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Indice

1 Sommario e conclusione
2 Esercizio 1
3 Esercizio 2
- 3.1 Sovrapposizione degli effetti
  - 3.1.1 Osservazione
  - 3.1.2 Osservazione
- 3.2 Millman
  - 3.2.1 Osservazione
  - 3.2.2 Verifica del primo principio di Kirchhoff

Sommario e conclusione

Come spesso accade, anche questo articolo nasce in seguito a thread del forum.
Si tratta dello svolgimento di un paio di esercizi e lo scopo è mostrare un modo corretto di procedere con l'applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti in presenza di generatori pilotati di corrente o di tensione.
Per chi non vuole star lì a guardare tutto, scrivo subito la conclusione.
Nella sovrapposizione degli effetti il generatore pilotato può essere considerato come un generatore indipendente di valore incognito. La composizione finale delle grandezze parziali per trovare le grandezze del circuito originario, conterrà come incognita il parametro del generatore pilotato. A questo punto si usa l'equazione che lo definisce eliminando l'incognita.
I thread di riferimento, da cui sono rispettivamente prelevati gli esercizi 1 e 2 qui proposti, sono:

Inoltre, non me ne ricordavo, ma lo stesso argomento era stato già discusso in

questo topic

Esercizio 1

Consideriamo il semplice circuito in cui sono noti $I_0 \, , R \, , r$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La soluzione è senz'altro immediata
$I = I 0$
$E = r I 0$
$V A B = R I + E = (R + r) I 0$
Usando la sovrapposizione degli effetti ci si può sbagliare in quanto si potrebbe essere indotti a considerare il generatore di tensione pilotato come dipendente dalla grandezza del circuito parziale.
Cortocircuitando il generatore dipendente abbiamo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e qui non ci sono pericoli
$I 1 = I 0$
$V_{AB_1}=RI_0$
L'insidia si può presentare quando si elimina il generatore indipendente e si considera il dipendente funzione della grandezza nel circuito parziale e non in quello originario

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Infatti è
$I 2 = 0$
e di conseguenza sarebbe
$V_{AB_2}=E+RI_2=rI_2+RI_2=0$
Sovrapponendo gli effetti troveremmo
$I = I 1 + I 2 = I 0 + 0 = I 0$
e questo va bene, ma anche
$V_{AB}=V_{AB_1}+V_{AB_2}=RI_0+0$
che è evidentemente errato.
Il procedimento corretto consiste nel considerare $E$ come un'incognita da ricavare imponendo alla fine la condizione che definisce il generatore dipendente

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$I 2 = 0$
$V_{AB_2}=E$
Quindi
$I = I 1 + I 2 = I 0 + 0 = I 0$
Ora possiamo calcolare
$E = r I = r I 0$
quindi
$V_{AB}=V_{AB_1}+V_{AB_2}=RI_0+rI=RI_0+rI_0=(R+r)I_0$

Esercizio 2

Del seguente circuito sono noti $E_1 \, , E_2 \, , R_1 \, , R_2 \, , g$ .
Determinare le correnti nei rami

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sovrapposizione degli effetti

Trattiamo il generatore di corrente dipendente come un generatore indipendente di valore incognito $J$ .
Tale valore lo ricaveremo alla fine del procedimento di sovrapposizione imponendo la relazione che lo definisce.
Eliminandolo, quindi lasciando il suo ramo aperto, otteniamo un primo parziale circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Da esso ricaviamo le due correnti parziali
${i_2}' = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${i_1}' = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

Ora reinseriamo il generatore di corrente, eliminando (cortocircuitando quindi) i due generatori di tensione

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ricaveremo le due correnti parziali
${i_2}'' = J\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${i_1}'' = J\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

Osservazione

Se qui avessimo posto, sbagliando,

J = g V 2'' = g R 2 i 2''

, avremmo come unica soluzione del circuito parziale la banale $J=0 \, , i_2''=0 \, , i_1''=0$

Le correnti della rete di partenza saranno allora
${i_1} = {i_1}' + {i_1}'' = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} + J\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${i_2} = {i_2}' + {i_2}'' = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} + J\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

Sono funzioni di $J$ che possiamo ricavare imponendo la condizione che definisce il generatore dipendente
$J = g V 2 = g R 2 i 2$
Sostituendola nelle espressioni precedenti otterremo le correnti della rete in funzione dei parametri noti
${i_2} = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} + g{R_2}{i_2}\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${i_2}\left( {1 - g\frac{{{R_2}{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}} \right) = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

${i_2} = ({E_1} - {E_2})\frac{{\frac{{1}}{{{R_1} + {R_2}}}}}{{1 - g\frac{{{R_2}{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}}} = ({E_1} - {E_2})\frac{{1}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}$

$\begin{array}{l} {i_1} = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} + g{R_2}{i_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} + g{R_2}\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}} \cdot \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \\ = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\left( {1 - \frac{{gR_2^2}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}} \right) = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\left( {\frac{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1} - gR_2^2}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}} \right) = \\ = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\left( {\frac{{{R_1}\left( {1 - g{R_2}} \right) + {R_2}\left( {1 - g{R_2}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}} \right) = - \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\frac{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)\left( {1 - g{R_2}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}} \\ \end{array}$

$i_1 = \left( {{E_2} - {E_1}} \right)\frac{{1 - g{R_2}}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}$

Osservazione

Si ha $\frac{{{i_1}}}{{{i_2}}} = g{R_2} - 1$ .

