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Speravate sparissi eh!?

Invece eccomi qui ad assillarvi, con un nuovo raddrizzatore, il primordio dei raddrizzatori trifasi, forse il più elementare e tra l'altro quasi inutile se utilizzato solo. Infatti di solito questa configurazione elementare viene utilizzata come modulo di raddrizzatori ben più complessi. Ma non bruciamo le tappe e cominciamo a vedere questo tipo di circuiti.

Indice

1 Richiami sul sistema trifase
2 Raddrizzatore trifase a stella
3 Calcolo del valor medio di tensione per un generico α
4 Correnti al primario del trasformatore
5 Bibliografia

Richiami sul sistema trifase

Considerando un sistema trifase simmetrico ed equilibrato, le espressioni delle tensioni di fase risultano:

$v_A=\sqrt{2}V\sin (\omega t)$

$v_B=\sqrt{2}V\sin (\omega t-\frac{2}{3}\pi )$

$v_C=\sqrt{2}V\sin (\omega t-\frac{4}{3}\pi )$

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Come vedremo avranno un significativo ruolo anche le tensioni concatenate:

$v_{AB}=\sqrt{6}V\sin (\omega t+\frac{\pi}{6})$

$v_{BC}=\sqrt{6}V\sin (\omega t-\frac{\pi}{2})$

$v_{CA}=\sqrt{6}V\sin (\omega t-\frac{7}{6}\pi )$

Dove ovviamente il coefficiente $\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}$ proviene dalle relazioni che sussistono tra il valore efficace della tensione stellata con quello della concatenata e tra il valore efficace ed il valore massimo di una grandezza sinusoidale. Per quanto riguarda le fasi, io me ne vado ad occhio :), ovvero osservando il diagramma vettoriale, e vedendo che la concatenata è in anticipo di 30° rispetto alla relativa stellata, il gioco è fatto.
Scriviamo anche le espressioni delle tensioni opposte alle precedenti, e presto capiremo il perché:

$v_{BA}=\sqrt{6}V\sin (\omega t-\frac{5}{6}\pi)$

$v_{CB}=\sqrt{6}V\sin (\omega t+\frac{\pi}{2})$

$v_{AC}=\sqrt{6}V\sin (\omega t-\frac{\pi}{6} )$

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Un bel diagramma vettoriale per chiarire le idee:

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Raddrizzatore trifase a stella

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dove vediamo il solito trasformatore, di solito un triangolo-stella con neutro, per un paio di motivi:

Primario a triangolo, il cui compito è di ridurre le armoniche di corrente in rete (le terze armoniche ed i suoi multipli circolano solo nel triangolo);
Secondario a stella con neutro, perché ci serve il neutro.

Inoltre ricordiamo l'importanza del trasformatore ai fini della sicurezza, che assicura una separazione galvanica tra le reti di potenza. Ogni qualvolta un tiristore sarà in conduzione, sui due interdetti, vi sarà applicata una tensione concatenata:

$T_1\; \text {on}\rightarrow \begin{matrix} T_2 \\ T_3\end{matrix}\; \text {off} \rightarrow A\equiv P \rightarrow \left\{\begin{matrix}V_{T_2}=V_{BP}=V_{BA}\\ V_{T_3}=V_{CP}=V_{CA}\end{matrix}\right.$

$T_2\; \text {on}\rightarrow \begin{matrix} T_1 \\ T_3\end{matrix}\; \text {off} \rightarrow B\equiv P \rightarrow \left\{\begin{matrix}V_{T_1}=V_{AP}=V_{AB}\\ V_{T_3}=V_{CP}=V_{CB}\end{matrix}\right.$

$T_3\; \text {on}\rightarrow \begin{matrix} T_1 \\ T_2\end{matrix}\; \text {off} \rightarrow C\equiv P \rightarrow \left\{\begin{matrix}V_{T_1}=V_{AP}=V_{AC}\\ V_{T_2}=V_{BP}=V_{BC}\end{matrix}\right.$

Condizioni abbastanza semplici da valutare in quanto un SCR in conduzione rileva ai sui capi una c.d.t. talmente bassa che possiamo considerarlo un cortocircuito. Una prima analisi del circuito la facciamo considerando gli angoli di innesco naturali dei tiristori, ipotizziamo quindi di inviare ai gate l'impulso d'innesco nell'istante stesso in cui i tiristori siano polarizzati direttamente, consideriamo quindi il caso di

Angolo d'innesco α = 0° (o naturale)

