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Elettrotecnica e non solo

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Linee con carichi distribuiti

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Indice

1 Prologo
2 Linea a sbalzo in continua
3 Linea in continua alimentata alle due estremità
4 Linea a sbalzo in corrente alternata
5 Linea alimentata alle due estremità in corrente alternata
6 APPENDICE
- 6.1 Indice

Prologo

In questo messaggio del forum RenzoDF mi ha richiesto di riprodurre quanto i miei sacri testi riportavano per le linee ad anello. Ho allora preso il mio antico testo di Impianti,

Lezioni di Impianti Elettrici di Antonio Paolucci Ed. CLEUP 1971

e l'ho fatto, inviando come allegato un file pdf con il paragrafo 1.6.1 del testo del prof. Antonio Paolucci.

Quello è però solo l'ultimo dei paragrafi che trattano le linee con carichi distribuiti e poiché, sembra almeno, è difficile trovare in Internet la trattazione teorica dell'argomento, ho deciso di scannerizzare virtualmente anche i paragrafi precedenti.

Linea a sbalzo in continua

Nella figura che segue, è schematizzata una linea alimentata ad una estremità, con carichi derivati lungo il suo percorso (linea a sbalzo).

La linea è formata da due conduttori di lunghezza $l$ dello stesso materiale di resistività $ρ$ e della stessa sezione $S$ .

Linea a sbalzo in continua

Indicata con $\varepsilon=\frac {V_A-V_B} 2$ la caduta di tensione lungo un filo, tra l'alimentazione e l'ultimo carico derivato si ha

$\varepsilon = \frac{\rho }{S} \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _r } \cdot I_r \, \, \, \, \, (1)$

da cui, noto il valore di $\varepsilon$ , si ricava la sezione. $ρ$ ovviamente è la resistività del materiale alla temperatura di funzionamento.

Al risultato della (1) si può pervenire applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. La caduta all'estremità di un filo, dovuta alla sola corrente $I r$ è data da

$\Delta V_r = \rho \frac{{\lambda _r }}{S} \cdot I_r$

ed è

$\varepsilon = \sum\limits_{r = 1}^n {\Delta V_r }$

Sostituendo si trova la (1).

Nota: il prodotto $\lambda_r \cdot I_r$ è detto momento elettrico per l'identità formale con il momento di una forza.

Linea in continua alimentata alle due estremità

La tensione alle due estremità è identica. Le due estremità iniettano le correnti $I A$ ed $I B$

Applicando il primo principio di Kirchhoff all'insieme di taglio evidenziato, si ha

$I_A+I_B=\sum\limits_{r = 1}^n {I_r}$

La tensione più bassa si ha in una posizione intermedia, $S$ , detta sezione di inversione o di taglio. In tale sezione infatti si esaurisce la corrente proveniente da A, il che significa che tutti i carichi a monte di quella sezione sono alimentati da A, ed inizia quella proveniente da B, per cui tutti i carichi a valle, sono alimentati da B. In quel punto dunque la corrente è come si invertisse. Se quel punto corrisponde ad un tratto di linea tra i due carichi, quel tratto di linea potrebbe anche essere tagliato, senza che nulla cambi. Se invece coincide con un carico, ed è il caso più probabile, quel carico è alimentato sia da A che da B.

Supponendo che la sezione di taglio si abbia immediatamente a valle del carico $p$ , quindi nel tratto di linea tra i carichi $p$ e $p + 1$ , sarà

$\begin{array}{l} I_A = \sum\limits_{r = 1}^p {I_r } \\ I_B = \sum\limits_{r = p + 1}^n {I_r } \\ \end{array}$

Il valore della corrente $I B$ si può determinare applicando la (1) tenendo conto che, in questo caso, $\varepsilon=0$ , cioè che la caduta complessiva da $A$ a $p$ è uguale a quella da $B$ a $p$ . Quindi ponendo, con riferimento al disegno, ${\lambda _r} = {\lambda _{Ar}} \, , l=l_{AB}$ si ha

