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Indice

1 Introduzione
2 Nota importante
3 Breve conclusione
4 Riferimenti
- 4.1 estratto dal documento linkato dell'azienda Perin

Introduzione

Questo articolo nasce come ampliamento di quella definita da un utente folle discussione] sui generatori sincroni dove "è normale accettare scostamenti fuori dal mondo".
Io scrivevo di una escursione di 8 Hz (da 53 Hz a 45 Hz) presente nel transitorio di un gruppo elettrogeno quando passa da vuoto a pieno carico.
Premetto subito che io non ho mai installato gruppi elettrogeni (sono un elettrotecnico da poco: un ex insegnante di scuola media superiore ora in pensione da oltre dieci anni e, come si sa, "chi sa fa e chi non sa insegna"). L'esperto a quel punto sentenziava che "se davvero a fronte di una variazione di carico il generatore variasse la frequenza di 8 Hz sarebbe un disastro".
La mia affermazione si basava su un grafico presente in un testo affidabile, e per me la sentenza catastrofica dell'esperto, era esagerata. L'unica spiegazione che vi ho dato è che non aveva compreso di cosa si parlava (capita, non era la prima volta). In questo caso si stava discutendo di un transitorio da vuoto a carico e non di una situazione a regime permanente o di qualche piccola variazione di carico.
Il grafico è il seguente

è tratto, come detto, dal testo Gruppi elettrogeni edito da TNE;
rappresenta la variazione di frequenza nel passaggio da vuoto a pieno carico di un gruppo elettrogeno;
lo scostamento massimo in regime transitorio del valore di frequenza rispetto al valore nominale, è molto diverso da quello che che ci sarà a regime e la sua durata è limitata;
si riferisce a gruppi elettrogeni la cui potenza è in generale molto minore dei gruppi di centrale

Ho deciso perciò di ampliare la follia di quella discussione ricavando l'espressione analitica della variazione di frequenza di un gruppo di generazione quando fa fronte ad una variazione improvvisa del carico elettrico.
Ognuno poi trarrà le conclusioni che preferisce.

Schemi a blocchi

Ricordo che gli schemi a blocchi rappresentano il rapporto tra la grandezza in uscita e la grandezza in ingresso, detto funzione di trasferimento. Forniscono pertanto una espressione matematica che permette di stabilire come varia l'uscita al variare dell'ingresso. L'espressione è ricavata in base alla trasformata di Laplace che trasforma equazioni differenziali in equazioni algebriche: le derivate diventano moltiplicazioni per la variabile complessa indicata con "s", Le integrazioni divisioni per "s". Inalterate rimangono le relazioni di proporzionalità.
Ricavata la funzione di trasferimento tra le grandezze che interessano, antitrasformando l'espressione ottenuta si ottiene l'andamento nel tempo della grandezza di interesse.

In un articolo di qualche tempo fa, era stato ricavato il legame tra le variazioni di frequenza e di potenza di un gruppo di generazione. Una variazione del carico provoca una variazione della frequenza, che pilota la potenza erogata. Il regolatore sensibile alla variazione di frequenza non riporta esattamente la frequenza al valore iniziale, che supponiamo sia la nominale $(50 \, \text{Hz})$ . Questo tipo di regolazione è la regolazione primaria. Per riportare la frequenza al valore nominale, occorre intervenire su altri parametri del regolatore ( regolazione secondaria). Lo schema a blocchi cui si era arrivati era il seguente

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La variazione di frequenza determina la variazione di potenza $Δ P 1$ la cui entità dipende dalla potenza regolante $K R$ del gruppo, con un tempo di risposta definito dalla costante di tempo $T R$ caratteristica del sistema di regolazione.

La variazione di potenza $Δ P 2$ dipende da un'azione programmata, che può esserci o meno, il tempo di risposta è lo stesso e la potenza regolante disponibile $K B$ è legata alla potenza regolante $K R$ .