Questo rappresenta anche il caso particolare in cui il raddrizzatore fosse costruito con diodi. Considerando che la Prima tensione concatenata a divenire positiva è $v A C$ , il tiristore $T 1$ sarà il primo tiristore a condurre. Ogni qual volta che un tiristore entra in conduzione, il circuito elementare da analizzare risulta essere sempre lo stesso, quello elementare (riporto solo il caso di $T 1$ , per rendere l'idea):

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questo significa che l'equazione alla maglia elementare sarà:

$T_1\; \text {on}\rightarrow v_A=\sqrt{2}V\sin \omega t=Ri_0+L\frac{\mathrm{di_0} }{\mathrm{d} t}$

ovviamente quando conducono $T 2$ e $T 3$ :

$T_2\; \text {on}\rightarrow v_B=\sqrt{2}V\sin (\omega t-\frac{2}{3}\pi )=Ri_0+L\frac{\mathrm{di_0} }{\mathrm{d} t}$

$T_3\; \text {on}\rightarrow v_C=\sqrt{2}V\sin (\omega t-\frac{4}{3}\pi )=Ri_0+L\frac{\mathrm{di_0} }{\mathrm{d} t}$

questo ci porta ad affermare che l'equazione della corrente nel suo periodo $T 0$ sarà sempre la stessa che ci ha accompagnato fin'ora:

$i_0=\frac{\sqrt{2}V}{Z}[\sin (\omega t-\alpha )-\sin (\alpha -\varphi )e^{-\frac{\omega t-\alpha }{\omega \tau }}]$

e ora qualcuno può avere da ridire: ma quest'espressione di corrente va bene finché è $T 1$ a condurre; infatti se conducessero $T 2$ e $T 3$ , l'espressione della corrente sarebbe diversa, diciamo che mancherebbe qualche angolo. Io risponderei all'attento lettore che ha perfettamente ragione, ma aggiungerei che quell'espressione ci serve per trovare un valor medio di corrente, e che quindi andrebbe integrata nei sui estremi, e l'intervallo di integrazione, qualunque fossero gli estremi, è sempre di 120°, il che ci porterebbe comunque allo stesso risultato. Complimenti all'attento lettore, e andiamo avanti :) L'innesco dei tiristori avviene nel seguente ordine:

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dove le linee nere indicano l'istante di polarizzazione positiva del tiristore, mentre le frecce rosse il loro innesco. L'andamento della corrente sarà il seguente:

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Mentre la tensione sul carico è ricavabile attraverso un semplice ragionamento, lo stesso fatto per i casi precedenti: se scrivessimo l'equazione alla maglia elementare, considerando ad esempio $T 1$ in conduzione (rifacciamoci quindi all'ultimo circuito), avremmo:

$v_A=v_{T_1}+v_0$

ed essendo trascurabile la c.d.t. ai capi del tiristore:

$v_A=v_0\rightarrow T_1\; \text {on}$

analogamente quando conducono $T 2$ e $T 3$ :

$v_B=v_0\rightarrow T_2\; \text {on}$

$v_C=v_0\rightarrow T_3\; \text {on}$

ed ecco pronto il suo andamento:

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Angolo d'innesco α = 30°

Valutiamo adesso il caso in cui inneschiamo il tiristore 30° dopo la sua polarizzazione. Gli angoli d'innesco quindi stavolta saranno, per $T 1$ 60°, per $T 2$ 180° e infine per $T 3$ 300°. Rappresentiamo a cascata l'ordine temporale degli inneschi, la corrente e la tensione sul carico:

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Notiamo come per $α$ non nullo, la tensione sul carico presenta anche valori nulli, con discontinuità più accentuate rispetto al caso precedente. Come al solito risulterebbe interessante osservare la forma d'onda di tensione che vi è sui tiristori, ad esempio $T 1$ , e per farlo seguiamo un ragionamento abbastanza semplice: soffermiamoci su $V_{T_1}$ e cerchiamo di capire quanto vale ogni qualvolta uno dei tre tiristori è in conduzione. I più attenti avranno notato che una piccola tabella è già stata fatta qui, e se consideriamo che un tiristore in conduzione ha una c.d.t. quasi nulla ai sui capi, possiamo così riassumere la tensione su $T 1$ :

$T_1\; \text {on}\rightarrow V_{T_1}=0$

$T_2\; \text {on}\rightarrow V_{T_1}=V_{AB}$

$T_3\; \text {on}\rightarrow V_{T_1}=V_{AC}$

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Angolo d'innesco α = 60°

Questa volta i tiristori verranno innescati in corrispondenza dei seguenti angoli: $T 1$ a 90°, $T 2$ a 210° e infine $T 3$ a 330°

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La tensione sul carico presenta una discontinuità maggiore, e in questo caso assume anche valori negativi, anche se mediamente nel suo periodo tale tensione sarà positiva, vedremo tra un po il calcolo della tensione media sul carico. Riportiamo anche la tensione sul tiristore $T 1$ , i cui valori, durante la conduzione dei tre tiristori, sono ben noti.