$0 = \frac{\rho }{S}\left( {\sum\limits_{r = 1}^p {{\lambda _r}{I_r} - \sum\limits_{r = p + 1}^n {\left( {l - {\lambda _r}} \right){I_r}} } } \right) = \sum\limits_{r = 1}^p {{\lambda _r}{I_r} - \sum\limits_{r = p + 1}^n {\left( {l - {\lambda _r}} \right){I_r}} } =$

$= \sum\limits_{r = 1}^p {{\lambda _r}{I_r} + \sum\limits_{r = p + 1}^n {{\lambda _r}{I_r}} - l\sum\limits_{r = p + 1}^n {{I_r}} } = {\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _r } I_r - I_B l}$

da cui

$I_B = \frac{1}{l}\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _r } I_r \, \, \, \, \, (2)$

Quindi si può ricavare anche $I A$ con

$\begin{array}{l} I_A = \sum\limits_{r = 1}^n {I_r } - I_B = \sum\limits_{r = 1}^n {I_r } - \frac{1}{l}\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _r } \cdot I_r = \sum\limits_{r = 1}^n {I_r } \cdot \left( {1 - \frac{{\lambda _r }}{l}} \right) = \\ = \frac{1}{l}\sum\limits_{r = 1}^n {\left( {l - \lambda _r } \right)} \cdot I_r \\ \end{array} \, \, \, \, (3)$

Ora è possibile determinare l'indice $p$ che corrisponde alla sezione di taglio. Esso infatti è il primo che verifica la disuguaglianza

$I_A < \sum\limits_{r = 1}^p {I_r }$

Individuata la sezione di taglio la linea può essere spezzata in due linee a sbalzo.

Indicata allora sempre con $\varepsilon$ la massima caduta di tensione ammessa, che si ha nella sezione di taglio, applicando la (1) si determina la sezione della linea

$S = \frac{\rho }{\varepsilon } \cdot \sum\limits_{r = 1}^p {\lambda _r } \cdot I_r \, \, \, \, (4)$

Nota 1: Quando la sezione di taglio coincide con il carico p, è possibile suddividerlo e considerare come carico p, con cui termina il tronco di linea che parte da A, la corrente

$I_{p_1 } = \sum\limits_{r = 1}^p {I_r } - I_A$

Se il carico non è suddiviso la sezione sarà ovviamente maggiore di quella teoricamente necessaria. La divisione è tanto meno necessaria quanto minore è la corrente $I p$ rispetto alla somma delle correnti che precedono.

Nota 2: sarà opportuno verificare anche la densità di corrente alle estremità

Nota 3Se $V_A \ne V_B$ (di poco), Le correnti $I A$ ed $I B$ calcolate supponendo uguali le due tensioni vanno modificate in base alla corrente di circolazione che interessa la linea dovuta alla differenza delle tensioni: $I_C=\frac {V_A-V_B}{R_{AB}}$ , diventando $I A' = I A + I C$ ed $I B' = I B - I C$ . Occorre però conoscere la $R A B$ , resistenza totale della linea che si deve ancora calcolare, in quanto la sezione dipende dal valore delle correnti estreme che stabiliscono la sezione di taglio. Si considera allora dapprima la linea alimentata dai due estremi con tensioni uguali e pari alla media aritmetica: $V_{A1}=V_{B1}=\frac {V_A+V_B}{2}$ e si calcolano le correnti $I A$ ed $I B$ . In base ad esse si determina la sezione, quindi la $R A B$ . A questo punto si calcola la $I C$ . La sezione di taglio si sposterà e si dovrà verificare che la caduta di tensione sia inferiore al limite prefissato. In caso contrario si ripete il procedimento con sezione maggiore.

