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Parallel Path: esercizio con FEMM

Indice

Premessa

Qualche giorno fa è arrivata una richiesta relativa al circuito magnetico con magneti permanenti che qui propongo.
Non ne avevo mai sentito parlare. Mi è stato presentato con il nome di Parallel Path, brevemente PP.
Ho allora scoperto che nel web è molto noto ed è all'origine di ricerche strane.
Ho letto considerazioni fantasiose e spiegazioni incredibili che non riporto per decenza, ma che chiunque può trovare nei "siti specializzati".
"Nel web ormai circola proprio di tutto!", mi sono detto. Chi sia colui che accende la miccia spesso non si sa, come in genere non si conosce l'inventore di una barzelletta, ma inizia da quel momento una reazione a catena che infiamma adepti eterogenei, accomunati da un "indiscutibile" riferimento per le dimostrazioni scientifiche virtuali: i video su Youtube.
Utilizzando FEMM, il noto programma di simulazione di David Meker, ho esaminato la struttura per quello che è: un normale circuito con magneti permanenti in cui si aggiunge una normalissima bobina, analizzabile con le normali leggi dell'elettromagnetismo.

La struttura

La composizione della struttura senza la bobina, è riportata nel disegno.

Le dimensioni sono in millimetri. La profondità è di 30 mm.
I magneti permanenti sono al Neodimio-Ferro-Boro.
Il circuito magnetico è completato da un nucleo costituito da due gioghi orizzontali ( sono essi, presumo, a dar luogo al nomignolo anglofono), solidali con i magneti, e due colonne laterali mobili, costruite con lamiere al Silicio.
Calcoleremo tutte le grandezze magnetiche nonché le forze di attrazione per diverse posizioni delle colonne laterali.

Solo colonna di destra ( con traferro di 1 mm )

Allontaniamo dai gioghi la colonna di sinistra. La colonna di destra è attratta dai gioghi. Lasciamo un traferro di un millimetro tra la colonna di destra ed i gioghi, (possiamo immaginare di interporre Compact Disk).
La figura che segue mostra l'andamento delle linee di forza del vettore induzione magnetica. Le frecce indicano l'orientamento delle linee, uscenti dai Nord dai magneti. I colori rappresentano il valore dell'induzione come indicato nella legenda.

Ecco i calcoli di FEMM relativi ad un punto del traferro superiore (quello indicato con il mirino).

Nell'altro traferro, uguale ed attraversato, in senso opposto, dallo stesso flusso magnetico misurato in weber, l'induzione B, misurata in tesla, è la stessa. Le linee di forza sono praticamente perpendicolari alle superfici affacciate ed il valore dell'induzione è B=1,23 \, {\rm{T}}. La forza di attrazione si può calcolare usando la formula F_d=\frac {B^2}{2 \mu_0} \cdot S con S somma della sezione dei due traferri. Quindi F_d= \frac {1,23^2}{2 \cdot 1,256 \cdot 10^{-6}} \cdot 2 \cdot 20 \cdot 10^{-3} \cdot 30 \cdot 10^{-3}= F_d=1,20 \cdot 600 \cdot = 720 \, {\rm{N}}
Tale valore sarà approssimato per eccesso, in quanto riteniamo costante il valore dell'induzione su tutta la superficie dei traferri, senza considerare l'effetto bordi. Ma di poco perché la larghezza del traferro, 20 volte lo spessore, permette di trascurare l'effetto dei bordi. Ad ogni modo, per esercizio, determiniamo la forza usando FEMM. Calcoliamo l' energia magnetica immagazzinata nella configurazione data, e quella che ci sarà dopo aver allontanato la colonna di destra di una piccola quantità. Supponiamo un decimo di mm (s=0,1 \, {\rm{mm}}).
FEMM ci fornisce nei due casi i seguenti valori:

Valori dell

Valori dell'energia magnetica


W_{1 mm}=1,48 \, {\rm{J}}
W_{1,1 mm}=1,55 \, {\rm{J}}
La variazione è dunque di
\Delta W =W_{1,1 mm}- W_{1 mm}=1,55-1,48=0,07 \, {\rm{J}}
La forza media nello spostamento è data da
F=- \frac {\Delta W}{s}=\frac {0,07}{10^{-4}}=-700 \, {\rm{N}}
che è, in pratica il valore trovato in precedenza, leggermente inferiore ( circa il 3%).
Il segno meno ci dice che la forza è contraria allo spostamento, cioè è di attrazione, avendo allontanato la colonna.

