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Quattro esercizi sull'asincrono

Indice

Abstract

Proponiamo la soluzione di quattro esercizi sul motore asincrono, pervenuti in tempi diversi in redazione. Non siamo una struttura per lezioni private, quindi non è una risposta in tempo reale, però cogliamo l'occasione per farne articoli che aumentino i contenuti di ElectroYou.
Gli esercizi sono relativi ai flussi di potenza attiva dalla linea all'albero motore, al calcolo delle coppie, alla determinazione ed all'uso del circuito equivalente.

Es. 1: flussi di potenza dalla linea all'albero motore

Flussi di potenza in un motore asincrono

Flussi di potenza in un motore asincrono

Di un motore asincrono trifase sono note:

  • Tensione nominale: U_n=400 \,\text{V}
  • frequenza: f=50 \,\text{Hz}
  • corrente nominale: I_n=227 \, \text{A}
  • fattore di potenza nominale: cosφn = 0,89
  • perdite meccaniche: P_{mp}=0,9 \, \text{kW}
  • perdite nel ferro: P_{fp}=0.9 \, \text{kW}
  • perdite nel rame di statore: P_{ep1}=3.8 \,\text{kW}
  • perdite nel rame di rotore: P_{ep2}=2.4 \, \text{kW}

Trascurando le perdite addizionale, determinare:

  1. la potenza trasferita elettromagneticamente da statore a rotore
  2. la potenza convertita da elettrica in meccanica
  3. la potenza meccanica resa
  4. il rendimento
  • La potenza elettrica assorbita dalla rete è

P_{e}=\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I \cdot \cos \phi = \sqrt 3 \times 400 \times 227 \times 0,89 =140 \, \text{kW}

  • La potenza trasmessa elettromagneticamente al rotore è


P_t=P_e - P_{ep1}-P_{fp}=140-3,8-0,9=135,3 \,\text{kW}


  • La potenza convertita da elettrica in meccanica è


P_{em}=P_t-P_{ep2}=135,3-2,4=132,9 \,\text{kW}


  • La potenza meccanica è


P_m=P_{em}-P_{mp}=132,7-0,9=132 \, \text{kW}


  • il rendimento vale


\eta=\frac{P_m}{P_e}=\frac {131,6}{140}=0,94


Es.2: Coppia e potenza

Un motore asincrono trifase alimentato a Un=380 V, f=50 Hz, fornisce 5 kW di potenza meccanica utile a una velocità di 1440 g/m. Il rendimento è η = 0,72 ed il f.d.p cosφ = 0,8. Determinare:

  1. perdite complessive
  2. potenza assorbita
  3. corrente assorbita
  4. coppia resa


Potenza assorbita


P_{ass}=\frac {P_{mecc}}{\eta} =\frac {5}{0,72}=6,944 \, \text{kW}

Perdite complessive


Pp = Pass − Pmecc = 6.944 − 5.000 = 1.944W

Corrente assorbita


I_{ass}=\frac {P_{ass}}{\sqrt{3} \cdot U_n \cdot \cos \phi}=\frac {6944}{\sqrt{3} \times 380 \cdot 0,8}=13,2 \, \text{A}

Coppia resa


C=60 \cdot \frac {P_{mecc}}{2 \pi n}=60 \times \frac {5.000}{2 \pi 1.440}=33,2 \, \text{N m}


Script Scilab 

Pmecc= 5;
Un=380;
f=50;
eta=0.72;
fp=0.8
n=1440;

Pass=Pmecc/eta
Ppersa=Pass-Pmecc
Iass=1000*Pass/(Un*fp*sqrt(3))
C=1000*60*Pmecc/(2*%pi*n)

Es.3: Coppia, potenza, rendimento

Un motore asincrono trifase quadripolare, f= 50 Hz, Pn=7,5 kW, funziona alla potenza nominale con uno scorrimento s%=4,5% e 250 W di perdite meccaniche. Assorbe una corrente I=16 A ed ha un rendimento dell'83%. La tensione nominale è 400 V.

Calcolare:

  1. coppia nominale
  2. coppia trasmessa
  3. fattore di potenza

La coppia nominale è il rapporto tra la potenza nominale e la velocità angolare nominale. Quest'ultima è data da

\omega_n=\omega_0 \cdot (1-s)

con

\omega_0=2 \pi \frac f p = 2 \pi \times \frac {50}{2}=157 \, \frac {\text{rad}}{\text{s}}

quindi

\omega_n= 157 \cdot (1-0,045)=150 \, \frac {\text{rad}}{\text{s}}

C_n=\frac {P_n}{\omega_n}=\frac {7500}{150}=50 \,\text{N m}

La coppia nominale resa differisce da quella trasmessa per la coppia di attrito legata alle perdite meccaniche. Si ha perciò

C_T=C_n+C_a=C_n+\frac{perdite}{\omega_n}=50+\frac{250}{150}=51,7 \,\text{N m}

Il fattore di potenza è dato dalla potenza assorbita diviso la potenza apparente del motore, cioè il prodotto della tensione per la corrente e per la radice quadrata di tre, essendo trifase.