Nota 4: la linea ad anello va trattata come la linea alimentata dalle due estremità con tensioni uguali

Linea ad anello

Linea a sbalzo in corrente alternata

In alternata le cose si complicano in quanto alla caduta resistiva si aggiunge quella induttiva. Si usa comunque come base di calcolo la nota formula della caduta di tensione industriale, una formula approssimata già per un carico solo, e che risulta affetta da un'ulteriore approssimazione in presenza di più carichi. Ad ogni modo per le normali linee le approssimazioni sono piccole, quindi più che accettabili.

Se si indicano con $R U$ ed $X U$ la resistenza e la reattanza unitarie di un conduttore, la caduta dovuta ad un carico che assorbe una corrente $I$ con un fattore di potenza $\cos \varphi$ su un conduttore lungo $L$ , vale

$\Delta V = I \cdot L \cdot \left( {R_U \cdot \cos \varphi + X_U \cdot \sin \varphi } \right)$

Linea a sbalzo in corrente alternata

Se ci sono $n$ carichi derivati lungo la linea, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, ed indicando con $λ r$ la distanza del carico r-simo dall'origine, si ha, per la caduta su un conduttore:

$\begin{array}{l} \varepsilon = \sum\limits_{r = 1}^n {\Delta V_r } = \sum\limits_{r = 1}^n {I_r \cdot \lambda _r \cdot \left( {R_U \cdot \cos \varphi _r + X_U \cdot \sin \varphi _r } \right) = } \\ = R_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {I_r \cdot \lambda _r \cdot \cos \varphi _r + X_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {I_r \cdot \lambda _r \cdot \sin \varphi _r = } } \varepsilon _a + \varepsilon _r \\ \end{array}$

avendo indicato con

$\varepsilon _a = R_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {I_r \cdot \lambda _r \cdot \cos \varphi _r } \, \, \, (5)$

$\varepsilon _r = X_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {I_r \cdot \lambda _r \cdot \sin \varphi _r } \, \, \, (6)$

rispettivamente la caduta attiva, dovuta cioè alla componente attiva della corrente, in fase con la tensione, e la caduta reattiva, dovuta alla componente in quadratura.

Per determinare la sezione, si fissa il valore massimo ammesso per $\varepsilon$ , si sceglie un valore per la reattanza e si calcola $\varepsilon_r$ con la (6). Ricordiamo che $X_U=\omega \cdot L$ con $ω$ pulsazione della tensione (314 rad /s a 50 Hz) ed $L$ induttanza unitaria del filo. $L$ dipende fondamentalmente dalla distanza tra i conduttori e, per linee aeree in MT ed AT, non varia molto essendo compresa tra 1 ed 1,4 mH/km (quindi la reattanza avrà un valore compreso tra $0,314 \, e \, 0,440 \frac {\Omega}{\text{km}}$ .

Quindi si ricava $\varepsilon_a=\varepsilon-\varepsilon_r$ e si calcola la sezione con

$S = \frac{\rho }{{\varepsilon _a }} \cdot \sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _r } \cdot I_r \cdot \cos \varphi _r \, \, \, (7)$

e si sceglierà la sezione commercialmente disponibile immediatamente superiore.

A questo punto occorre una verifica della reattanza ipotizzata. Se la reattanza con la sezione calcolata è inferiore a quella ipotizzata il calcolo va bene. Altrimenti occorre ripeterlo con un nuovo valore di reattanza.

Nel caso in cui risulti $\varepsilon_r \ge \varepsilon$ o che sia impossibile trovare commercialmente una sezione sufficientemente grande, in modo che sia $\varepsilon_a+\varepsilon_r \le \varepsilon$ , significa che si è raggiunta la massima capacità di trasporto della linea.

Linea alimentata alle due estremità in corrente alternata

Siano note le $n$ correnti derivate riferite alla tensione di alimentazione $\dot V$ .

Linea alimentata alle due estremità

Per determinare la differenza di potenziale tra A e B, si può usare il principio di sovrapposizione degli effetti considerando i carichi come generatori di corrente e considerando pure il punto B come un punto cui è collegato un generatore di corrente di valore $I B$ che è opposta a quella dei carichi.

