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Alcuni esercizi sulle linee con carichi distribuiti

Indice

Abstract

Sono proposti alcuni esercizi per illustrare numericamente i metodi descritti nell'articolo: Linee con carichi distribuiti. Spero sia un ulteriore aiuto a Sebago che ha deciso di usare quell'articolo per una lezione ai suoi allievi (vedi commenti). Contemporaneamente confido in lui per la segnalazione di imprecisioni od errori ;-). Saranno dimensionate dunque linee a sbalzo in corrente continua ed in alternata e linee ad anello od alimentate alle estremità. Gli spunti per gli esercizi sono tratti dal testo del 1976, mostrato nella bibliografia

Linee a sbalzo

In corrente continua

Una linea in rame alimenta, alla tensione continua di 220 V, tre carichi che assorbono le correnti I1, I2, I3 e che distano dalla partenza rispettivamente l1, l2, l3. Determinare la sezione affinché la massima caduta di tensione percentuale sia del 4%.

I_1=20 \text {A} \, , \, I_2=40 \text {A} \, , \, I_3=15 \, \text{A}

l_1= 20 \, \text {m} \, , \, l_2=70 \, \text {m} \, , \, l_3=100 \, \text {m}

\rho=0,021 \, \frac {\Omega \text{mm}^2}{\text {m}}

La sezione si calcolerà con la formula (1) dell'articolo citato

S = \frac{\rho }{\varepsilon }\sum\limits_{r = 1}^3 {l_r \cdot I_r } = \frac{\rho }{\varepsilon } \cdot \left( {l_1 \cdot I_1 + l_2 \cdot I_2 + l_3 \cdot I_3 } \right)

dove

\varepsilon = \frac {V_A - V_B }{2}

con V_A= 220 \, \text{V}

e

V_A - V_B = \frac{4}{100} \cdot V_A = 0,04 \times 220 = 8,8{\rm{V}}

Quindi

\varepsilon = \frac{{8,8}}{2} = \, \text{V}

e

S = \frac{{0,021}}{{4,4}} \times \left( {20 \times 20 + 70 \cdot 40 + 100 \cdot 15} \right) = 22,4 \, \text{mm}^2 \Rightarrow 25 \, \text {mm}^2

In corrente alternata

Determinare la sezione per la linea trifase di figura in media tensione U_n= 15 \, \text{kV} i cui conduttori, in corda di alluminio crudo, con resistività \rho=0,029 \frac {\Omega \cdot \text {mm}^2}{\text {m}}, sono disposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato 800mm. La massima caduta di tensione ammessa è Δumax = 2,5%. NB: Per la scelta della sezione commerciale usare la tabella riprodotta).


Linea trifase 15 \text{kV}

Linea trifase 15 \text{kV}

Supponiamo che la reattanza unitaria sia X_U=0,36 \frac {\Omega}{\text{km}}.

Pertanto la caduta massima dovuta alle componenti reattive è


\begin{array}{l} \varepsilon _r = \sqrt 3 \cdot X_u \cdot \sum\limits_{r = 1}^3 {\lambda _r \cdot I_r } \cdot \sin \varphi _r = \\ = \sqrt 3 \times 0,36 \times \left( \begin{array}{l} 16 \cdot 2 \times \left( {\sqrt {1 - 0,8^2 } } \right) + 25 \times 5 \times \left( {\sqrt {1 - 0,9^2 } } \right) \\ + 20 \times 10 \times \left( {\sqrt {1 - 0,92^2 } } \right) \\ \end{array} \right) = \\ = 0,606 \times \left( {32 \times 0,6 + 125 \times 0,435 + 200 \times 0,392} \right) = 95{\rm{ }}V \\ \end{array}

Nota: ricordare che per determinare la caduta di tensione concatenata occorre moltiplicare la caduta su un filo per la radice quadrata di tre.

La caduta massima ammessa è

\varepsilon = \frac{{2,5}}{{100}} \times 15000 = 375{\rm{V }}

quindi la caduta ammessa per le componenti attive è

\varepsilon _a = \varepsilon - \varepsilon _r = 375 - 95 = 280{\rm{V }}

La sezione allora è data da

\begin{array}{l} S = \sqrt 3 \frac{\rho }{{\varepsilon _a }} \cdot \sum\limits_{r = 1}^3 {\lambda _r \cdot I_r } \cdot \cos \varphi _r = \\ = \frac{{29}}{{280}}\left( {2 \times 16 \times 0,8 + 5 \times 25 \times 0,9 + 10 \times 20 \times 0,92} \right) = 60,6{\rm{ mm}}^2 \Rightarrow 70 \text{mm}^2 \\ d = 10,7 \text{mm} \\ \end{array}

