Spesso capita di dover "cambiare" sistema di riferimento, la traslazione non è particolarmente complicata, ma,al contrario la rotazione degli assi non risulta molto intuitiva.

Dopo un breve ripasso ho pensato che magari potesse essere di aiuto a qualcuno e ho deciso di appuntarlo quì. Cominciamo.

Dato un sistema di riferimento cartesiano che nello schema ho indicato con lettere corsive maiuscole OXY (in nero) si immagini di ruotarlo di un angolo α in senso antiorario (angolo positivo):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

N.B. con le lettere maiuscole si è indicato il nome degli assi, mentre con quelle minuscole si sono indicate le coordinate del punto P (nei due sistemi di riferimento). Data la seguente costruzione:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il segmento hx è dato da:

hx = x'cos(α)

mentre il segmento oh è dato da:

oh = y'sin(α)

Il segmento ox, che altro non è che l'ascissa x è dato da:

x = oh − hx = y'sin(α) − x'cos(α)

Tale relazione lega i due sistemi di riferimento. Analogamente calcoliamo l'ordinata y mediante la seguente costruzione:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il semento by è dato da:

by = x'sin(α)

mentre il segmento ob è dato da:

ob = y'cos(α)

da cui si ha:

y = ob + by = y'cos(α) + x'sin(α)

Riassumendo:

x = y'sin(α) − x'cos(α)

y = y'cos(α) + x'sin(α)

Tali equazioni prmettono di ricavare le coordinate (x,y) conoscendo (x',y') e α. Se si conoscono (x,y) e si vogliono ottenere le coordinate (x',y') basta cambiare il segno dell'angolo.

Ragionando in termini di "trasformazioni lineari", i due sistemi di riferimento sono entrambi basi vettoriali nello stesso spazio, dunque è possibile trovare una funzione lineare che li lega. Data tale remessa è possibile scrivere quanto segue:

Spero sia utile a qualcuno.

Matteo