Quindi avremo per la generica corrente $\dot I_r$

$\Delta \dot V_r = \left( {\dot V_A - \dot V_B } \right)_r = \dot Z_{Ar} \cdot \dot I_r$

con $\dot Z_{Ar}$ impedenza del tratto di linea tra A ed r

e per la corrente $\dot I_B$

$\Delta \dot V_{\dot I_B } = \left( {\dot V_A - \dot V_B } \right)_{\dot I_B } = - \dot Z_{AB} \cdot \dot I_B$

con $\dot Z_{AB}$ impedenza di tutta la linea linea.

Sommando le cadute parziali si ha, essendo $\dot V_A=\dot V_B$

$\dot V_A - \dot V_B = \sum\limits_{r = 1}^n {\dot Z_{Ar} \cdot \dot I_r - \dot Z_{AB} \cdot \dot I_B } = 0$

quindi

$\dot I_B = \frac{{\sum\limits_{r=1}^{n} {\dot Z_{Ar} \cdot \dot I_r } }}{{\dot Z_{AB} }}$

Se la resistenza e la reattanza per unità di lunghezza sono costanti (se cioè i conduttori sono sempre dello stesso materiale ed hanno diametro costante e distanze mutue costanti) le impedenze sono proporzionali alle lunghezze. Se $\dot Z_U$ è allora l'impedenza per unità di lunghezza avremo:

$\dot I_B = \frac{{\dot Z_U \cdot \sum\limits_{r=1}^{n} {\lambda _{Ar} \cdot \dot I_r } }}{{\dot Z_U \cdot l_{AB} }} = \frac{{\sum\limits_{r=1}^{n} {\lambda _{Ar} \cdot \dot I_r } }}{{l_{AB} }}\,\, \, \, \, \, \, (8)$

avendo $λ A r, l A B$ il significato rispettivamente di distanza del carico r-esimo da A e di lunghezza totale della linea.

Possiamo allora scrivere

$\dot I_B=I_{Ba}+j \cdot I_{Bb}$

$\dot I_r=I_r \cdot \cos \varphi_r+j \cdot I_r \cdot \sin \varphi_r$

Sostituendo ora le espressione di $\dot I_B$ e di $\dot I_r$ nella (8) si ha:

$\begin{array}{l} I_{Ba} + j \cdot I_{Bb} = \frac{{\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _{Ar} \cdot \left( {I_r \cdot \cos \varphi_r + j \cdot I_r \cdot \sin \varphi_r } \right)} }}{{l_{AB} }} = \\ = \frac{{\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \cos \varphi _r } }}{{l_{AB} }} + j \cdot \frac{{\sum\limits_{r = 1}^n {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \sin \varphi _r } }}{{l_{AB} }} \\ \end{array}$

perciò

$I_{Ba} = \frac{{\sum\limits_{r=1}^{n} {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \cos \varphi _r } }}{{l_{AB} }} \, \, \, (9)$

$I_{Bb} = \frac{{\sum\limits_{r=1}^{n} {\lambda _{Ar} \cdot I_r \cdot \sin \varphi _r } }}{{l_{AB} }} \, \, \, (10)$

In un punto intermedio della linea, ad esempio a valle o nel carico p-esimo, la caduta di tensione rispetto al punto A è data da

$\varepsilon _p = \varepsilon _{ap} + \varepsilon _{bp} \, \, \, (11)$

$\varepsilon _{ap} = R_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^p {\lambda _r \cdot I_r \cdot \cos \varphi _r } \, \, \, (12)$

$\varepsilon _{bp} = X_U \cdot \sum\limits_{r = 1}^p { \lambda _r \cdot I_r \cdot \sin \varphi _r } \, \, \, (13)$

La (12) possiamo definirla caduta dovuta alle componenti attive delle correnti; la (13), caduta dovuta alle componenti reattive.

