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Coppie e forze per macchine elettriche

Indice

Introduzione

L'articolo sull'energia magnetica si concludeva con l'osservazione che, in un sistema elettromeccanico, il movimento è legato alla variazione dell'energia magnetica. Il campo magnetico si può immaginare come un serbatoio che, da un lato, scambia energia con il sistema elettrico, dall'altro con il sistema meccanico. Lo scambio con il sistema elettrico avviene mediante la forza elettromotrice provocata dalla variazione del flusso magnetico per la legge di Faraday-Lenz.


Energia meccanica e campi magnetici

bilanci energetici

bilanci energetici

La figura schematizza il bilancio energetico in un motore elettrico. Il generatore fornisce, in un certo intervallo di tempo dt, l'energia totale dWg che si suddivide in dWJ, energia dispersa in calore, e dWe energia per il campo magnetico, o energia elettrica netta. L'energia elettrica netta si ripartisce tra energia che rimane nel campo magnetico, dWλ ed energia che si trasforma in lavoro meccanico, dWm. Il bilancio energetico è allora esprimibile con

dWg = dWJ + dWλ + dWm

oppure, riferendosi all'energia elettrica netta con

dWe = dWλ + dWm

  • Nota sui segni: convenzionalmente, nello scrivere la precedente equazione, si fa riferimento ad un motore elettrico, quindi ad una conversione di energia elettrica in energia meccanica. I termini dWe e dWmsono con segno positivo in quanto positiva è, per convenzione, l'energia erogata da un generatore, per il quale si assume positiva la corrente uscente dal terminale a potenziale più alto; positiva è inoltre l'energia meccanica uscente, poiché si assume che la forza magnetica esegua un lavoro meccanico positivo. Nel funzionamento come generatore i due termini diventano negativi, ma l'equazione non si modifica.

Indicando con ds la traslazione nel verso della forza F agente e con l'angolo di rotazione, espresso in radianti, nel senso della coppia agente C si avrà, rispettivamente per i moti traslatori e rotatori

\text{d}L=F \cdot \text{d}s = \text{d}W_m

\text{d}W_e=\text{d}W_\lambda+F \cdot \text{d}s

e

\text{d}L=C \cdot \text{d}\theta = \text{d}W_m

\text{d}W_e=\text{d}W_\lambda+C \cdot \text{d} \theta

Il calcolo della coppia (o della forza)

Per determinare la forza (o la coppia) che produce lavoro, occorre allora calcolare la differenza tra l'energia elettrica netta prodotta dal generatore e la variazione dell' energia magnetica immagazzinata nel campo, quindi dividerla per lo spostamento (o per l'angolo).

L'energia magnetica, a pari configurazione geometrica di una struttura meccanica, dipende dalla corrente nei circuiti o dal flusso magnetico prodotto da magneti permanenti. Modificando la configurazione, l'energia magnetica varia, anche mantenendo inalterate le sorgenti del campo magnetico. L'energia magnetica può allora essere espressa come funzione di un parametro che identifica una configurazione ( spostamento s, o angolo di rotazione θ) e della causa che produce il campo (corrente o forza magnetomotrice) , oppure dell'effetto prodotto da tale causa (flusso magnetico). Nel piano cartesiano λ,i si hanno allora varie curve di magnetizzazione che dipendono dal parametro geometrico. Nella figura che segue sono rappresentate due curve di magnetizzazione ( θA e θB) per un'ipotetica struttura in cui l'energia magnetica dipende da un angolo di rotazione, θ

Al punto di funzionamento A sulla caratteristica θA, caratterizzato da una corrente IA e da un flusso concatenato λA, corrisponde l'energia magnetica data dall'area O A \lambda_A=W_{\lambda_A}; al punto di funzionamento B, sulla caratteristica θB, caratterizzato dalla corrente IB e dal flusso concatenato λB, corrisponde l'energia magnetica data dall'area O B \lambda_B= W_{\lambda_B}.

Il tratto di curva che unisce A con B rappresenta i diversi punti di funzionamento cosrrispondenti alle diverse configurazioni geometriche che si hanno nel periodo transitorio che porta da A a B.

L'area

\lambda_A A B \lambda_B=\int_{\lambda _A }^{\lambda _B } {i \cdot \text{d}\lambda }

rappresenta l'energia elettrica netta erogata dal generatore durante il transitorio.