Nota

FEMM permette anche di calcolare in ogni situazione, direttamente la forza. Però ho scelto di ricorrere alla formula F=\frac 1 2 \cdot \frac {B^2}{\mu_0} \cdot S, che, ricordo, è valida se B è costante su tutto il volume di calcolo, cioè se il campo è uniforme nel traferro, per un confronto matematico tra le forze in diverse posizioni in base al valore assunto dall'induzione, visto che i traferri considerati hanno una lunghezza che è un ventesimo della larghezza, condizione che permette di ritenere il campo uniforme.
Lo scrivo perché nel web, girano altre fantasiosissime teorie (che non riporto per lasciare il piacere della scoperta) su quale debba essere il valore dell'induzione da considerare per il calcolo della forza di attrazione magnetica, nonché la superficie da considerare nell'applicarla). Chi però desidera un approccio meno fantasioso, che è quello usato immediatamente prima di questa nota per verificare l'accettabilità della formula nel caso specifico, può invece leggere questo articolo.

Traferri identici (1:1)

Riportiamo ora in gioco la colonna di sinistra ponendola esattamente ad una distanza dai gioghi pari ad un millimetro, come la colonna di destra, interponendo ad esempio un altro CD. La struttura è ora perfettamente simmetrica rispetto all'asse della struttura. Tali sono, come c'è da aspettarsi, anche le linee dell' induzione. L'induzione ai traferri è ora qualcosa di meno di otto decimi di tesla, come mostra l'Output fi FEMM. La forza di attrazione sulla colonna di destra è conseguentemente diminuita. Dipendendo dal quadrato dell'induzione sarà circa il 100 \cdot \left( {\frac{{0,798}}{{1,23}}} \right)^2  = 42\% di quella calcolata in precedenza, quindi F=0,42 \cdot 700 =294 \, {\rm{N}}. L'energia magnetica è ora di W_b= 1 \, {\rm{J}}, quindi è diminuita, come logico, visto che quando si avvicina la colonna di sinistra questa è soggetta ad una forza di attrazione da parte del campo magnetico che esegue il lavoro di avvicinamento a spese della sua energia. La forza media di attrazione è stata di F_{media}=- \frac {1-1,48}{20 \cdot 10^{-3}}=\frac {0,48}{20 \cdot 10^{-3}}=24 \, {\rm{N}}

(nella prima configurazione la colonna di sinistra era stata portata a due centimetri dal nucleo)

Circuito magnetico simmetrico

Circuito magnetico simmetrico

Traferro di sinistra molto minore di quello di destra (0.1:1)

Togliendo il CD che blocca l'avanzamento della colonna di sinistra, questa si avvicina ulteriormente ai gioghi. Il traferro di sinistra diminuisce, mentre quello di destra resta lo stesso mantenendo il CD di separazione.
Supponiamo che il traferro di sinistra diventi un decimo di millimetro in seguito all'azione della forza.
Proviamo a prevedere cosa succederà.
La struttura è ora dissimmetrica per la diversità dei traferri. La riluttanza magnetica del percorso chiuso che comprende il traferro minore è inferiore a quella del percorso che interessa quello maggiore; di dieci volte se supponiamo trascurabile il contributo del ferro. Le linee di flusso di entrambi i magneti si indirizzeranno a sinistra; qui le linee dunque si infittiranno, mentre diraderanno a destra.
La forza con cui viene attratta la colonna di sinistra aumenterà, mentre diminuirà quella esercitata sulla colonna di destra. Tutto a spese dell'energia magnetica che diminuirà ulteriormente.
Ecco le configurazioni fornite da FEMM per la nuova situazione.

Nel traferro superiore di sinistra

Nel traferro superiore di sinistra

Nel traferro superiore di destra

Nel traferro superiore di destra

Confermano le facili previsioni. Calcoliamo le forze in gioco. Utilizzeremo la formula classica che, come abbiamo visto, fornisce risultati più che accettabili con tali traferri.