Il diametro, ricavato dalla tabella sottostante) ci permette ora di verificare la reattanza (Per la formula vedere questa pagina)

\begin{array}{l} X_U = \omega L = 314 \cdot \left( {0,05 + 0,46 \times \log \frac{{2D}}{d}} \right) \times 10^{ - 3} = \\ = 0,314 \times \left( {0,05 + 0,46 \times \log \frac{{1600}}{{10.7}}} \right) = 0,330\frac{\Omega }{{\text {km}}} \\ \end{array}

che risulta inferire a quella ipotizzata. La sezione è perciò idonea.

Corda di Alluminio crudo per linee aeree

Estratto tabella CEI-UNEL 01435 (dal testo citato nella bibliografia)

Estratto tabella CEI-UNEL 01435 (dal testo citato nella bibliografia)

Nota: Grandezza \Rightarrow Sezione nominale / N. fili

Linee alimentate da due punti

In corrente continua

Una linea in continua lunga l=2 \, \text{km} è alimentata alle due estremità A e B con una tensione V_A=V_B = 220 \, \text{V}. Tre carichi assorbono le correnti I_1= 30 \, \text{A} \, , \, I_2= 10 \, \text{A} \, , \, I_3= 50 \, \text{A} rispettivamente alla distanza l_1= 400 \, \text{m} \, , \, l_2= 1000 \, \text{m} \, , \, l_3= 1600 \, \text{m}. La massima caduta di tensione ammessa è ΔVmax% = 10%. Si calcoli la sezione.

La sezione di taglio cade nel carico 2. Infatti è

I_B = \frac{1}{l}\sum\limits_{r = 1}^3 {\lambda _r } \cdot I_r = \frac{1}{2}\left( {30 \times 0,4 + 50 \times 1 + 10 \times 1,6} \right) = 39{\rm{ }}A

I_A = \left( {30 + 50 + 10} \right) - 39 = 51{\rm{A }}

Il carico 2 può allora essere suddiviso in due parti: un carico di I_{2,A}=21 \, \text{A} ed una I_{2,B}=29 \, \text{A}. La linea ad anello si spezza allora nelle due linee a sbalzo, come mostrato in figura. La sezione va dimensionata considerando una qualsiasi delle due

La caduta massima ammessa per un filo fini alla sezione di taglio è


\begin{array}{l} \Delta V_{Max} = \frac{10}{{100}} \times 220 = 22{\rm{ V}} \\ \varepsilon = \frac{{\Delta V_{Max} }}{2} = \frac{{22}}{2} = 11{\rm{V }} \\ \end{array}

quindi, con il primo tronco si ha

S = \frac{{0,02}}{11} \times \left( {30 \times 400 + 21 \times 1000} \right) = 60 \Rightarrow 70{\rm{ }}mm^2

idem con il secondo ovviamente

S = \frac{{0,02}}{11} \times \left( {10 \times 400 + 29 \times 1000} \right) = 60 \Rightarrow 70{\rm{ mm}}^2


Dimensionare la linea ad anello di figura in corrente continua ammettendo una caduta di tensione massima del ΔVmax = 3% e considerando una resistività del rame \rho=0,0195 \frac {\Omega \cdot \text {mm}^2}{\text{m}}.

linea ad anello

linea ad anello

La lunghezza dell'anello è l=102 \, \text {m}

Determiniamo la sezione di taglio

I_B = \frac{1}{l}\sum\limits_{r = 1}^8 {\lambda _r \cdot I_r }
I_B= \frac{1}{{102}}(12 \times 7 + 10 \times 15 + 7 \times 30 + 9 \times 51 + 11 \times 59 + \quad + 9 \times 66 + 11 \times 81 + 8 \times 92) = 37 \, \text{A}

I_A = \sum\limits_{r = 1}^8 {I_r } - I_B = 77 - 37 = 40 \, \text {A}

Essa dunque cade immediatamente in corrispondenza del quinto carico che si può suddividere in due carichi, rispettivamente di 2 e 9 A, che costituiscono la fine del tronco alimentato dalla corrente IA ed IB.