Nella figura stessa poi si mette in evidenza, utilizzando la suddivisione dell'area OAλBO nelle aree parziali A,B,C,D, come l'area OABO, quindi l'area delimitata dalle caratteristiche di magnetizzazione iniziale e finale e dalla curva di transizione tra punto di lavoro iniziale e finale, corrisponda al lavoro meccanico ,in quanto differenza tra l'energia elettrica netta e la variazione di energia magnetica. La coppia ottenuta valutando quell'area finita è la coppia media agente durante la variazione Δθ.

Lo spostamento in figura avviene con una legge qualsiasi. Importanti sono due tipi di spostamento: orizzontale e verticale. Nel primo il flusso non cambia, quindi è detto a flusso costante; nel secondo invece è la corrente che non cambia, per cui è detto a forza magnetomotrice costante.

Spostamento a flusso costante

Nel movimento a flusso costante è nulla l'energia elettrica netta. Lo mette in evidenza, oltre alla formula, la stessa figura, confrontata con quella dello spostamento generico: le aree parziali A e B sono entrambe nulle.

Flusso costante

Flusso costante

Si ha allora che il lavoro meccanico è dato dal decremento di energia magnetica. Quindi

C \cdot \Delta \theta = - \Delta W_\lambda

quindi, considerando uno spostamento infinitesimo

C=-\frac {\text{d}W_\lambda}{\text{d} \theta}

Espressa perciò l'energia magnetica in funzione dell'angolo θ e del flusso λ, la coppia ne è la derivata parziale rispetto a θ, cambiata di segno.

C =- \frac{\partial }{{\partial \theta }}W_\lambda  \left( {\lambda ,\theta } \right)

Analoga definizione ovviamente per uno spostamento lineare.

F =- \frac{\partial }{{\partial s }}W_\lambda  \left( {\lambda ,s } \right)


Spostamento a forza magnetomotrice costante

Nel caso di uno spostamento a forza magnetomotrice costante, l'energia elettrica netta non è nulla. La figura lo evidenzia in quanto le aree di tipo A e B non sono nulle. Il lavoro meccanico è sempre dato dall'area tra le caratteristiche di magnetizzazione iniziale e finale, l'area OABO, che ora però si può calcolare in modo più conveniente, come la differenza tra la coenergia finale W'_{\lambda_B} (area OIABO), e la coenergia iniziale W'_{\lambda_A}(areaOIAAO).

Forza magnetomotrice costante

Forza magnetomotrice costante

Si ha allora che il lavoro meccanico è dato dall'incremento della coenergia magnetica. Quindi

C \cdot \Delta \theta = \Delta W'_\lambda

quindi, considerando uno spostamento infinitesimo

C=\frac {\text{d}W'_\lambda}{\text{d} \theta}

Espressa perciò la coenergia magnetica in funzione dell'angolo θ e della forza magnetomotrice i, la coppia ne è la derivata parziale rispetto a θ.

C =\frac{\partial }{{\partial \theta }}W'_\lambda  \left( {i , \theta } \right)

Analoga definizione ovviamente per uno spostamento lineare.


F =\frac{\partial }{{\partial s }}W'_\lambda  \left( {i , s } \right)

Un paio di esempi

Calcolare una forza

es.1

es.1

tra le due superfici affacciate. E' noto il flusso magnetico e l'area A delle facce. Immaginando uniforme il campo nel traferro di sezione A, l'energia magnetica in esso immagazzinata, ricorrendo al concetto di energia volumica, e ponendo  B_0=\frac{\Phi}{A} si può scrivere l'espressione dell'energia magnetica immagazzinata in funzione della distanza s tra le superfici affacciate.

W_\lambda   = \frac{1}{{2\mu _0 }} \cdot \left( {\frac{\Phi }{A}} \right)^2  \cdot A \cdot s Quindi derivando rispetto ad s e cambiando di segno si ottiene la forza:

F =  - \frac{\partial }{{\partial s}}\left[ {\frac{1}{{2\mu _0 }} \cdot \left( {\frac{\Phi }{A}} \right)^2  \cdot A \cdot s} \right] =  - \frac{1}{{2\mu _0 }} \cdot \frac{{\Phi ^2 }}{A}=-\frac 1 2 \cdot \frac {B_0^2}{\mu_0}\cdot A

Il segno negativo indica che si tratta di una forza contraria al verso assunto positivo, quindi di attrazione.


