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Un esercizio sui trasformatori

Indice

Il testo

Due trasformatori trifase di uguale potenza e rapporto di trasformazione a vuoto kt=500 V / 10 kV, sono connessi in parallelo per fornire ad una linea di trasporto aerea I=18.5 A con cosφ = 0.8.

Le prove di corto circuito, eseguite alimentando i trasformatori dal lato AT hanno fornito, alla temperatura di funzionamento, i seguenti risultati:

TRASFORMATORE 1 TRASFORMATORE 2
I=10A

Pcc=2.5 kW

Vcc tra le 2 fasi = 300 V


I=10A

Pcc=1.8 kW

Vcc tra le 2 fasi= 350 V

La conduttura è lunga l=6 km ed è costituita con fili di rame di 10 mm2 di sezione, di induttanza L=1.16 mH / Km. Nella condizione che i primari siano alimentati con la tensione nominale di 500 V, che i secondari forniscono alla conduttura il carico su indicato e che la frequenza sia f=50 Hz, si determini:

  1. Caduta di tensione alle sbarre degli avvolgimenti quando si passa dalla condizione a vuoto a quella sotto carico
  2. La tensione ai morsetti terminali della conduttura
  3. I valori della R e X che costituiscono il carico

Come procedere

  • I due trasformatori sono rappresentati mediante i parametri longitudinali del circuito equivalente semplificato che si ricavano dalle misure in cortocircuito. Essi equivalgono ad una impedenza pari alloro parallelo
  • Nota la corrente ed il fattore di potenza si può ricavare la caduta di tensione del parallelo
  • Si ricavano i parametri logitudinali della linea, resistenza e reattanza
  • Con il metodo delle potenze si ricavano le potenze in uscita: alle potenze attive e reattive in ingresso alla linea (Pi e Qi) , si sottraggono le potenze attive e reattive della linea (Pl,Ql), ottenendo quelle d'uscita, Pa,Qa
  • Note le potenze in arrivo è possibile ricavare tensione d'arrivoUa, quindi parametri R ed X del carico

Soluzione

Parametri dei circuiti equivalenti dei trasformatori

R_{cc1}=\frac {P_{cc1}}{3 \cdot I_1^2}=\frac {2500}{3 \cdot 10^2}=8,33 \Omega


Z_{cc1}=\frac{V_{cc1}}{\sqrt 3 \cdot I_1}=\frac {300}{\sqrt 3 \cdot 10}=17,3 \Omega


X_{cc1}=\sqrt {Z_{cc1}^2 -R_{cc1}^2 }=\sqrt {17,3^2 -8,33^2 }=15,2 \Omega


R_{cc2}=\frac {P_{cc2}}{3 \cdot I_2^2}=\frac {1800}{3 \cdot 10^2}=6 \Omega


Z_{cc2}=\frac{V_{cc2}}{\sqrt 3 \cdot I_2}=\frac {350}{\sqrt 3 \cdot 10}=20,2 \Omega


X_{cc2}=\sqrt {Z_{cc2}^2 -R_{cc2}^2 }=\sqrt {20,2^2 -6^2 }=19,3 \Omega

Il circuito equivalente dei due trasformatori in parallelo si bottiene dal parallelo delle due impedenze di cortocircuito

\mathbf {Z_t}=\frac {\mathbf {Z_{cc1}} \cdot \mathbf {Z_{cc2}}}{\mathbf {Z_{cc1}} + \mathbf {Z_{cc2}}}=\frac {(8,3+j15,2) \cdot (6+j19,3)}{14,3+j34,5}=3,73+j8,6


Caduta di tensione da vuoto a carico

La caduta di tensione da vuoto a carico si calcola con la formula approssimata, considerando l'impedenza del parallelo dei due trasformatori:


\Delta U= \sqrt 3 \cdot I_L \cdot ( R_t \cdot \cos \phi + X_t \cdot \sin \phi)=


=\sqrt 3 \cdot 18,5 \cdot (3,73 \cdot 0,8 + 8,6 \cdot 0,6)=261\, V


La tensione a carico ai terminale del trasformatore è pertanto


U_i=10000-\Delta U= 1000-261=9739 \, V

Parametri longitudinali della linea

X_L=l \cdot L=6 \cdot 1,16 \cdot 0,314=2,19 \, \Omega


R_L=\rho \cdot \frac l A =0,018 \cdot \frac {6000}{10}=1,08 \, \Omega


\mathbf {Z_l}=R_L+j \cdot X_L = 10,8+j2,19


Tensione al termine della linea e parametri R, X del carico

P_i=\sqrt 3 \cdot U_i \cdot I \cos \phi = \sqrt 3 \cdot 9739 \cdot 10 \cdot 0.8 =249 654 \, W


Q_i=\sqrt 3 \cdot U_i \cdot I \cdot sin \phi = \sqrt 3 \cdot 9739 \cdot 10 \cdot 0.6=187 240 \, var


P_l=3 \cdot R_l \cdot I^2 = 3 \cdot 10,8 \cdot 18,5^2=11 089 \, W


Q_l=3 \cdot X_l \cdot I^2 = 3 \cdot 2,19 \cdot 18,5^2=2244 \, var


P_a=P_i-P_l=249654-11089=238 565 \, W


Q_a=Q_i-Q_l=187240-2244=184 996 \, var


S_a=\sqrt {P_a^2+Q_a^2}=\sqrt {238 565^2+184996^2}=301 889 \, VA


U_a=\frac {S_a}{\sqrt 3 \cdot I_l}=\frac {3091889}{\sqrt 3 \cdot 18,5}=9421 \, V

Parametri R, X del carico

Si ricavano sempre con il teorema delle potenze


R=\frac {P_a}{3 \cdot  I_l^2}=\frac {238568}{3 \cdot 18,5^2}=232 \, \Omega


X=\frac {Q_a}{3 \cdot I_l^2}=\frac {184996}{3 \cdot 18,5^2}=180 \, \Omega

Lo script Scilab per i calcoli

NB: Scilab è come noto il più completo concorrente, gratuito però, di Matlab. E' scaricabile da qui.

Nel sito esistono degli articoli per imparare ad usarlo, come questo

Pcc1=2500;
I1n=10;
Ucc1=300;
Pcc2=1800;
Ucc2=350;
I2n=10;
U2n=10000;
U1n=500;


Il=18.5;
cosf=0.8;
sinf=sqrt(1-cosf^2);

Lu=1.16;
A=10;
rho=0.018
l=6;

Rl=rho*l*1000/A
Xl=0.314*1.16*l



Rcc1=Pcc1/(3*I1n^2);
Zcc1=Ucc1/(sqrt(3)*I1n);
Xcc1=sqrt(Zcc1^2-Rcc1^2)
Zt1=Rcc1+%i*Xcc1;
Rcc2=Pcc2/(3*I2n^2);
Zcc2=Ucc2/(sqrt(3)*I2n);
Xcc2=sqrt(Zcc2^2-Rcc2^2)
Zt2=Rcc2+%i*Xcc2;

Zt=Zt1*Zt2/(Zt1+Zt2)

Rt=real(Zt)
Xt=imag(Zt)


DU= sqrt(3)*Il*(Rt*cosf+Xt*sinf)
Ui=U2n-DU
Pi=sqrt(3)*Ui*Il*cosf
Qi=sqrt(3)*Ui*Il*sinf

Pl=3*Rl*Il^2
Ql=3*Xl*Il^2

Pa=Pi-Pl
Qa=Qi-Ql

Sa=sqrt(Pa^2+Qa^2)
Ua=Sa / (sqrt(3)*Il)
cosfa=Pa/Sa;
R=Pa/(3*Il^2)
X=Qa/(3*Il^2)

C=Qa / (3*314*Ua^2)
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