La regolazione primaria oltre che essere pilotata dalla semplice variazione di frequenza, come nel caso del blocco rappresentato (azione proporzionale), per una risposta più pronta può in genere tenere conto anche della velocità con cui tale variazione avviene (azione derivativa).
La regolazione primaria proporzionale è detta tachimetrica, quella derivativa accelerometrica ed il blocco che la rappresenta è il seguente

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$T 1$ è la costante di tempo dell'azione accelerometrica

Bilancio delle potenze di una rete con un unico gruppo generatore

Oltre al generatore della rete fanno parte motori ed utilizzatori statici. I motori azionano utilizzatori di vario tipo come pompe, ventilatori, macchine utensili. Gli utilizzatori statici sono lampade, stufe, forni, alimentatori di apparecchiature elettroniche.
La velocità del gruppo come quella dei motori è legata alla frequenza, per cui la variazione di frequenza determina una variazione della loro energia cinetica, cui corrisponde una potenza accelerante se la frequenza aumenta, decelerante se diminuisce.
Consideriamo una situazione di regime ad una frequenza $f *$ in cui esiste perfetto equilibrio tra potenza generata $P_i^*$ e potenza utilizzata $P_U^*$

Supponiamo ci sia una richiesta di potenza $Δ P$ . Essa dà luogo all'immissione di una nuova potenza $Δ P i$ che non è immediatamente uguale a $Δ P$ . Durante la fase transitoria la frequenza sta infatti variando, quindi variano sia la potenza assorbita dai carichi, di un valore che indichiamo con $Δ P U$ , che le energie cinetiche di tutte le macchine rotanti. Quest'ultima variazione corrisponde alla potenza accelerante che indicheremo con $Δ P a$
Potremo allora scrivere il seguente bilancio tra le potenze

$P_i^* + \Delta {P_i} = P_U^* + \Delta {P_u} + \Delta {P_a} + \Delta P$
che, tenendo conto dell'uguaglianza tra le potenze nel regime iniziale diventa

$Δ P i - Δ P = Δ P U + Δ P a$

dove si è posto

$Δ P U = K U Δ F$

che dice che la variazione di potenza assorbita dai carichi è proporzionale alla variazione della frequenza. La costante di proporzionalità vale

${K_U} = \alpha \frac{{P_U^*}}{{{f^*}}}$
dove $α$ è un coefficiente medio che dipende dalla natura dei carichi, in genere compreso tra 1 e 2. Per i vari tipi di carichi si hanno i seguenti valori

1,5 < α < 2

$3 \le \alpha \le 4$ (pompe centrifughe)

$2 \le \alpha \le 3$ (ventilatori)

α = 1

( macchine utensili e apparecchi di sollevamento)

α = 0

(carichi puramente resistivi)

$\Delta {P_a} = {K_W} \cdot s \cdot \Delta F$
questa dice che la potenza accelerante, che a regime è ovviamente nulla, è proporzionale alla velocità con cui varia lo scostamento di frequenza. La costante di proporzionalità vale
${K_W} = \frac{{{P_N}}}{{{f^*}}}{T_a}$
dove
$P N$ è la potenza nominale del gruppo generatore
${T_a} = \frac{{2{W^*}}}{{{P_N}}}$
è il tempo di avviamento della rete essendo $W *$ l'energia cinetica complessiva nel regime iniziale, cioè la somma dei tempi di avviamento di tutte le macchine rotanti. Orientativamente si può dire che esso è compreso tra i 10 e 14 secondi riferendosi a gruppi di centrali idroelettriche.

Sostituendo nel bilancio delle potenze abbiamo

$\Delta {P_i} - \Delta P = \left( {{K_U} + {K_W}s} \right)\Delta F$
rappresentabile nello schema a blocchi

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NB: le espressioni precedenti sono le trasformate di Laplace delle corrispondenti grandezze dipendenti dal tempo

Soffermiamoci sull'ultimo schema ed ipotizziamo che alla richiesta di potenza il gruppo non ne immetta di nuova, cioè sia $Δ P i = 0$ . Abbiamo lo schema

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dove
$T_W=\frac{K_W}{K_U}$
Se ipotizziamo una variazione a gradino della richiesta, quindi un valore costante $P c$ di $Δ P$ all'istante iniziale , la trasformata è $\Delta P = \frac {P_c}{s}$ per cui avremo

