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Serie di Fourier: una lettura alternativa

Indice

Premessa

Lo sviluppo in serie di Fourier è uno strumento molto potente per l'analisi dei segnali periodici ed è già stato ampliamente trattato anche su queste pagine; tuttavia quello che a mio parere è sempre mancato è almeno una giustificazione se non proprio una vera dimostrazione.
Ovviamente una trattazione esauriente e corretta non può prescindere da strumenti matematici adeguati, forse al di là delle conoscenze del lettore medio di queste pagine.
Cercherò tuttavia di dare una lettura della serie di Fourier che, partendo dalle conoscenze matematiche di una scuola superiore, sia in grado di chiarire, magari a livello anche un po' intuitivo, cosa c'è dietro questo strumento.
Prima di entrare nel vivo sono tuttavia necessari alcuni richiami sugli spazi vettoriali; mi perdoneranno i matematici, questo non è e non vuole essere un corso di algebra lineare, rigore e metodo matematici lasceranno spesso il posto a intuizione e senso comune.

Spazi vettoriali

Il piano: uno spazio di dimensione due

Forse la prima cosa che viene studiata parlando di vettori è un piano, con i due assi cartesiani e delle "frecce" che dall'origine O arrivano ad un punto V di coordinate (x,y), ad esempio in figura 1a vediamo un vettore \vec v che termina nel punto (2,3).

f1.png

f1.png

Una rappresentazione più corretta è tuttavia quella di figura 1b, quì abbiamo sostituito gli assi cartesiani con due vettori \hat{x} e \hat{y} di lunghezza unitaria ed ortogonali tra di loro chiamati versori degli assi. Il nostro vettore \vec v viene ora individuato dalla somma di opportuni multipli dei due vettori \hat{x} e \hat{y} cioè nel caso del nostro esempio:
\vec v=2\hat{x}+3\hat{y} o più in generale \vec v=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}
indicando con vx e vy la lunghezza delle componenti di \vec v sulle rette cui appartengono \hat{x} e \hat{y}.
InserisciquilaformulainLatexQuesti due vettori si chiamano una base ortonormale, orto... perchè i due vettori sono tra loro ortogonali e ...normale perchè i due vettori hanno lunghezza unitaria. Questa base non è l'unica possibile, in effetti si dimostra che due qualsiasi vettori, purchè non paralleli -o come si dice più correttamente linearmente indipendenti- sono una base di questo spazio vettoriale. Quella ortonormale è solo molto più comoda delle altre per far di conto.
Il fatto che siano proprio due gli elementi della base necessari a generare il nostro spazio vettoriale si indica dicendo che il piano, ha dimensione due ed in definitiva ciascun vettore viene univocamente individuato da una coppia di numeri - (2,3) nell'esempio di prima.

Proiezioni e prodotto scalare

Cerchiamo ora il metodo per trovare la lunghezza delle due proiezioni di un vettore, l'elementare costruzione trigonometrica di figura 2

f2.png

f2.png

mostra che la lunghezza della proiezione sulla retta di \hat{x} vale:
v_x=\overline{OV_x}=\overline{OV} cos(\theta)
Questa proiezione si può simbolicamente indicare con l'operazione di prodotto scalare, indicata con un punto,e che nel caso del nostro spazio vettoriale si può definere tra due vettori \vec v e \vec w come
\vec v  \cdot \vec w=\| \vec v \| \| \vec w\|  cos (\theta)
dove il simbolo \| \vec v \| indica la lunghezza, chiamata più propriamente norma, di \vec v , lo stesso per \vec w e θ è l'angolo compreso tra i due vettori.
Nel caso poi che uno dei due vettori abbia norma (lunghezza) uno la formula si semplica in
\vec v  \cdot \hat{x} = \| \vec v \|   cos (\theta)
proprio come richiesto per la proiezione di figura 2. Quindi il vettore proiezione di \vec v sulla retta di \hat{ x} diventa un multiplo del versore secondo il coefficiente appena calcolato:
\vec v_x = v_x \hat{x} = (\vec v \cdot \hat{x}) \hat{x}
e infine sommando le componenti lungo le rette di tutti gli elementi della base si arriva all'identità:
\vec v = (\vec v \cdot \hat{x})\hat{x} + (\vec v \cdot \hat{y})\hat{y}
Cioè possiamo affermare che "un vettore è uguale alla somma delle sue proiezioni secondo una certa base, queste proiezioni si trovano con il prodotto scalare"