\cos \phi=\frac {P_{ass}}{\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I}

P_{ass}=\frac {P_n}{\eta}=\frac {7500}{0,83}=9.036 \, \text{W}

\cos \phi=\frac {9036}{\sqrt 3 \times 400 \times 16 }=0,83


Es.4: determinazione e uso del circuito equivalente

Di un motore asincrono quadripolare si conoscono:

  • Un=400 V
  • f= 50 Hz
  • Pn=22 kW
  • nn=1470 rpm
  • In=41 A


Prova a vuoto

  • I_0=14 \, \text{A}
  • P_0=600 \, \text{W}

Prova a rotore bloccato

  • U_{cc}=102 \, \text{V}
  • P_{cc}=1500 \,\text{W}

Determinare

  • Coppia nominale
  • il circuito equivalente semplificato
  • la coppia massima
  • la coppia di avviamento
  • rendimento e fattore di potenza nominali
  • potenza e coppia erogata alla velocità di 1485 rpm

NB: si trascurino le perdite addizionali

Osservazioni sulle domande

Per la determinazione del circuito equivalente semplificato non ci sono particolari problemi, bastando le misure delle prove a vuoto ed in cortocircuito. Occorre però osservare che non tutti i motori asincroni possono essere rappresentati con questo semplice schema. Ne sono un esempio i motori a doppia gabbia od a gabbia semplice con sbarre profonde.

Per calcolare le coppie richieste però occorre almeno un'ipotesi supplementare che permetta di stabilire il valore della resistenza di un avvolgimento di statore R1, che dovrebbe essere fornito con i dati.

Coppia nominale

C_n = \frac{{P_n }}{{2\pi n_n}}60 = \frac{{22.000}}{{0,105 \times 1470}} = 142 \, \text{N m}


Circuito equivalente semplificato

Parametri trasversali

R_0=\frac {U_n^2}{P_0}=\frac {400^2}{600}=267 \, \Omega

Q_0=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I_0)^2-P_0^2}=\sqrt{(\sqrt 3 \times 400 \times 14)^2-600^2}=9681 \, \text{var}

X_0=\frac {U_n^2}{Q_0}=\frac {400^2}{9681}=16,5 \Omega

Parametri longitudinali

R_{eq}=\frac {P_{cc}}{3 \cdot I_n^2}=\frac {1500}{3 \times 41^2}=0,297 \, \Omega

Q_{cc}=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot U_{cc} \cdot I_n)^2-P_{cc}^2}=\sqrt{(\sqrt 3 \times 102 \times 41)^2-1500^2}=7086 \, \text{var}

X_{eq}=\frac {Q_{cc}}{3 \cdot I_n^2}=\frac {7086}{3 \times 41^2}=1,4 \, \Omega


Coppia massima

La formula della coppia massima è

C_M = \frac{{U_n^2 }}{{2 \cdot \Omega _0 \cdot Z \cdot \left( {1 + \frac{{R_1 }}{Z}} \right)}}

\Omega_0=2 \pi \cdot \frac {n_0}{60}=0,105 \times 1500=157,5 \frac {\text{rad}}{\text{s}}

Z=\sqrt{R_1^2+X_{eq}^2}

R1 è la resistenza di statore che ipotizzeremo i due terzi della Req

R_1=2 \cdot \frac {R_{eq}}{3}=2 \cdot \frac {0,297}{3}=0,198 \, \Omega

Z=\sqrt{0,198^2+1,4^2}=1,42 \, \Omega

C_M = \frac{{400^2 }}{{2 \cdot 157,5 \times 1,42 \times \left( {1 + \frac{{0,198 }}{1,42}} \right)}}=315 \, \text{N m}

Coppia di avviamento

C_a \cong \frac{{U_n^2 }}{{\Omega _0 \cdot Z}} \cdot R_{12} = \frac{{400^2 }}{{157,5 \times 1,42}} \times \left( {\frac{{0,297}}{3}} \right) = 71 \, \text{N m}

Rendimento e fattore di potenza nominali

P_{ass}=P_n+P_0+P_{cc}=22.000+600+1500=24.100 \, \text{W}

\eta=\frac {P_n}{P_{ass}}=\frac {22}{24,1}=0,91

\cos \phi=\frac {P_{ass}}{\sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_n}=\frac {24.100}{\sqrt{3} \times 400 \times 41}=0,85