Le due precedenti espressioni hanno i loro massimi che si verificano in posizioni diverse della linea, essendo due espressioni indipendenti.

Il massimo della caduta delle componenti reattive, $\varepsilon_{bM}$ , si ha in corrispondenza o immediatamente a valle del carico $p 1$ che verifica l'uguaglianza

$\sum\limits_{r = 1}^{p1} {I_r \cdot \sin \varphi _r } = I_{Bb}$

Quello delle componenti attive, $\varepsilon_{aM}$ , nel punto $p 2$ che verifica la

$\sum\limits_{r = 1}^{p2} {I_r \cdot \cos \varphi _r } = I_{Ba}$

Stabilito un valore massimo accettabile per la caduta complessiva, $\varepsilon$ , occorre che la somma espressa dalla (11) sia inferiore in ogni punto. Se si tracciano su un grafico i singoli andamenti, l'uno ribaltato rispetto all'altro, in un riquadro di altezza pari a $\varepsilon$ , non deve esserci intersezione, come illustrato in figura

cadute attive e reattive - 1 -

In genere comunque si impone che sia la somma dei valori massimi ad essere inferiore alla caduta prefissata. Si sceglie allora un valore per la reattanza della linea e si calcola la $\varepsilon_{bM}$ , dopo aver determinato il carico il carico P1 che corrisponde alla sezione di taglio per le componenti reattive. Si ha allora $\varepsilon_{aM}=\varepsilon-\varepsilon_{bM}$ e si determinana la sezione con ( $R_U= \frac \rho S$ )

$S = \frac{\rho }{{\varepsilon _{aM} }} \cdot \sum\limits_{r = 1}^{p2} {\lambda _r } \cdot I_r \cdot \cos \varphi _r \, \, \, \, (14)$

La sezione risulta risulta leggermente maggiore di quella che sarebbe strettamente necessaria. Il grafico che segue mostra che in tal caso si ha una caduta attiva minore di quella che si sarebbe potuto avere.

cadute di tensione attive e reattive - 2 -

Occorre a questo punto verificare se, in base al diametro della sezione, la reattanza ipotizzata è corretta. Altrimenti occorre rifare il calcolo con un nuovo valore della reattanza.

APPENDICE

Un utente, mazzini88, in una nota ha chiesto di vedere l'indice del testo del Paolucci.

Eccolo

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Estratto da "https://www.electroyou.it/mediawiki/index.php?title=UsersPages:Admin:lineaadanello"

Commenti e note

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di antonio07, 8 anni fa

complimento al nostro admin, sig. Zeno per la chiarezza e la disponibilità

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di Mazzini88, 16 anni fa

Molte grazie!

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di Mazzini88, 16 anni fa

Se non sono indiscreto sarebbe possibile conoscere l'indice del testo di riferimento (intendo il Paolucci)? Perché è praticamente impossibile trovare qualsiasi informazione su internet riguardo 'sto testo ormai dimenticato.

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di Stefania, 16 anni fa

Grazie anche da parte mia ad Admin per gli esercizi e per i testi 'sacri'. N.B. Foxone se hai anche tu i testi sacri ti conviene non cederli a nessuno! ;-)

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di sebago, 16 anni fa

GRAZIE MILLE, Admin. Non sapevo come presentare ai miei alunni questo argomento in modo accattivante (i libri, pare che siano diventati i più grandi nemici dei giovani d'oggi...). Ma da venerdì si fa lezione in aula informatica...con Electroportal!

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di RenzoDF, 16 anni fa

Grazie ad admin, ancora una volta, i "Sacri Testi" hanno riportato "la luce" su un argomento lasciato troppo spesso "in ombra" dalle più recenti trattazioni.

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di foxone1978, 16 anni fa

il Mitico Paolucci!!!!....io ho un paio di Sacre Scritture in formato PDF e scritte in Inglese (datate 1919)... chi le vuole?

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di Bluettino, 16 anni fa

Che dire...grazie per l'articolo admin !

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