Formalizziamo la definizione di norma

La norma assimilata alla lunghezza è un concetto molto intuitivo nel caso finora trattato di uno spazio vettoriale su di un piano ma in vista di alcune generalizzazioni che faremo abbiamo bisogno di qualcosa di più formale. Se pensassi di fare il prodotto scalare di un vettore con se stesso, con le definizioni prima date otterrei dato che si ha che θ = 0 e quindi cos(θ) = 1:
\vec v \cdot \vec v = \|\vec v\|  \|\vec v\| cos(0)= \|\vec v\|^2
In definitiva posso definire la norma come:
\| \vec v \|=\sqrt{\vec v \cdot \vec v}

...e di ortogonalità

anche la definizione di ortogonalità finora implicitamente usata - angolo compreso = 90°- soffre di essere poco formale, ma rivedendo la definizione di prodotto scalare prima data:
\vec v \cdot \vec w = \| \vec v \| \| \vec w \| cos(\theta)
ci si accorge che se l'angolo compreso vale 90° il coseno vale 0 e quindi anche il prodotto scalare vale 0, quindi
\vec v \perp \vec w \iff \vec v \cdot \vec w =0

Generalizzazione degli spazi vettoriali

Dal piano allo spazio

Quello che abbiamo visto può essere esteso anche ad altri casi, la cosa più ovvia è forse quella di passare da un piano allo spazio tridimensionale, abbiamo solo bisogno di tre vettori ortonormali come base ed in questo caso si avrebbe che:
\vec v = (\vec v \cdot \hat{x})\hat{x} + (\vec v \cdot \hat{y})\hat{y} + (\vec v \cdot \hat{z})\hat{z}
indicando come d'uso con x, y e z le direzioni dei tre assi.

Altri spazi vettoriali

La nozione intuitiva di spazio vettoriale, "un mondo di frecce" non è altro che uno dei possibili spazi vettoriali. In matematica uno spazio vettoriale è un insieme di "oggetti" su cui siano definiti somma e multiplo. Quindi svariati sono i possibili "oggetti" per formare uno spazio vettoriale alcuni sono ad esempio:

  • tutte le possibili frecce appunto su cui sappiamo eseguire somma e multiplo (come fatto nel primo paragrafo)
  • tutti i possibili gruppi di 2,3,..,n numeri, di solito rappresentati in colonne
  • tutti i possibili polinomi, anche due polinomi possono essere sommati o moltiplicati per un numero con le regole dell'algebra comunemene note
  • tutte le possibili funzioni, idem come sopra, posso sommare due funzioni o moltiplicare una funzione per un numero.

Dimensioni

Anche le dimensioni di uno spazio vettoriale non sono limitate a tre, ad esempio "gruppi di n numeri" è uno spazio vettoriale di dimensione n, e questo può essere 4, 5,.. 1000.... Semplicemente le basi di questi spazi non saranno formate da due o tre elementi linearmente indipendenti ma da 4, 5,.. 1000....
Ma si può andare oltre, posso pensare anche a spazi di dimensione infinita, con la base formata da infiniti elementi. A questa specie appartiene ad esempio lo spazio dei polinomi.
Una base per questo spazio è piuttosto semplice da immaginare:
P(x)=\left \langle 1,x,x^2,x^3, \ldots \right \rangle
..con multipli opportuni di questi elementi posso "costruire" qualsiasi polinomio (in effetti il simbolo "parentesi triangolare" appena introdotto significa proprio "i multipli che vuoi tu di quello che ci sta dentro).