Posto

\varepsilon = \frac{{\Delta V_{\max } }}{2} = \frac{3}{{100}} \times 220 \cdot \frac{1}{2} = 3,3 \, \text {V}

la sezione si calcola con riferimento al primo tronco in cui è suddiviso l'anello, illustrato in figura

Primo tronco

Primo tronco

S = \frac{{0,0195}}{{{\rm{3}}{\rm{,3}}}} \times \left( {12 \times 7 + 10 \times 15 + 7 \times 30 + 9 \times 51 + 2 \times 59} \right) = 6 \, \text{mm}^2

In corrente alternata

Dimensionare la linea trifase di figura alimentata alle estremità con tensioni uguali in modulo e fase, costituita da conduttori in corda di rame crudo, i cui dati dimensionali sono nella tabella riportata, disposti ai vertici di un quadrilatero di lato 1,5 m. La massima caduta di tensione ammessa è \varepsilon= 1000 \, \text{V}. Si consideri una resistività \rho=0,02 \frac {\Omega \text {mm}^2}{\text{m}}

Linea trifase alimentata alle due estremità

Linea trifase alimentata alle due estremità

Individuiamo la sezione di taglio determinata dalle componenti reattive: dapprima calcoliamo la corrente reattiva proveniente da B

\begin{array}{l} I_{Bb} = \frac{{\sum\limits_{r = 1}^3 {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \sin \varphi } }}{{l_{AB} }} = \\ = \frac{{\left( {6 \times 20 \times \sqrt {1 - 0,8^2 } + 10 \times 70 \times \sqrt {1 - 0,6^2 } } \right)}}{{20}} = 31,6{\rm{ A}} \\ \end{array}

quindi quella proveniente da A

\begin{array}{l} I_{Ab} = \sum\limits_{r = 1}^3 {I_r } \cdot \sin \varphi _r - I_{Bb} = \\ = 20 \times \sqrt {1 - 0,8^2 } + 70 \times \sqrt {1 - 0,6^2 } - 31,6 = 36,4{\rm{A }} \\ \end{array}

La suddivisione della linea per quanto riguarda le componenti reattive avviene nel carico 2 il quale riceve da A la corrente reattiva

I_{2b,A} = I_{Ab} - I_1 \cdot \sin \varphi _1 = 36,4 - 12 = 24,4{\rm{A }}

Possiamo allora considerare il tronco di linea che parte da A come mostrato nella figura seguente

Tronco da A con le componenti reattive

Tronco da A con le componenti reattive

quindi ipotizzando una reattanza unitaria X_U=0,38 \frac {\Omega}{\text{km}}, calcoliamo la caduta massima dovuta alle componenti reattive dei carichi, che si ha nella sezione di taglio.

\begin{array}{l} \varepsilon _{bM} = \sqrt 3 \cdot X_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^2 {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \sin \varphi } = \\ = \sqrt {3 \times } 0,38 \times \left( {6 \times 12 + 10 \times 24,4} \right) = 208{\rm{ V}} \\ \end{array}

Nota: la radice quadrata di tre occorre perché si fa riferimento alle tensioni concatenate.

La caduta massima ammessa per le componenti attive è allora

\varepsilon _{aM} = \varepsilon - \varepsilon _{bM} = 1000 - 208 = 792{\rm{V }}

Per le componenti attive si procede in modo analogo, determinando le correnti attive provenienti da B e da A, individuando la sezione di taglio, che anche in questo caso corrisponde al carico 2. Ecco i calcoli e la linea sezionata

\begin{array}{l} I_{Ba} = \frac{{\sum\limits_{r = 1}^3 {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \cos \varphi } }}{{l_{AB} }} = \\ = \frac{{\left( {6 \times 20 \times 0,8 + 10 \times 70 \times 0,6 + 15 \times 14 \times 1} \right)}}{{20}} = 36,3{\rm{ A}} \\ I_{Aa} = 20 \times 0,8 + 70 \times 0,6 + 14 \times 1 - 36,3 = 35,7{\rm{A }} \\ I_{2a,A} = I_{Aa} - I_1 \cdot \cos \varphi _1 = 35,7 - 16 = 19,7 \text{A} \\ \end{array}

Tronco da A con le componenti attive

Tronco da A con le componenti attive

Ora si può determinare la sezione scegliendo quella commerciale dalla tabella

\begin{array}{l} S = \frac{\rho }{{\varepsilon _{aM} }} \cdot \sum\limits_{r = 1}^2 {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \cos \varphi } = \\ = \sqrt 3 \frac{{20}}{{792}} \times \left( {6 \times 20 \times 0,8 + 10 \times 19,7} \right) = 12,8 \, \text{mm}^2 \Rightarrow 16 \\ d = 5,1 \text{mm} \\ \end{array}

In base al diametro del conduttore, verifichiamo la reattanza:

\begin{array}{l} X_U = \omega L = 314 \cdot \left( {0,05 + 0,46 \cdot \log \frac{{2D}}{d}} \right) \cdot 10^{ - 3} = \\ = 0,314 \times \left( {0,05 + 0,46 \times \log \frac{{3000}}{{5,1}}} \right) = 0,416\frac{\Omega }{{\text{km}}} \\ \end{array}

Essa risulta maggiore di quella ipotizzata. La caduta reattiva è dunque maggiore, ma possiamo sperare che la maggiore sezione scelta rispetto a quella teorica calcolata, la compensi.