$\Delta F = - \frac{{{P_c}}}{s} \cdot \frac{1}{{{K_U}}} \cdot \frac{1}{{1 + s{T_W}}}$
la cui trasformata inversa, quindi la variazione di frequenza nel tempo, è data da
$\Delta f(t) = - \frac{{{P_c}}}{{{K_U}}}\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{{{T_W}}}}}} \right)$
Al nuovo regime la variazione conseguente di frequenza è
$\Delta f = - \frac{{{P_c}}}{{{K_U}}}$
In pratica i carichi esistenti diminuiscono la loro potenza assorbita di $Δ P U = K U Δ f = - P c$ , che è proprio la potenza nuova richiesta. Ciò avverrebbe comunque ad una frequenza troppo bassa, inaccettabile.
Il sistema però prevede una $Δ P i > 0$ per cui, come si vedrà, lo scarto di frequenza sarà molto inferiore in quanto la potenza regolante non sarà solo quella dei carichi, ma anche quella del gruppo generatore, ed è molto maggiore.

Funzione di trasferimento della rete in regolazione primaria

Supponiamo che la regolazione secondaria sia disattivata: $\to \Delta B=0$
Riunendo i blocchi che rappresentano la funzione di trasferimento del gruppo e quella della rete, otteniamo

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Armandosi di un po' di pazienza per effettuare alcuni passaggi matematici

$\begin{array}{l} \left( {\Delta {P_i} - \Delta P} \right)\left( {\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}} \right) = \Delta F\\ \Delta {P_i} = - \Delta F\left( {{K_R}\frac{{1 + s{T_1}}}{{1 + s{T_R}}}} \right)\\ \left( { - \Delta F{{\left( {{K_R}\frac{{1 + s{T_1}}}{{1 + s{T_R}}}} \right)}_i} - \Delta P} \right)\left( {\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}} \right) = \Delta F\\ - \Delta P\left( {\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}} \right) = \Delta F\left( {1 + {K_R}\frac{{1 + s{T_1}}}{{1 + s{T_R}}}\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}} \right) \end{array}$
si arriva dapprima alla
$\frac{{\Delta F}}{{ - \Delta P}} = \frac{{\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}}}{{1 + {K_R}\frac{{1 + s{T_1}}}{{1 + s{T_R}}}\frac{1}{{{K_U} + s{K_W}}}}} = \frac{{1 + s{T_R}}}{{\left( {{K_U} + s{K_W}} \right)\left( {1 + s{T_R}} \right) + {K_R}\left( {1 + s{T_1}} \right)}}$
quindi, alla funzione di trasferimento della rete in regolazione primaria, cioè il rapporto tra la variazione di frequenza e la richiesta di potenza

$\frac{{\Delta F}}{{ - \Delta P}} = \frac{1}{{{K_N}}} \cdot \frac{{\omega _0^2\left( {1 + s{T_R}} \right)}}{{{s^2} + 2\xi {\omega _0}s + \omega _0^2}} \quad [1]$

dove si è posto

$K N = K R + K U$ detta energia regolante della rete

$\xi = \frac{1}{2}\frac{{{K_U}{T_R} + {K_W} + {K_R}{T_1}}}{{\sqrt {{T_R}{K_W}{K_N}} }} = \frac{1}{2}\frac{{\rho {T_R} + \sigma {T_a} + {T_1}}}{{\sqrt {{T_R}\sigma {T_a}\left( {1 + \rho } \right)} }}$ : coefficiente di smorzamento

${\omega _0} = \sqrt {\frac{{{K_N}}}{{{T_R}{K_W}}}} = \sqrt {\frac{{1 + \rho }}{{{T_R}\sigma {T_a}}}}$ : pulsazione naturale
con, nell'ipotesi di $f * = f N$
$\sigma = \frac{{{f_0} - {f_1}}}{{{f_N}}}=\frac{P_N}{f_NK_R}$ : statismo del gruppo

$\rho = \frac{{{K_U}}}{{{K_R}}} \le \alpha \sigma$
A proposito di quest'ultimo parametro, $ρ$ , che rappresenta il rapporto tra la potenza regolante dei carichi e quella del gruppo di generazione, possiamo ricavarne un valore. Ad esempio con uno statismo del 5% $\to \sigma=0,05$ , ponendo ad esempio $α = 2$ otteniamo $K_U \le 0,1K_R$ .