Prodotto scalare

Anche il prodotto scalare può essere generalizzato per lavorare sugli spazi vettoriali sopra accennati, in effetti una operazione per chiamarsi prodotto scalare deve solo rispettare alcune definizini assiomatiche (che non riporterò per semplicità). Il concetto importante è che comunque definito il prodotto scalare valgono tutte le relazioni prima geometricamente ricavate nel piano quindi in qualsiasi spazio vettoriale dotato di prodotto scalare e norma è vero che:

  • un vettore può essere proiettato su di un altro
  • due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare vale zero
  • posso calcolare la norma di un vettore

Riassumendo

Quanto sopra porta ad affermazioni che se pur intuitivamente lasciano all'inizio perplessi sono perfettamente lecite e talvolta anche utili. Ad esempio: "calcolare la proiezione di un polinomio su di un altro", "calcolare la norma di una funzione" o "queste due funzioni sono ortogonali"!
Non si deve tentare di visualizzare uno spazio di dimensione 4 o uno spazio di funzioni, non è possibile, ma dobbiamo affidarci agli strumenti matematici che si sono dimostrati efficaci per due e tre dimensioni e per così dire procedere in "navigazione strumentale".
Così ad esempio pensando ad uno spazio V di dimensione 4, se ho una sua base ortonormale che si indica con (i vettori in senso più generale si denotano non con la freccia sopra ma scrivendoli in grassetto):
V=    \left \langle \mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3},\mathbf{e_4} \right \rangle
allora posso scrivere un qualsiasi suo vettore come somma delle sue proiezioni sulla base
\mathbf{v}=(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_1})\mathbf{e_1}+(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_2})\mathbf{e_2}+(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_3})\mathbf{e_3}+(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_4})\mathbf{e_4}
o equivalenemente chiamando ciascun coefficiente con
c_1=(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_1}) \ldots c_4=(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_4})
\mathbf{v}=c_1\mathbf{e_1} + c_2\mathbf{e_2} +c_3\mathbf{e_3} +c_4\mathbf{e_4}

La serie di Fourier

Ora abbiamo gli strumenti necessari ad affrontare la serie di Fourier efficacemente.

Lo spazio delle funzioni periodiche

Abbiamo già visto che "tutte le possibili funzioni" sono uno spazio vettoriale dato che è possibile sommarle o moltiplicarle per un numero. Pensiamo ora alle funzioni periodiche di periodo T; se sommo due di tali funzioni otterrò ancora una funzione periodica di periodo T, inoltre ovviamente anche il multiplo di una funzione periodica è ancora periodica e con lo stesso periodo; quindi anche "tutte le possibili funzioni periodiche di periodo T" è uno spazio vettoriale.

Un prodotto scalare

Ora abbiamo necessità di un prodotto scalare per operare su tale spazio, non siamo entrati nel dettaglio della definizione generale di questo prodotto, prenderemo per buono che, se f(t) e g(t) sono due funzioni periodiche di periodo T , allora questa è una buona definizione:
\mathbf{f(t)} \cdot \mathbf{g(t)} =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)g(t) \,dt
Ci limiteremo a notare che in effetti questa operazione ha due vettori (funzioni) in ingresso e che essendo un integrale definito fornisce un numero come risultato.
Per inciso questa definizione ha necessità che il prodotto f(t)g(t) sia integrabile, ma questa limitazione è di scarso peso, perché in pratica tutte le "normali" funzioni che rappresentano segnali soddisfano il criterio.
E' interessante notare che facendo la norma di una funzione con questo prodotto scalare ottengo:
\| \mathbf{f(t)} \|=\sqrt{ \mathbf{f(t)} \cdot \mathbf{f(t)}}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (f(t))^2 \,dt}
cioè quello che si chiama valore quadratico medio o valore efficace di un segnale.

Una base

Come detto essendo uno spazio vettoriale di dimensione infinita la base sarà formata da infiniti elementi. Anche quì prenderemo per buono che la successione:
1,cos(\omega t),sin(\omega t),cos(2\omega t),sin(2\omega t), \ldots
con \omega=\frac{2\pi}{T}
sia una base dello spazio vettoriale delle funzioni periodiche di periodo T.
Verifichiamo solo che sia una base ortonormale:
per l'ortogonalità deve essere che il prodotto scalare tra due qualsiasi elementi sia zero.
Il caso che uno dei due sia il primo elemento della base, cioè 1, si riduce all'integrale di un seno o di un coseno su di un periodo o su un suo multiplo intero il quale vale zero:
1 \cdot cos(n \omega t)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos(n \omega t) \,dt= \frac{1}{n 2 \pi} \left[sin(n \omega t) \right]_{0}^{T}=
=\frac{sin(n 2 \pi)-sin(0)}{n 2 \pi}=\frac{0-0}{n 2 \pi}=0

  • quindi qualsiasi termine in seno o coseno è ortogonale al termine 1.