L'induzione nel traferro di destra vale ora 0,396 \, {\rm{T}} per cui la forza di attrazione, che dipende dal quadrato dell'induzione, diventa il 100 \cdot \left( {\frac{{0,396}}{{1,23}}} \right)^2  \cong 10\% di quella iniziale, quindi circa 70 \, {\rm{N}}.
La forza di attrazione sulla colonna di sinistra è invece molto maggiore. L'induzione nei traferri è infatti di 1,58 \, {\rm{T}}, quindi la forza è il 100 \cdot \left( {\frac{{1,57}}{{1,23}}} \right)^2  \cong 163\% di quella inizialmente esistente sulla colonna di destra, quindi circa F_{sin}=1141 \, {\rm{N}}.
Quella di destra si può ora staccare facilmente.
L'energia magnetica è ora di W_c=0,41 \, {\rm{J}}, diminuita.
A questo punto gli specialisti di cui parlavo prima, annunciano l"intrappolamento del flusso magnetico": da lì il flusso non lo sposterà più nessuno (se non la famosa bobina che qui, per ora, non c'è).
L'idea "geniale" viene giustificata dal fatto che la forza sulla colonna di destra quando viene di nuovo avvicinata è debole, mentre su quella di sinistra rimane molto forte.
Spiegazioni teoriche?
Dimostrazioni?
Formule?
Retaggi del passato: roba per J. C. Maxwell e company!
Guardare su Youtube per credere ed imparare!
Basterebbe però premere la colonna di destra verso i gioghi in modo da ottenere un traferro di 0,1 mm. La situazione simmetrica si ripristina ed il flusso intrappolato si libera, miracolosamente e senza bobina.

Traferri di nuovo uguali ma minori (0.1:0.1)

Ecco la configurazione con entrambi i traferri di 0,1 mm, identica alla precedente, con, ovviamente, i valori di induzione che si modificano per la diversità dei traferri. In particolare diminuisce l'induzione nel traferro di sinistra ed aumenta quella del traferro di destra. Nei quattro traferri i valori di induzione diventano uguali. L'output di femm mostra il valore in un punto.

traferro di sinistra

traferro di sinistra

L'energia magnetica di questa configurazione è ancora minore perché, per raggiungerla, le forze di attrazione eseguono un lavoro positivo. L'induzione è di circa 1,08 T e le forze di attrazione, identiche sulle due colonne laterali, saranno il 100 \cdot \left( {\frac{{1,08}}{{1,23}}} \right)^2  \cong 77\% di quella iniziale, quindi circa 540N


Nota

Nella simulazione con FEMM è stata usata Mixed come condizione al contorno con c0 = 106

Un'animazione per concludere

Già che ci siamo ecco una piccola animazione che illustra il movimento delle linee con lo spostamento di una colonna, quella di destra in questo caso, mentre l'altra rimane ferma.
L'allontanamento della colonna destra "intrappola" il flusso nella colonna di sinistra; ma per liberarlo basta riportare la colonna di destra nella stessa posizione da cui era partita.
Chi non riesce a liberarlo, semplicemente non sa quale sia la chiave per aprirgli la porta. E nemmeno la cerca. E forse non la vede nemmeno mettendogliela sotto il naso.

Aggiungo

Nella prima situazione esaminata, quella in cui c'è solo la colonna di destra che dista un millimetro dai gioghi, il flusso è "intrappolato" nel "air gap" (fa più effetto di "traferro", un nome di cui il flusso può facilmente liberarsi) di destra.
"Più intrappolato di così!", esclamerebbe un osservatore ingenuo.
Ma non lo è abbastanza, ed i teorici dell'intrappolamento lo sanno.
Avvicinando la colonna di sinistra ai gioghi, il flusso infatti si "intrappola" nel "air gap" di sinistra.
Chissà perché!
Ora sì che è veramente intrappolato!
Da qui nessuno lo smuoverà più (tranne la bobina, ovviamente!).
Chissà perché!
E chissà perché solo la bobina ha il potere di liberarlo!<br / La risposta si trova sui "siti specializzati" ovviamente!
Dove, naturalmente, non si trova solo questa perla dell'intrappolamento. Perché, le leggi fisiche, non vanno scritte matematicamente, no: sono sensazioni, impressioni indotte da un inequivocabile video su Youtube.

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Commenti e note

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di ,

Ho ripreso in mano oggi FEMM, e mi sono accorto che ho dimenticato come usarlo :(. Una nota sulla psicologia della "ricerca fantasiosa". Una persona coinvolta in uno di questi progetti spesso critica ferocemente (e giustamente) gli altri progetti, dicendo che non possono funzionare... Mi ricorda "Peras nobis imposuit Juppiter duas..." :)

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di ,

L'analisi è sicuramente rigorosa ed ottimale, ma non si parla ancora del Parallel Path così come descritto da J. Flynn. Mancherebbe ancora la bobina ...

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di ,

Ottimo articolo. Finalmente si vede l' argomento analizzato con precisione e rigore scientifici. Bravo Admin!

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di ,

Bell'articolo. Non ho seguito le discussioni a cui ti riferisci, quindi non comprendo bene le tue conclusioni. Complimenti per il lavoro fatto.

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