Andamento della frequenza ad una richiesta di potenza $P c$

Immaginiamo ci sia un'improvvisa richiesta di potenza di valore $\Delta P(t) = P_c ,\quad t>0$ : matematicamente corrisponde alla funziona a gradino e la sua trasformata di Laplace è $\Delta P=\frac{P_c}{ s}$ . Sostituendo nella [1] si ottiene la trasformata della risposta in frequenza ed antitrasformando l'andamento della frequenza nel tempo. Lasciando ai più bravi i passaggi matematici dell'antitrasformazione, mi limito a riportare il risultato, ricopiandolo dal testo che sto consultando

$\Delta f(t) = - \frac{P_c}{{{K_N}}}\left( {1 - \frac{{{e^{ - \left( {{\omega _0}\xi } \right)t}}}}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}\left( {\sin \left( {\omega t + \delta } \right) - {\omega _0}{T_R}\sin \omega t} \right)} \right) \quad [2]$

dove
$\omega = {\omega _0}\sqrt {1 - {\xi ^2}}$
$δ = arccosξ$
Osserviamo subito che, a regime, la variazione di frequenza definitiva è
$\Delta f =-\frac{P_c}{K_N}$

Se la confrontiamo con la variazione di frequenza che ci sarebbe stata nel caso non ci fosse stata nuova erogazione di potenza da parte del gruppo, vediamo che è molto inferiore, di un ordine di grandezza almeno, in quando $K N > > K U$ . Di conseguenza la quota di potenza cui i carichi devono rinunciare a conclusione della regolazione primaria è nettamente inferiore alla richiesta di carico $\Delta {P_U} = {K_U}\Delta f = - \frac{{{K_U}}}{{{K_N}}}{P_c}$

Riepilogo

E' stata ricavata l'espressione $[2]$ , dell'andamento nel tempo della variazione di frequenza di un gruppo generatore conseguente ad una improvvisa variazione del carico. I parametri da cui dipende tale andamento sono

$T R$ : costante di tempo del regolatore
$T a$ : tempo di avviamento della rete
$T 1$ : costante di tempo accelerometrica
$σ$ : statismo
$P N$ : potenza nominale del gruppo
$P c$ : potenza richiesta
$P_U^*$ : potenza inizialmente erogata
$α$ : coefficiente sulla natura dei carichi compreso tra 0 e 3
$f *$ : frequenza del regime iniziale

Alcuni parametri come $T R, T 1, T a,$ non è semplicissimo reperirli. Ad ogni modo si possono almeno ipotizzare valori orientativi. Con un semplice foglio EXCEL ho allora ricavato alcuni andamenti che qui riporto.
Si suppone che sia $P_c=P_N-P_U^*$

Esempio 1

Per un gruppo idroelettrico si possono supporre, secondo il testo indicato nella bibliografia, i seguenti valori
$\sigma =0,05; \quad T_R=10 \, \text{s}; \quad T_1= 3 \, \text{s}; \quad T_a = 12 \, \text{s}; \quad \alpha=1,5; \quad \quad f^*=50 \, \text{Hz}$
$\frac {P_U^*}{P_N}=0{,}9$
L'ipotesi è che il carico arrivi alla $P N$ , quindi $P c = 0,1 P N$

Supponiamo non esista l'azione accelerometrica $\to T_1=0$

Ripristiniamo l'azione accelerometrica e poniamo $\frac {P_U^*}{P_N}=0,5$

Nota importante

Per gli esempi che seguono è necessaria una doverosa premessa.
Ho assunto l'espressione ricavata dal testo universitario del Paolucci, inserito nella bibliografia, come valida anche per gruppi elettrogeni.
Come detto all'inizio io sono un piccolo insegnante, ora in pensione, e non sono riuscito a reperire una documentazione tecnica attuale da cui dedurre con precisione i dati di un gruppo elettrogeno da inserire nell'espressione trovata.
I moderni regolatori hanno tempi di risposta da uno a tre secondi per cui ho inserito costanti di tempo notevolmente inferiori a quelle di un gruppo tipico di una centrale idroelettrica.
Ma sono dati, ripeto, che non derivano da una documentazione tecnica seria, che non sono riuscito a reperire in rete, pur con qualche richiesta a costruttori di gruppi elettrogeni che mi hanno ignorato.

Ad ogni modo ho deciso lo stesso di ricavare alcuni grafici riservandomi di modificarli eventualmente con dati più realistici che spero di poter trovare o che qualcuno magari mi possa inviare.