Per gli altri casi trattiamo il generico prodotto tra l' n-esimo e m-esimo termine. Gli integrali sotto sebbene appena laboriosi da fare sono in realtà semplici, si può integrare due volte per parti o usare un po' di trigoometria, comunque non li svolgerò per non appesantire troppo la trattazione
cos(n \omega t) \cdot cos(m \omega t)=
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} cos(n \omega t) cos(m \omega t) \,dt=
\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} & \mbox{se }n=m 
\\ 0 & \mbox{se }n \ne m \end{matrix}\right.
sin(n \omega t) \cdot sin(m \omega t)=
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} sin(n \omega t) sin(m \omega t) \,dt=
\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} & \mbox{se }n=m 
\\ 0 & \mbox{se }n \ne m \end{matrix}\right.
sin(n \omega t) \cdot cos(m \omega t)=
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} sin(n \omega t) cos(m \omega t) \,dt=0
In questa sede è più interessante analizzare il loro risultato:

  • nel caso di prodotti tra seni o tra coseni notiamo che abbiamo zero appena m è diverso da n, cioè si potrebbe dire che le varie armoniche sono tra loro ortogonali.
  • mentre nel caso di prodotto "misto" tra un seno ed un coseno abbiamo sempre zero, cioè le componenti in seno ed in coseno sono tra loro ortogonali anche a parità di frequenza.

Quindi in definitiva quella proposta è una base ortogonale, verifichiamo ora che la norma di tutti gli elementi sia uno.
I primi due integrali sopra, considerati nel caso n=m, ci forniscono proprio il risultato del prodotto scalare di un elemento della base con se stesso cioè proprio la norma al quadrato.
Notiamo che questa non vale 1 ma \frac{1}{2} quindi occorre moltiplicare tutti gli elementi in seno e coseno per \sqrt{2} per normalizzare la nostra base.
Nel caso dell'elemento 1 abbiamo invece che molto semplicemente:
\mathbf{1} \cdot \mathbf{1}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\,dt=1
Cioè questo elemento ha già norma uno, in definitiva la nostra base ortonormale dello spazio delle funzioni periodiche di periodo T diventa:
\left \langle 1,\sqrt{2}cos(\omega t),\sqrt{2}sin(\omega t),\sqrt{2}cos(2\omega t),\sqrt{2}sin(2\omega t), \ldots \right \rangle=\left \langle \mathbf{e_0},\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}, \ldots \right \rangle
Per inciso quella proposta non è l'unica base possibile. Un'altra molto usata si basa sui numeri complessi e la formula di Eulero e se pur perde un po' di vista l'idea reale di segnale è piuttosto pratica per far di conto. Tuttavia questa rappresentazione richiama ancora un mondo di seni e coseni e pare piuttosto solo un modo diverso di scrivere la stessa cosa.
Ci sono anche basi radicalmente diverse, ad esempio si può dimostrare che -sotto certe ipotesi- anche una successione di onde quadre è una base dello spazio delle funzioni periodiche e quindi qualsiasi segnale può essere pensato anche come la somma di infinete onde quadre....http://link.aip.org/link/JMAPAQ/v39/i8/p4226/s1
Più in generale -ancora sotto certe ipotesi- una successione di multipli in frequenza di una qualsiasi funzione periodica può essere usata come base! Vedere http://link.aip.org/link/JMAPAQ/v40/i7/p3654/s1