Calcolare una coppia

Motore a Riluttanza

Motore a Riluttanza

La figura mostra la struttura di un motore a riluttanza. Per il funzionamento come tale, l'alimentazione dell'avvolgimento deve essere in corrente alternata. Qui immaginiamo che l'avvolgimento di N = 1000 spire sia alimentato da una corrente continua di I=10 \, \text{A}. Vogliamo calcolare la coppia agente sul rotore nella posizione di figura. La profondità, perpendicolare al piano del disegno, è L=20 \, \text{cm} La caratteristica di magnetizzazione dell'acciaio al silicio utilizzato (M 15 steel ) per statore e rotore è

Per un primo calcolo, molto approssimato, possiamo pensare che il sistema sia lineare, quindi che conti solo il traferro, cioè che tutta la forzamagnetomotrice dell'avvolgimento serva per la tensione magnetica al traferro. Complessivamente esso ha una lunghezza di t=10 \, \text{mm} e poiché la totale forza magnetomotrice dell'avvolgimento è di N  I =10 \times 10^3=10^4 \, \text{A},il campo al traferro è:

H_t=\frac {N  I}{t}=\frac {10^4}{10 \times 10^{-3}}=10^6 \, \frac {\text{A}}{\text{m}}

L'induzione vale perciò

B_t=\mu_0  H=4 \pi \times 10^{-7} \times 10^6=1,256 \, \text{T}

Avendo ipotizzato che conti solo il traferro il sistema è lineare e l'energia e la coenergia coincidono.

Il vuolume del traferro è funzione dell'angolo θ, quindi anche l'energia

Vt = LtRmθ

con

R_m=\frac {\frac {D_{ti}} 2 +\frac {D_{te}} 2  }{2}=\frac {10+11}{4}=5,25 \, \text{cm}

L'espressione della coenergia è allora esprimibile con

W'_\lambda=\frac 1 2  B_t  H_t \cdot L  t  R_m  \theta

La cui derivata rispetto a θ dà la coppia

C=\frac 1 2  B_t  H_t  L  t  R_m

Eseguiamo i calcoli

C=\frac 1 2 \cdot 1,256 \times 10^6 \times 2 \times 10 ^{-1} \times 10 \times 10^{-3} \times 5,25 \times 10^{-2}=65,9 \, \text{N m}

La formula della coppia ricavata possiamo leggerla anche così: è la coenergia magnetica racchiusa in un volume di traferro la cui lunghezza sottende un arco di un radiante (57,3°). Tale coenergia dipende dal quadrato dell'induzione. Un'induzione, ad esempio, inferiore del 5% dà luogo ad una coppia inferiore del 10%. E' chiaro allora che il valore appena trovato è sicuramente in eccesso. Abbiamo ipotizzato che tutta la forzamagnetomotrice sia spesa per il percorso in aria. Sicuramente non è così. L'induzione reale sarà inferiore ad 1,256 T. Occorre verificare l'effettiva induzione nel Ferro, quindi la tensione magnetica necessaria. Non è certo un calcolo facile, ma, ormai lo conosciamo, c'è almeno un sofware che ci aiuta. Riicorriamo allora al programma FEMM per affinare i nostri calcoli. Ed ecco il risultato.

distribuzione dell

distribuzione dell'induzione

Ecco l'andamento dell'induzione sulla superficie della parte fissa che si affaccia al traferro

Induzione al traferro lungo lo statore

Induzione al traferro lungo lo statore

L'induzione media è leggermente inferiore ad 1,2 T.

Ma con FEMM si può fare di più: permette di calcolare proprio la coenergia per qualsiasi posizione del rotore. Calcoliamola allora nella posizione iniziale e dopo una rotazione di un grado.

Troviamo i valori

W'_\lambda=56,20 \, \text{J}

W'_\lambda=57,14 \, \text{J}

Quindi

\Delta W'_\lambda = 0,94 \, \text{J}

La rotazione che determina l'aumento della coenergia è

\Delta \theta=\frac {\pi}{180}=0,0175 \, \text{rad}

La coppia media agente in questa rotazione è

C=\frac {\Delta W'_\lambda}{\Delta \theta}=53,7 \, \text{N m}

Bibliografia e links

  • Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko

    Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko

  • Elettrotecnica generale - Giovanni Someda

    Elettrotecnica generale - Giovanni Someda

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Commenti e note

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di ,

Buongiorno e complimenti per l'articolo! Nel caso di spostamento a corrente costante con alimentazione in alternata, per corrente costante si intende il suo massimo? Grazie

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