Potenza e coppia a n=1485 rpm

s=\frac {n_0-n}{n_0}=\frac {15}{1500}=0,01

R_{12}=R_{eq}-R_1=0,297-0,198=0,099 \, \Omega

R_{12} \cdot \frac {1-s}{s}=0,099 \cdot 99 =9,81 \, \Omega

Z_s = \sqrt {\left( {R_{eq} + R_{12} \cdot \frac{{1 - s}}{s}} \right)^2 + \left( {X_{eq} } \right)^2 } = \sqrt {\left( {9,9} \right)^2 + 1,4^2 } = 10,2 \, \Omega

I_{12,s}= \frac{{\frac{{U_n }}{{\sqrt 3 }}}}{{Z_s}} = \frac{{230}}{{10,2}} = 22,6 \, \text{A}

P_m = 3 \cdot R_{12} \cdot \frac{{1 - s}}{s} \cdot I_{12} ^2 (s) = 3 \times 9,81 \cdot 22,6^2 = 15.065 \, \text{W}

C = \frac{{P_m }}{{2\pi n}}60 = \frac{{15065}}{{0,105 \times 1485}} = 97 \, \text{N m}

Script Scilab per i calcoli 

//dati del circuito

txt=['Tensione nominale (V) : Un=';'frequenza (Hz): f=';'Potenza nominale (kW) Pn=';'velocità nominale (rpm) nn=';'Corrente nominale (A) In=';'velocità di impiego (rpm) n=';'Corrente a vuoto (A) I0=';'Potenza a vuoto (W) P0=';'Tensione a rotore bloccato (V) Ucc=';'Perdite a rotore bloccato (W): Pcc='];
dati=evstr(x_mdialog('Dati esercizio',txt,['400';'50';'22';'1470';'41';'1485';'14';'600';'102';'1500']));


Un=dati(1); // V
f= dati(2); //Hz
Pn=dati(3);// kW
nn=dati(4); // rpm
In=dati(5); // A

n=dati(6);

//Prova a vuoto

I0=dati(7); //A
P0=dati(8); //W 

//Prova a rotore bloccato

Ucc=dati(9); // V
Pcc=dati(10);//W

R0=Un^2/P0;
S0=sqrt(3)*Un*I0;
Q0=sqrt(S0^2-P0^2);
X0=Un^2/Q0;
Req=Pcc/(3*In^2);
Scc=sqrt(3)*Ucc*In;
Qcc=sqrt(Scc^2-Pcc^2);
Xeq=Qcc/(3*In^2);
R1=2*Req/3;
R12=Req-R1;
Z=sqrt(R1^2+Xeq^2);
p=int(60*f/nn);
n0=60*f/p;
w0=2*%pi*n0/60;
Cm=Un^2/(2*w0*Z*(1+R1/Z));

wn=2*%pi*nn/60;
Cn=1000*Pn/wn;

Ca=R12*Un^2/(w0*Z);

Pass=Pcc+P0+1000*Pn;
eta=1000*Pn/Pass;
fpn=Pass/(sqrt(3)*Un*In);
w=2*%pi*n/60;
s=(n0-n)/n0;
R12s=R12*(1-s)/s;
Zs=sqrt((Req+R12s)^2+Xeq^2);
I12s=(Un/sqrt(3))/Zs;
P=3*R12s*I12s^2;
C=P/w;

print(%io(2),C,P,fpn,eta,Ca,Cm,Z,R12,R1,Xeq,Req,X0,R0,Cn);

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Commenti e note

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di ,

salve a tutti...ho un dubbio riguardo il calcolo di Ro nei parametri trasversali nell' ultimo esercizio. Perchè non moltiplichiamo il numeratore per 3? E' possibile calcolare, in generale, tale resistenza come rapporto di Zo/sen(fo?)? mi correggo : Zo/cos(fo)

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di ,

ok...chiarissimo. ma io ho preso un motore di cui conosco la R1 solo per vedere se i miei calcoli son esatti. generalmente il costruttore non ci da questo dato.

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di ,

Nei motori a doppia gabbia o a barre profonde ci sono, come detto, valori molto diversi delle resistenze e reattanze di rotore al variare dello scorrimento. Considerando costante, come è praticamente in effetti, la resistenza R1 di statore del circuito equivalente semplificato, a regime la resistenza di rotore riportata allo statore è dell'ordine di grandezza della R1; la reattanza cinque sei volte R1; allo spunto R12 è invece abbastanza maggiore, qualche volta la resistenza di statore; la reattanza invece inferiore, circa tre volte la resistenza di statore. Quindi tu, conoscendo la resistenza di statore devi fare l'inverso di ciò che stai facendo, cioè, in base alla resistenza di statore determinare il valore della R12. Ovviamente i "multipli" che ti ho fornito sono solo un'indicazione grossolana. Per conoscerli occorre che sia il costruttore a fornire tali dati, oppure bisogna ricavarli da misure.