La serie di Fourier

Ora abbiamo tutti gli strumenti necessari per concludere:
come già visto il nostro vettore (funzione) sarà dato dalla somma dei multipli della base secondo i coefficienti ricavati con il prodotto scalare:
ed il generico i-esimo coefficiente sarà:
c_i=\mathbf{f(t)} \cdot \mathbf{e_i}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t){e_i}(t)\,dt
dove sostituendo le espressioni dei vettori della base ci avviciniamo alla classica formulazione dei coefficienti della serie di Fourier:

  • Nel caso di e0:

c_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt

  • Nel caso di un coseno:

a_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sqrt{2}cos(n \omega t)\,dt=\frac{\sqrt{2}}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n \omega t)\,dt

  • E nel caso di un seno:

b_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sqrt{2}sin(n \omega t)\,dt=\frac{\sqrt{2}}{T}\int_{0}^{rT}f(t)sin(n \omega t)\,dt
ed infine sostituiamo nell'espressione che permette di "ricostruire" il segnale originale come somma delle sue componenti i vettori della base ed i coefficienti appena calcolati:
\mathbf{f(t)}= \ldots + c_n \mathbf{e_n(t)} + \ldots
f(t)=c_0+a_1 \sqrt{2} cos( \omega t) + b_1 \sqrt{2}  sin( \omega t) + \ldots
Cominciamo adesso a riconosce delle formule familiari... solo quelle radici di 2 sono un po' "antiestetiche", questo si risolve semplicemente accorpando le due radici di due come segue:
f(t)= \ldots + c_n e_n(t) + \dots =
 \ldots + \left( \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sqrt{2} cos(n \omega t) \, dt \right) \sqrt{2} cos(n \omega t) + \ldots =
 =\ldots + \left( \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos(n \omega t) \,dt \right) cos(n \omega t) + \ldots
arrivando finalmente alle note formule
c_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t) cos(n \omega t) \,dt
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t) sin(n \omega t) \,dt
f(t)=c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t) \right)

Conclusioni

Ben lontano da voler essere un trattato di matematica, queste righe vorrebero essere una breve carrellata su quello che, nella mia opinione, è la vera "anima" della scomposizione in serie di Fourier. A chi volesse approfondire consiglio -a parte qualche buon libro di algebra lineare e di analisi- Wikipedia dove questi argomenti sono trattati piuttosto esaurientemente.
Inoltre questa notazione simbolica semplifica molto e generalizza tutte le dimostrazioni rigorose necessarie nel caso di un approccio più formale al'argomento.
Permette infatti, non solo di "scrivere" molto meno per ad esempio dimostrare la convergenza, ma anche e soprattutto di svincolarsi dal particolare prodotto scalare usato ed avere risultati più generali.
Spero comunque che anche queste brevi note possano gettare un po' di luce su questo affascinante agomento

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Commenti e note

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di ,

Che Fourier sia stato influenzato dalla dimostrazione di Rumford della non validita' della teoria del "calorico" nei suoi studi sperimentali sulla foratura dei cannoni, non credo ci siano dubbi, ma direi che il lavoro analitico di Fourier esposto in quel capolavoro che e' la "Théorie analytique de la chaleur" e' di natura puramente matematica. http://www.archive.org/stream/thorieanalytiqu00fourgoog#page/n11/mode/2up Se esistesse comunque un documento a riguardo ne sarei veramente interessato.

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di ,

La visione vettoriale della trasformata di Fourier è in effetti molto chiarificatrice: tra l'altro rende facile immaginare il passaggio da una trasformata a un'altra trasformata, perchè basta cambiare la base ortonormale. Una base ortonormale interessante, su cui feci la mia tesi di laurea, è quella costituita dalle funzioni di Walsh, che danno luogo alla trasformata di Walsh. Assumono solo due valori, +1 e -1, che si alternano a intervalli di tempo multipli interi, ma non costanti, di un unico valore (periodo di clock). Sono quindi pensabili come "digitali", ma non si tratta solo di onde quadre tradizionali. Un'applicazione ormai diffusissima è nei codici di spreading utilizzati per i nostri telefonini UMTS.

