Atene, 430aC. Un'epidemia di peste decimava gli ateniesi e questi si rivolsero all'oracolo di Delfi.
<Apollo è adirato perché l'altare cubico nel tempio di Delo è troppo piccolo. Dovete raddoppiarne il volume> fu la risposta.
Sconcerto generale. Non tanto per la spesa, ma il problema era: come dovevano essere calcolate le nuove dimensioni?

Il problema di Delo

Questo è passato alla storia come il problema di Delo, o della duplicazione (in volume) di un cubo.
Qualsiasi liceale dotato di calcolatrice scientifica, sarebbe oggi in grado di risolverlo (o perlomeno dovrebbe esserlo).
Chiamato a lo spigolo del cubo, il volume di questo è a³, e se b è lo spigolo del nuovo cubo, deve essere : , quindi :
cioè bisogna moltiplicare a per la radice cubica di 2.

Gli antichi greci sapevano calcolare le radici quadrate, ma non quelle cubiche. O meglio, qualcuno risolse "in pratica" il problema, ma utilizzando "ignobili trucchi" quali righe graduate e squadre (vedi Appendice), con la riprovazione dei matematici puri, che ammettevano soltanto l'uso della riga e del compasso.(Solo oltre duemila anni più tardi sarà dimostrata l'impossibilita di soluzione con procedure geometriche di questo tipo).

I matematici greci erano maestri nell'uso delle proporzioni e Ippocrate di Chio (da non confondere con il "padre della medicina"), stabilì le relazioni per risolvere il problema: si sarebbe dovuto cercare la lunghezza di un terzo segmento, p, tale che:

Per "capire" questa relazione, è per noi più facile elaborarla algebricamente: poiché sono termini uguali, possiamo moltiplicare il primo per il secondo ed uguagliarlo al quadrato del terzo: , che ci riporta alla relazione di partenza :
Intere generazioni di matematici tentarono, inutilmente come si diceva, di trovare un procedimento geometrico per ricavare b con riga e compasso, ed uno dei tentativi più interessanti fu, duecento anni più tardi, quello di Diocle con il tracciamento della curva detta "cissoide" (letteralmente "a forma d'edera").

La cissoide di Diocle

La costruzione di questa curva è assai semplice.
Dato un cerchio di diametro D, da un punto della circonferenza (O, origine della curva) si tracci una retta che taglia la circonferenza nel punto A, di ascissa D-x e ordinata z.
Il punto P della retta, di ascissa x e ordinata y, è un punto della curva, che è così costruibile per punti, variando l'inclinazione della retta

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Vale allora (per la similitudine dei triangoli), la proporzione :
Ma se osserviamo il triangolo OAB (ovviamente rettangolo) vale, per il secondo teorema di Euclide, anche :
Abbiamo così proporzioni simili a quelle di Ippocrate:

Per applicare la cissoide al problema di Delo, costruiamo prima un semicerchio di diametro

Tracciamo su questo la cissoide (traccia verde) e una semiretta che dall'estremità del diametro passa ad un'altezza a sulla mezzeria.
Questa interseca la cissoide in un punto P

Tracciamo ora una seconda retta dall'origine della cissoide e passante per P.
Questa taglia la mezzeria all'altezza b (soluzione del problema).

Mathcad

Tutta la procedura vista è realizzabile con soli riga e compasso (pur non essendo in forma "canonica" in quanto richiede ili tracciamento per punti della cissoide, quindi non è una costruzione diretta).
Penso però che sia interessante "simulare" la procedura usufruendo delle possibilità offerte da un PC, dotato di adatto ambiente matematico come Mathcad.
Le due figure precedenti sono state sviluppate appunto in Mathcad, in particolare per il tracciamento della cissoide e per il calcolo dei risultati parziali della costruzione geometrica.
Si è supposto che il dato di partenza sia a=100, suddividendo la figura in N=2000 intervalli. Viene quindi tracciato un semicerchio di diametro , con l'equazione :
Dalle proporzioni di Diocle possiamo poi ricavare l'equazione della cissoide:

(Si noto che il termine 10 ^{− 9} serve ad evitare una divisione per zero. L'espressione è stata ricavata facendo il quadrato del primo termine della proporzione di Diocle, uguagliato al prodotto degli altri due)
La curva ricavata è la traccia verde nell'ultima figura.
Va ora tracciata la retta che va all'estremità del diametro passando per l'altezza a in mezzeria. La sua equazione è :
Questa retta taglia la cissoide in un punto P che individua y e x corrispondenti al primo rapporto.
In Mathcad, per trovare il punto d'intersezione di due curve, invece che ricorrere ad una manipolazione algebrica, è più comodo trovare l'indice n delle variabili che hanno lo stesso valore. Nel caso in esame l'indice è pari a 886 (che indicheremo con i).
Risulta che P ha coordinate .
Se ora tracciamo una seconda retta passante per l'origine e per P, intersechiamo la mezzeria del semicerchio all'altezza b, che è la soluzione del problema, come già stato detto.
L'equazione di questa seconda retta è allora :
Questa taglia la mezzeria del semicerchio (x₁₀₀₀) al valore
y2₁₀₀₀ = 125.989, che è il valore cercato, b.
Per confronto : .

Appendice

Fra i più interessanti metodi di soluzione "pratica" del problema adottati dagli antichi greci, ne cito uno che a mio avviso dimostra l'abilità di quei matematici, proprio per la sua "semplicità".
Con una riga e due squadre e il tracciamento di due assi perpendicolari, è infatti possibile determinare b, dato a.
La disposizione è questa:

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e il risultato è questo:

Si possono infatti costruire due triangoli retti, ABC e BCD, in cui valgono le seguenti relazioni (per il già citato teorema di Euclide):
, e :


Ponendo OA=a e OD=2a , si ottiene OB=b
cioè :
da cui, eliminando p, si ottiene b³ = 2a³.
Un capolavoro!