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di ,

sto sicuramente sbagliando qualcosa perchè in tutti i calcoli che ho provato a fare R1 calcolata (es 0,81 ohm) è sempre di un ordine di grandezza più piccola di quella ottenuta dalle prove pratiche sul motore (es 2,78 ohm), pur parlando sempre di parametri della stella (1/3 di quelli del triangolo che di solito sono quelli che si trovano nelle prove pratiche perchè più facilmente ottenibili se il centro stella non è accessibile)

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di ,

si intendo quella! che poi è R1 in questo esercizio... ricavati Req e Z dai calcoli che ho scritto nel 3° messaggio...ho usato l'approssimazione utilizzata in questo esercizio, ovvero che R1=Req*2/3

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di ,

Ma per resistenza statorica intendi proprio quella dell'avvolgimento di statore? Che calcoli hai fatto per determinarla?

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di ,

si lo terrò presente...però credo che la resistenza statorica dovrebbe tornarmi lo stesso!

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di ,

Tieni presente che lo stesso discorso del doppia gabbia vale anche per la gabbia semplice a barre profonde.

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di ,

Questi motori son sicuramente a gabbia semplice: son piccoli, max 20kW, e da quel che so a queste potenze non si usa fare la doppia gabbia. Grazie del consiglio: è quello che ho fatto! ho utilizzato le formule di Cavv (utilizzando però la as.37 trovata nella pagina delle formule dell'asincrono) e Cmax per ricavare Z e R12 (supponendo R12=Req/3). Tuttavia i risultati che ottengo nn mi sembrano convincenti. ad esempio ho utilizzato come verifica un motore di cui ho tutti i dati (4Kw 400V 1440giri/min 27Nm) che risulta avere una resistenza statorica da 2,78 ohm, mentre dai miei calcoli viene 0,82 ohm.....anche considerando il delta di temperatura non è accettabile come risultato! credo non mi resti che ricontattare il fornitore per chiedergli più dati... grazie di tutto sei stato gentilissimo! PS: vi conosco da poco ma sto diventando un vostro assiduo frequentatore! PPS: scusa se oggi ho postato 2 volte lo stesso messaggio ma ho il mouse mezzo rotto al lavoro!

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di ,

I dati non si possono inventare. In un motore a doppia gabbia la resistenza di rotore all'avviamento è nettamente superiore a quella del rotore a regime. Anche la reattanza varia. Come circuito equivalente si può mantenere il solito, ma in esso R12 ed X12 non sono costanti, ma funzioni dello scorrimento. Ad esempio, riferendoci all'esercizio 4, e supponendo che sia un doppia gabbia, la R12 considerata è quella a regime e corrisponde alla resistenza della gabbia interna. Però per calcolare correttamente la coppia di avviamento devi avere la R12 della gabbia esterna, molto più elevata. Puoi ricavarla applicando la formula in modo inverso: invece di calcolare la coppia di avviamento, che conosci, calcoli la resistenza R12.

Rispondi

di ,

uhm...meglio che ti spiego il mio problema allora: il motorista a cui ci stiamo rivolgendo ci ha dato ancora meno dati!! purtroppo devo devo cercare di farmeli bastare per cercare di ricavare le resistenze e le induttanze statoriche e rotoriche perchè mi servono per poi simulare dinamicamente il motore con simulink... sicuramente il motore è a gabbia e gli altri dati di cui dispongo sono Coppia massima, nominale e di spunto, tensione, potenza, cosf, rendimento, frequenza, scorrimento. non ho nessun dato sulle prove a vuoto e in c.to c.to. ho provato a ricavarmi Req e Z partendo dalle equazioni di Cmax e Cavv (facendo la semplificazione su R1 e R12) ma naturalmente non mi torna nulla perchè la mia coppia di avviamento è circa 2.5 volte la nominale.... hai dei consigli su come procedere? grazie!!

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di ,

Il calcolo è quello. E' che del motore non è specificato granché, in effetti. Possiamo considerarlo un motore con rotore avvolto, che prevede il reostato di avviamento per aumentare la coppia. I motori a gabbia ed a doppia gabbia si costruiscono invece in modo tale da avere coppie di avviamento già più elevate, fino a 3 volte la nominale (classi A,B,C,D).

Rispondi

di ,

Salve, nell'esercizio n.4 non mi torna il calcolo della coppia d'avviamento! so che di solito è circa 2,5 volte la coppia nominale mentre qui viene addirittura la metà di quella nominale....dove sbaglio?

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