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di ,

Per la guerra poi... secoli di evoluzione hanno selezionato gli individui più forti, capaci di "calpestare" gli altri nella spietata lotta per la sopravvivenza! Poi ieri (qualche secolo fa) le "convenzioni" della vita sociale.... ma nel profondo del nostro DNA c'è ancora ben "stampato" qualcosa tipo "Mors tua vita mea"

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di ,

Confermo: Fourier studiava la propagazione del calore, che fosse per i cannoni non lo sapevo, ma non ho motivo di dubitare sia vero! La scuola scientifica francese è poi sempre stata orientata all'applicazione pratica, in contrapposizione invece quella tedesca (Gottinga etc. etc) che era mossa da uno spirito più "teorico". Direi comunque che entrambi i metodi si sono rivelati molto produttivi!

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di ,

Ammesso che la notizia di AlanB sia vera, è comunque vero che in fin dei conti tutto l'operato umano è una guerra: nella maggior parte dei casi le armi sono anche solo semplici frasi di partecipazione ad un forum, ma l'obiettivo è pressoché sempre lo stesso, mettersi bene in luce; primeggiare.

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di ,

Pochi sanno che Fourier ha inventato tutto questa teoria per studiare la dissipazione del calore nei cannoni dopo che è stato esploso un colpo. Lungi da essere una mera speculazione scientifica c'era l'applicazione pratica, eccome! L'ennesimo esempio di come le scoperte scientifiche sono spinte da necessità belliche!

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di ,

Premettendo che non sono matematico e non ho interesse personale nel difendere la categoria devo però ammettere trovo la matematica affascinante. Certo all'inizio si fa una gran fatica tra regole e definizioni che "sembrano inventate apposta per farci ammattire" ma poi pian piano i tasselli cominciano ad andare al loro posto e si incastrano e si comincia a capire "il perchè". Quì inizia la "vera" matematica, certo arrivare quì richiede fatica e tempo -non si possono bruciare le tappe, non esiste la matematica espressa- ma poi si comincia ad intuire che è uno strumento potente dove fantasia e inventiva sono illimitate. Pensate: non si passa attraverso un muro "nemmeno David Copperfield!"; e invece: non esiste un numero che al quadrato faccia -1... me lo invento, lo chiamo i e ci costurisco sopra praticamente tutta la matematica!

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di ,

Appoggio e confermo quello che dice Isidoro. E poi per i cultori della matematica una formula "elegante" ha la sua bellezza.

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di ,

I matematici devono essere "burocrati" o "ragionieri", altrimenti si rischiano delle cantonate non indifferenti (esperienza personale, persi tre giorni su un conto che non veniva perche' l'avevo impostato in modo pratico, senza verificare le condizioni di esistenza). Poi nella pratica comune non si usa tutta la teoria che c'e` dietro, ma averne una idea di male non ne fa. In fondo si puo` usare benissimo il telefonino anche senza sapere la matematica che viene usata e che e` stata inventata circa 200 anni fa :)

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di ,

Da ignorante che sono. A me ha gettato poca luce in materia, ma, (e vuole essere una battuta di spirito), leggendo il tuo articolo, mi pare di capire che i "matematici" in genere, sono più borucratici che conclusivi. Se è vero che, laddove tu scrivente affermi di avere trascurato la forma, (almeno così capisco io), allora mi sorge il dubbio che, almeno per i più, non basti tutta la loro esistenza per concludere qualcosa di più, che non siano le quattro operazioni elementari.

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di ,

Beh, che devo dire Carloc? Un sincero grazie per questo interessante contributo al nostro tentativo di proporre nel web argomenti trattati in modo serio. Hai saputo ben inquadrare in quale ambito matematico deve essere collocata la scomposizione in serie di Fourier. Per i matematici probabilmente è normale vederla come applicazione degli spazi vettoriali, ma tu hai saputo illustrarla anche ai non specialisti come me, illuminandola con una nuova luce. Ovviamente ora ElectroYou, dove potrai realizzare un blog personale, aspetta altri tuoi illuminanti contributi!

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di ,

Bravo! Proprio un bell'articolo! Anche io condivido con te l'idea che la vera "anima" della scomposizione di Fourier sta nel capire a come ci si è arrivati a formularla (come poi tutte le cose del resto).

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