedentemente:

Generalizzazione

Il caso appena visto di rapporto aureo appare essere un caso particolare di una regola più generale che rappresenta l'essenza del secondo teorema di Euclide: di fatto il rapporto rimane valido per qualsiasi triangolo rettangolo iscritto nrl semicerchio (anche se L non ha più la proprietà di essere la somma di a e b).

Non sono uno storico della matematica, ma penso che questa debba essere stata la forma originaria del teorema (più aderente al pensiero dei matematici antichi, che non l'attuale enunciato).

Attualmente infatti l'enunciato ne fa un'equazione piuttosto che un rapporto:

In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa uguaglia quella del rettangolo costruito con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Le radici quadrate

Questa trasformazione ci è però utile per capire il metodo di soluzione grafica di radici quadrate.

Osserviamo infatti che possiamo mettere a=1 ed L=N (dove N è un qualsiasi numero positivo) ricavando: b² = N

cioè in definitiva :

Ecco quindi la "costruzione" grafica (con gli strumenti di calcolo dell'antichità, riga e compasso) dei soli semicerchi (di raggio ) che individuano sulla verticale le corrispondenti radici quadrate:

(francamente non ho parole per commentare una così incredibilmente semplice procedura!).