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E' evidente che nonostante l'andamento sia diverso per ogni valore di α, è bene adottare componenti capaci di sostenere tensioni di break-down di almeno $\sqrt{6}V$

Calcolo del valor medio di tensione per un generico α

Senza troppe parole, dobbiamo integrare nel suo periodo, la tensione sul carico:

$V_m=\frac{1}{T_0}\int_{(T_0)}^{ } v_0dt=\frac{1}{T_0}\int_{\frac {\pi}{6}+\alpha }^{\frac {\pi}{6}+\alpha +\frac {2}{3}\pi} \sqrt{2}V\sin \omega tdt$

Passiamo dal tempo ai radianti, e portiamo fuori le costanti:

$V_m=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}\int_{\frac {\pi}{6}+\alpha }^{\frac{5}{6}\pi +\alpha } \sin (\omega t)d(\omega t)$

$V_m=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}\left [ -\cos \omega t \right ]_{\frac {\pi}{6}+\alpha }^{\frac{5}{6}\pi +\alpha }=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}\left [ -\cos (\frac{5}{6}\pi +\alpha )+\cos (\frac{\pi }{6}+\alpha ) \right ]$

Ora un po di trigonometria: $cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$ , che ci permette di riscrivere l'espressione precedente:

$V_m=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}(\cos \frac{\pi }{6}\cos \alpha -\sin \frac{\pi }{6}\sin \alpha -\cos \frac{5}{6}\pi \cos \alpha +\sin \frac{5}{6}\pi \sin \alpha )$

ovvero:

$V_m=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha -\frac{1}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha )=\frac{\sqrt{2}V}{\omega T_0}\sqrt{3}\cos \alpha$

Prima di andare avanti, definiamo il numero di impulsi di questo raddrizzatore:

$n_p=\frac{T}{T_0}=3$

e detto questo possiamo effettuare qualche sostituzione:

$\omega =\frac{2\pi }{T}\rightarrow \omega T=2\pi$

$T=3T_0\rightarrow 3\omega T_0=2\pi \rightarrow \omega T_0=\frac{2\pi}{3}$

quindi:

$V_m=\frac{3\sqrt{6}V}{2\pi }\cos \alpha$

dove imponendo il valore (per α=0):

$\frac{3\sqrt{6}V}{2\pi }=V_{m0}$

diventa:

$\begin{matrix}V_m=V_{m0}\cos \alpha \end{matrix}$

e ritroviamo nuovamente la tensione media sul carico totalmente dipendente da α.

Correnti al primario del trasformatore

Abbiamo esordito dicendo che questo raddrizzatore è poco usato, perché ha degli inconvenienti. La più grande falla che il dispositivo ha riguarda le correnti richiamate al primario del trasformatore. Abbiamo sicuramente notato come le correnti di ogni fase attraversino il carico sempre nella stessa direzione; le stesse correnti (a meno di un fattore di scala rappresentato dal rapporto di trasformazione), interesseranno il primario del trasformatore. La situazione che viene a crearsi è la seguente (supponiamo il caso α=60°):

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Abbiamo correnti unidirezionali, e questo non è sicuramente il modo migliore per far lavorare il trasformatore: il ciclo d'isteresi si chiude in un punto diverso dall'origine degli assi H-B, con l'alta probabilità di lavorare in saturazione. Le perdite in questa condizione non saranno accettabili. Come anticipato questo raddrizzatore è utilizzato come componente elementare di raddrizzatori più complessi (ad esempio il doppia stella), che spero un giorno di illustrarvi. Per il momento saluto tutti, interessati e non. Alla prossima belli ;)

continua...

Bibliografia

Appunti di elettronica di potenza.

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Raddrizzatori, atto "trifase"

Indice

Richiami sul sistema trifase

Raddrizzatore trifase a stella

Angolo d'innesco α = 0° (o naturale)

Angolo d'innesco α = 30°

Angolo d'innesco α = 60°

Calcolo del valor medio di tensione per un generico α

Correnti al primario del trasformatore

Bibliografia

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