Esempio 2

Inserendo i dati seguenti $\sigma =0{,}06; \quad T_R=0{,}3 \, \text{s}; \quad T_1= 0,005 \, \text{s}; \quad T_a = 0{,}8 \, \text{s};\quad f^*=53 \, \text{Hz}$
$\frac {P_U^*}{P_N}=0 \to$ (passaggio da vuoto a carico)
si ottiene questo grafico

abbastanza simile al primo proposto dal testo Gruppi Elettrogeni.

Esempio 3

Esiste una norma specifica per i gruppi elettrogeni per navi, la NAV-13-A068 che prescrive:

un grado di statismo del regolatore pari al 4%
in transitorio, una deviazione massima istantanea dal valore nominale del $\pm 7%$ il che corrisponde ad un'escursione tra la minima ammessa e la massima di $7 \, \text{Hz}$

$\sigma =0{,}04; \quad T_R=1{,}2 \, \text{s}; \quad T_1= 0,25 \, \text{s}; \quad T_a = 1{,}5 \, \text{s};\quad f^*=52 \, \text{Hz}$
$\frac {P_U^*}{P_N}=0 \to$ (passaggio da vuoto a carico)

Esempio 4

In questo caso ho inserito i parametri in modo da soddisfare le specifiche STANAG 1008 per gruppi elettrogeni navali: statismo 3%, variazioni di frequenza in transitorio 4%

$\sigma =0{,}03; \quad T_R=0{,}8 \, \text{s}; \quad T_1= 0,25 \, \text{s}; \quad T_a = 1{,}5 \, \text{s}; \quad f^*=51{,}5 \, \text{Hz}$

$\frac {P_U^*}{P_N}=0 \to$ (passaggio da vuoto a carico)

Breve conclusione

Quanto ha potuto leggere chi ha avuto la pazienza di arrivare fino a qui, costituisce il massimo delle mie attuali conoscenze che, come ripeto ancora, non dispongono dei dati di gruppi reali elettrogeni.
Se le mie analisi sono errate, se le variazioni di frequenza in regime transitorio sono molto inferiori, l'esperto non deve far altro che dimostrarlo, non con colline di parole o semplici aggettivi come il "folle" riferito alla discussione di cui questo articolo ha voluto essere un'estensione, ma con dati e formule.
Io resto in attesa e penso anche i lettori interessati all'argomento.

Riferimenti

Lezioni di trasmissione dell'energia elettrica - Antonio Paolucci - Cleup 1998

estratto dal documento linkato dell'azienda Perin

La stretta relazione fra la frequenza e il numero di giri determina la necessità di regolare la velocità del motore primo al fine di affrontare le variazioni di carico durante il funzionamento e mantenere la frequenza entro livelli di accettabilità.Esistono due tipi di regolatori di giri:

i regolatori meccanici;
i regolatori elettronici.

I regolatori meccanici reagiscono alla variazione del carico con una variazione di giri del motore, ossia diminuendo il regime di rotazione del motore in caso di presa di carico. La velocità di rotazione a vuoto deve pertanto essere superiore a quella a pieno carico, in misura tale da permettere il mantenimento della frequenza in un campo accettabile a cavallo del valore nominale previsto in tutto l'intervallo di carico sopporta-bile dal gruppo elettrogeno stesso. L'ampiezza di tale campo é definita statismo di frequenza ed é espressa come tolleranza percentuale rispetto al valore nominale della frequenza: le normative internazionali stabiliscono uno statismo di frequenza di ± 2 % per la migliore classe di regolazione. Trovano applicazione per gruppi elettrogeni di piccola potenza (comunque sotto i 200 kVA) e non sono adeguati per il funzionamento in parallelo.I regolatori di giri elettronici garantiscono una variazione di giri del motore in funzione del carico applicato molto piccola, con uno statismo prossimo allo 0 % (modalità isocrona) entro tutto l'intervallo di carico sopportabile dal gruppo elettrogeno stesso. Questo non si verifica nei transitori di applicazione e sgancio dei carichi: in questi casi si ha una diminuzione o un incremento temporanei del numero di giri del motore, e successivamente una "reazione" dell'apparato di regolazione che provvede a riportare il motore in prossimità del regime di rotazione nominale. Quanto maggiore sarà il gradino di carico applicato al gruppo elettrogeno tanto maggiore sarà la caduta transitoria del numero di giri.

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Variazioni di frequenza di un generatore sincrono in regolazione primaria

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