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Indice

1 Il testo
2 Come procedere
3 Soluzione
- 3.1 Parametri dei circuiti equivalenti dei trasformatori
  - 3.1.1 Caduta di tensione da vuoto a carico
- 3.2 Parametri longitudinali della linea
  - 3.2.1 Tensione al termine della linea e parametri R, X del carico
  - 3.2.2 Parametri R, X del carico
4 Lo script Scilab per i calcoli

Il testo

Due trasformatori trifase di uguale potenza e rapporto di trasformazione a vuoto $k t$ =500 V / 10 kV, sono connessi in parallelo per fornire ad una linea di trasporto aerea I=18.5 A con $cosφ = 0.8$ .

Le prove di corto circuito, eseguite alimentando i trasformatori dal lato AT hanno fornito, alla temperatura di funzionamento, i seguenti risultati:

TRASFORMATORE 1

TRASFORMATORE 2

I=10A

$P c c$ =2.5 kW

$V c c$ tra le 2 fasi = 300 V

I=10A

$P c c$ =1.8 kW

$V c c$ tra le 2 fasi= 350 V

La conduttura è lunga l=6 km ed è costituita con fili di rame di 10 mm² di sezione, di induttanza L=1.16 mH / Km. Nella condizione che i primari siano alimentati con la tensione nominale di 500 V, che i secondari forniscono alla conduttura il carico su indicato e che la frequenza sia f=50 Hz, si determini:

Caduta di tensione alle sbarre degli avvolgimenti quando si passa dalla condizione a vuoto a quella sotto carico
La tensione ai morsetti terminali della conduttura
I valori della R e X che costituiscono il carico

Come procedere

I due trasformatori sono rappresentati mediante i parametri longitudinali del circuito equivalente semplificato che si ricavano dalle misure in cortocircuito. Essi equivalgono ad una impedenza pari alloro parallelo
Nota la corrente ed il fattore di potenza si può ricavare la caduta di tensione del parallelo
Si ricavano i parametri logitudinali della linea, resistenza e reattanza
Con il metodo delle potenze si ricavano le potenze in uscita: alle potenze attive e reattive in ingresso alla linea ( $P i$ e $Q i$ ) , si sottraggono le potenze attive e reattive della linea $(P l$ , $Q l$ ), ottenendo quelle d'uscita, $P a, Q a$
Note le potenze in arrivo è possibile ricavare tensione d'arrivo $U a$ , quindi parametri $R$ ed $X$ del carico

Soluzione

Parametri dei circuiti equivalenti dei trasformatori

$R_{cc1}=\frac {P_{cc1}}{3 \cdot I_1^2}=\frac {2500}{3 \cdot 10^2}=8,33 \Omega$

$Z_{cc1}=\frac{V_{cc1}}{\sqrt 3 \cdot I_1}=\frac {300}{\sqrt 3 \cdot 10}=17,3 \Omega$

$X_{cc1}=\sqrt {Z_{cc1}^2 -R_{cc1}^2 }=\sqrt {17,3^2 -8,33^2 }=15,2 \Omega$

$R_{cc2}=\frac {P_{cc2}}{3 \cdot I_2^2}=\frac {1800}{3 \cdot 10^2}=6 \Omega$

$Z_{cc2}=\frac{V_{cc2}}{\sqrt 3 \cdot I_2}=\frac {350}{\sqrt 3 \cdot 10}=20,2 \Omega$

$X_{cc2}=\sqrt {Z_{cc2}^2 -R_{cc2}^2 }=\sqrt {20,2^2 -6^2 }=19,3 \Omega$

Il circuito equivalente dei due trasformatori in parallelo si bottiene dal parallelo delle due impedenze di cortocircuito

$\mathbf {Z_t}=\frac {\mathbf {Z_{cc1}} \cdot \mathbf {Z_{cc2}}}{\mathbf {Z_{cc1}} + \mathbf {Z_{cc2}}}=\frac {(8,3+j15,2) \cdot (6+j19,3)}{14,3+j34,5}=3,73+j8,6$

Caduta di tensione da vuoto a carico

La caduta di tensione da vuoto a carico si calcola con la formula approssimata, considerando l'impedenza del parallelo dei due trasformatori:

$\Delta U= \sqrt 3 \cdot I_L \cdot ( R_t \cdot \cos \phi + X_t \cdot \sin \phi)=$

$=\sqrt 3 \cdot 18,5 \cdot (3,73 \cdot 0,8 + 8,6 \cdot 0,6)=261\, V$

La tensione a carico ai terminale del trasformatore è pertanto

$U_i=10000-\Delta U= 1000-261=9739 \, V$

Parametri longitudinali della linea

$X_L=l \cdot L=6 \cdot 1,16 \cdot 0,314=2,19 \, \Omega$

$R_L=\rho \cdot \frac l A =0,018 \cdot \frac {6000}{10}=1,08 \, \Omega$

$\mathbf {Z_l}=R_L+j \cdot X_L = 10,8+j2,19$

Tensione al termine della linea e parametri R, X del carico

$P_i=\sqrt 3 \cdot U_i \cdot I \cos \phi = \sqrt 3 \cdot 9739 \cdot 10 \cdot 0.8 =249 654 \, W$

$Q_i=\sqrt 3 \cdot U_i \cdot I \cdot sin \phi = \sqrt 3 \cdot 9739 \cdot 10 \cdot 0.6=187 240 \, var$

$P_l=3 \cdot R_l \cdot I^2 = 3 \cdot 10,8 \cdot 18,5^2=11 089 \, W$

$Q_l=3 \cdot X_l \cdot I^2 = 3 \cdot 2,19 \cdot 18,5^2=2244 \, var$

$P_a=P_i-P_l=249654-11089=238 565 \, W$

$Q_a=Q_i-Q_l=187240-2244=184 996 \, var$

$S_a=\sqrt {P_a^2+Q_a^2}=\sqrt {238 565^2+184996^2}=301 889 \, VA$

$U_a=\frac {S_a}{\sqrt 3 \cdot I_l}=\frac {3091889}{\sqrt 3 \cdot 18,5}=9421 \, V$

Parametri R, X del carico

Si ricavano sempre con il teorema delle potenze

$R=\frac {P_a}{3 \cdot I_l^2}=\frac {238568}{3 \cdot 18,5^2}=232 \, \Omega$

$X=\frac {Q_a}{3 \cdot I_l^2}=\frac {184996}{3 \cdot 18,5^2}=180 \, \Omega$

Lo script Scilab per i calcoli

NB: Scilab è come noto il più completo concorrente, gratuito però, di Matlab. E' scaricabile da qui.

Nel sito esistono degli articoli per imparare ad usarlo, come questo

Pcc1=2500;
I1n=10;
Ucc1=300;
Pcc2=1800;
Ucc2=350;
I2n=10;
U2n=10000;
U1n=500;


Il=18.5;
cosf=0.8;
sinf=sqrt(1-cosf^2);

Lu=1.16;
A=10;
rho=0.018
l=6;

Rl=rho*l*1000/A
Xl=0.314*1.16*l



Rcc1=Pcc1/(3*I1n^2);
Zcc1=Ucc1/(sqrt(3)*I1n);
Xcc1=sqrt(Zcc1^2-Rcc1^2)
Zt1=Rcc1+%i*Xcc1;
Rcc2=Pcc2/(3*I2n^2);
Zcc2=Ucc2/(sqrt(3)*I2n);
Xcc2=sqrt(Zcc2^2-Rcc2^2)
Zt2=Rcc2+%i*Xcc2;

Zt=Zt1*Zt2/(Zt1+Zt2)

Rt=real(Zt)
Xt=imag(Zt)


DU= sqrt(3)*Il*(Rt*cosf+Xt*sinf)
Ui=U2n-DU
Pi=sqrt(3)*Ui*Il*cosf
Qi=sqrt(3)*Ui*Il*sinf

Pl=3*Rl*Il^2
Ql=3*Xl*Il^2

Pa=Pi-Pl
Qa=Qi-Ql

Sa=sqrt(Pa^2+Qa^2)
Ua=Sa / (sqrt(3)*Il)
cosfa=Pa/Sa;
R=Pa/(3*Il^2)
X=Qa/(3*Il^2)

C=Qa / (3*314*Ua^2)

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Un esercizio sui trasformatori

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