Dobbiamo dunque verificare l'effettiva caduta di tensione con i valori veri di resistenza e reattanza.

R_U=\frac {\rho}{S}=\frac {0,02}{16}=1,25 \times 10^{-3} \frac {\Omega}{\text {m}}

Si ha: \begin{array}{l} \varepsilon _v = \sqrt 3 \left[ {R_U \cdot \left( {\lambda _1 I_{1a} + \lambda _2 I_{2a,A} } \right) + X_U \cdot \left( {\lambda _1 I_{1b} + \lambda _2 \cdot I_{2b,A} } \right)} \right] = \\ = \sqrt 3 \left[ {1,25 \times \left( {6 \times 16 + 10 \times 19,7} \right) + 0,416 \times \left( {6 \times 12 + 10 \times 24,4} \right)} \right] = \\ = 862 < \varepsilon = 1000{\rm{V }} \\ \end{array}

La caduta effettiva massima è dunque inferiore a quella ammessa, quindi il conduttore scelto va bene.


Corda di rame crudo per linee aeree

estratto tabella CEI UNEL 01437 - dal testo riportato nella bibliografia

estratto tabella CEI UNEL 01437 - dal testo riportato nella bibliografia

Nota: Grandezza \Rightarrow Sezione nominale / N. fili

Bibliografia

Elettrotecnica applicata - V. Bressi A.Corticelli F.Cremonini M.P. Zerbetto - Ed. Zanichelli 1976

Elettrotecnica applicata - V. Bressi A.Corticelli F.Cremonini M.P. Zerbetto - Ed. Zanichelli 1976

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Commenti e note

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di ,

Grazie Sebastiano, a te ed ai tuoi allievi. Insomma qualcuno li legge anche, gli articoli di EP! ;-)

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di ,

ripropongo un commento che ho inviato (o almeno credevo...) stamattina: Durante la lezione in aula informatica, i miei alunni mi hanno fatto notare che c'è un'errore in questo punto "... Nota: la radice quadrata di tre occorre perché si fa riferimento alle tensioni concatenate. La caduta massima ammessa per le componenti attive è allora eaM = 1000-176=792 V ..." mentre l'espressione corretta dovrebbe essere: 1000- 208 = 792 D'altronde il valore di 208 V è riportato appena sopra. I miei alunni, a prescindere, ti ringraziano calorosamente. Ciao

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di ,

Articolo stupendo. Tra l'altro quei due libri sono a dir poco introvabili. Ho provato a cercare un po' in giro, ma non sono reperibili in alcun modo, peccato.

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di ,

Caspita! Devo ancora leggermelo per benino ma sono felicissimo di questo nuovo articolo (e mi pare che ci stai viziando troppo...). L'altro giorno ho fatto vedere agli alunni i magnifici Tools di RenzoDF: sono rimasti a bocca aperta e credo che abbiano in programma una furiosa sessione di download. Con l'aggiunta di questo altro "pezzo pregiato" abbiamo di che lavorare per un bel po'. Mi rendo contro che quanto a contributi del sottoscritto sto andando a rilento: purtroppo da quest'anno ho una grana immensa da pelare quotidianamente (sono vicepreside, ahimè). Cercherò di ritagliare quel poco di tempo libero che mi è rimasto per contraccambiare:-). Intanto, nuovamente, GRAZIE.

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di ,

Vorrei ricordare il mio Esercizio di impianti e Fortran 90/95. Appena avrò tempo pubblicherò lo stesso esercizio con lo svolgimento numerico.

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di ,

Anch'io mi complimento con admin per gli articoli. Mi sono però permesso di aggiungere in questo post la possibilità di simulazione, che rende espliciti gli effetti di caduta di tensione lungo la linea stessa.

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di ,

Con il mio voto,ne rimangono 98...:)altrimenti sarebbero stati 200...........................

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di ,

GRAZIE admin ... peccato che posso darti solo un voto :( ... questa coppia di articoli ne valgono 100!

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