Quindi con i dati dell'esercizio proposto nel thread, ${E_1} = 5\,{\rm{V;}}{{\rm{E}}_2} = 15 \,{\rm{V}};{R_1} = 2 \, \Omega ;{R_2} = 5 \, \Omega ;g = 1000 \, {\rm{S}}$ , la corrente

i 2

è completamente trascurabile rispetto ad

i 1

per cui, in pratica,

J

coincide con

i 1

, e la tensione ai capi del generatore di corrente con

E 2

, per cui si può tranquillamente scrivere come soluzione $i_1=5 \, \text{A}; i_2=0 \, \text{A}$ .

Visto che la rete è binodale, per controllo dei risultati precedenti, ed anche per ulteriore esercizio naturalmente, risolviamo il circuito con

Millman

$\frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} + g{V_2}}}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}} = {V_{AB}}$
$V 2 = V A B - E 2$
$\frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} + g\left( {{V_{AB}} - {E_2}} \right)}}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}} = {V_{AB}}$

${V_{AB}} = \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} - g}}$

$\begin{array}{l} {i_1} = \frac{{{V_{AB}} - {E_1}}}{{{R_1}}}\\ {i_2} = \frac{{{V_{AB}} - {E_2}}}{{{R_2}}} \end{array}$

${i_1} = \frac{{\left( {\frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} - g}} - {E_1}} \right)}}{{{R_1}}} = \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}} - \frac{{{E_1}}}{{{R_1}}}$

Rielaborando l'espressione

$\begin{array}{l} {i_1} = \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}} - \frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} = \frac{{{E_1} + {E_2}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}{E_2} - {E_1} - {E_1}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + g{R_1}{E_1}}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} = \\ = \frac{{{E_2}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - {E_1}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}{E_2} + g{R_1}{E_1}}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} = \frac{{{E_2} - {E_1} - g{R_2}{E_2} + g{R_2}{E_1}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}\\ = \frac{{{E_1}\left( {g{R_2} - 1} \right) - {E_2}\left( {g{R_2} - 1} \right)}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_1}{R_2}}} \end{array}$

$i_1 = \left( {{E_2} - {E_1}} \right)\frac{{1 - g{R_2}}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_1}{R_2}}}$

troviamo, per fortuna, la stessa espressione ricavata in precedenza con la sovrapposizione degli effetti.
Vediamo se la fortuna ci assiste anche per $i 2$

${i_2} = \frac{{\left( {\frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} - g}} - {E_2}} \right)}}{{{R_2}}} = \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}}} - \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}}$

$i_2 = \frac{{{E_1}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} + {E_2} - g{R_2}{E_2} - {E_2} - {E_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} + g{R_2}{E_2}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} =$
$= \frac{{{E_1}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - {E_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{\left( {{R_1} + {R_2} - g{R_1}{R_2}} \right)}}$

Bene.
Ricaviamo allora l'espressione di $J$

$\begin{array}{l} {V_2} = {R_2}{i_2} = \frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}{E_1} + {E_2} - g{R_2}{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}}} - {E_2} = \frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}{E_1} + {E_2} - g{R_2}{E_2} - {E_2} - \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}{E_2} + g{R_2}{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}}} = \\ = \frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {{E_1} - {E_2}} \right)}}{{1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}}} = \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\frac{1}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}} \end{array}$

$J = g{V_2} = g\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}} = g{R_2}\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_1} + {R_2} - g{R_2}{R_1}}}$

Osservazione

Il rapporto tra

J

ed

i 1

vale

$\frac{J}{{{i_1}}} = \frac{{g{R_2}}}{{g{R_2} - 1}}$ .

Cosa che abbiamo già visto, con i dati proposti nel thread, non c'è in pratica differenza tra le due correnti

E per non farci mancare nulla facciamo una

Verifica del primo principio di Kirchhoff

${i_1} + {i_2} = \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}} - \frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{\frac{{{E_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} - g{E_2}}}{{1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}}} - \frac{{{E_2}}}{{{R_2}}} =$
$= \frac{{{E_1} + {E_2}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}{E_2} - {E_1} - {E_1}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + g{R_1}{E_1}}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} + \frac{{{E_2} + {E_1}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}{E_2} - {E_2} - {E_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} + g{R_2}{E_2}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} =$
$= \frac{{{E_2}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}{E_2} - {E_1}\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + g{R_1}{E_1}}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} + \frac{{{E_1}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - {E_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} =$
$= \frac{{{E_2}\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right) - {E_1}\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} + \frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {{E_1} - {E_2}} \right)}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} =$
$= \frac{{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)\left( {{E_2} - {E_1}} \right)}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}} + \frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {{E_1} - {E_2}} \right)}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}} - \frac{{\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}}}{{{R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right) - {R_1}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right) + g{R_1}{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right){R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{{R_2} + {R_1} - g{R_1}{R_2} - {R_1} - {R_2} + g{R_1}{R_2} + g{R_1}{R_2} + gR_2^2 - {g^2}{R_1}R_2^2}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right){R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{g{R_1}{R_2} + gR_2^2 - {g^2}{R_1}R_2^2}}{{{R_2}\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right){R_1}\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{g + g\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - {g^2}{R_2}}}{{\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) =$
$= \left( {{E_1} - {E_2}} \right)\left( {\frac{{g\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} - g{R_2}} \right)\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} - g{R_1}} \right)}}} \right) \downarrow$