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NUMB3RS: digressione sui razionali

Indice

Abstract

Tutto questo parlare di paradossi mi riporta in mente una di quelle cose che ancora oggi mi lascia perplesso quando si affaccia all'orizzonte dei miei pensieri. Certo non è una novità, essendo oggetto di discussione sin dai tempi di Pitagora e della sua scuola di matematica ma, vuoi per la semplicità dei ragionamenti che permette di capirli profondamente, di farli propri convincendosi così della loro bontà, vuoi per la stranezza che invece ne discende, mi pare una cosa su cui valga la pena di scrivere due righe.

Parliamo di numeri; sarebbe un argomento veramente vasto e difficile, ma noi invece sfioreremo soltanto l'insieme dei numeri razionali cercando in particolare di dare risposta alla domanda "Ma quanti sono?" o meglio "Quanti ce ne sono in un dato intervallo" o meglio ancora "Ma con i razionali posso rappresentare qualsiasi numero?".

Alcuni insiemi di numeri

Come al solito cercherò di mantenere al minimo il formalismo matematico necessario assumendo note e dimostrate proprietà ed oggetti come alcuni insiemi, le operazioni ed i criteri di confronto, cose che credo almeno operativamente assodate.

Numeri naturali

Partiremo dall'insieme dei numeri naturali

\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,\ldots \right\}

un oggetto ben noto a tutti noi.

Presto ci accorgiamo che questo insieme non è proprio sufficiente a descrivere tutti i numeri che ci servono, basta pensare alla necessità di rappresentare quantità negative, minori di zero, debiti se vogliamo.

In matematica si dice che questo insieme non è chiuso rispetto la sottrazione

cioè se prendo due qualsiasi numeri naturali e faccio la loro differenza non è detto che il risultato appartenga allo stesso insieme dei naturali, come dire che 2 − 3 "non si può fare".

Introduciamo quindi i ...

Numeri interi

Anche questo mi pare un oggetto piuttosto noto, la definizione formale non è proprio semplicissima, ma comunque se scrivo

\mathbb{Z}=\left\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \right\}

credo sia ben chiaro che cosa intendo.

Con i numeri interi si riesce a risolvere tutti i problemi che coinvolgono differenze tra elementi di questo insieme, cioè \mathbb{Z} è chiuso rispetto la sottrazione.

D'altra parte la proverbiale divisione di una mela tra due bambini ci fa subito capire che invece \mathbb{Z} non è chiuso rispetto la divisione.

se prendo due qualsiasi numeri interi e li divido non è detto che il risultato appartenga ancora allo stesso insieme dei numeri interi, 3\,:\,2 "non si può fare senza resti".


Arriviamo quindi ai ...

Numeri razionali

Anche in questo caso, sebbene sia un oggetto abbastanza noto, la definizione formale è un po' tricky, la prima cosa che mi viene in mente è il rapporto di due interi

\mathbb{Q}=\left\{ \frac{a}{b}\; ; \; a,b \in \mathbb{Z} \; ; \; b \ne 0 \right\}

come dire l'insieme di tutti i rapporti tra due numeri, a e b, entrambi appartenenti all'insieme dei numeri interi e con in più il vincolo che il denominatore sia diverso da zero

Questa definizione è tuttavia errata perchè include nell'insieme elementi come \frac{2}{3}\;,\;\frac{4}{6}\;,\;\frac{6}{9}\;\ldots che in realtà essendo equivalenti rappresentano lo stesso numero.

Uno sguardo a questo disegno

480px-Konstrukcja_liczb_wymiernych.svg.png

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dovrebbe chiarire che ciascun numero razionale è in realta definito da una delle rette passanti per l'origine e per uno, e quindi infiniti, punti sul piano individuati dagli interi rappresentati sugli assi. Ad esempio la retta con i pallini verdi rappresenta \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\ldots=\frac{-1}{-2}=\frac{-2}{-4}=\ldots che è un solo numero razionale

Complicandosi un po' la vita si potrebbe dire che, sotto opportune ipotesi, un numero razionale è "una classe di equivalenza tra coppie ordinate di numeri interi"


Però scrivere

\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\quad\text{se}\quad a,b \in \mathbb{Z}\; ; \; b\ne 0

come dire il rapporto tra due interi è un numero razionale, se il denominatore è diverso da zero

è corretto ed è sufficiente per quello che voglio scrivere.

Questa seconda è sottilmente diversa dalla prima; infatti, mentre non è vero che i razionali sono tutti i rapporti come quelli, è invece vero che tutti i rapporti come quelli sono numeri razionali, eventualmente dopo riduzione, semplificando.

Razionali

Dopo questa breve introduzione arriverei al dunque...

Quanti sono?

Tratterò velocemente e molto intuitivamente questo punto, mi perdonino i matematici perchè scriverò cose folli.

La risposta che sento mormorare là in fondo "Infiniti...." non basta, ci sono vari "gradi", varie "forze" di infinito, ci sono insomma infiniti più infiniti di altri. La prima impressione è che, essendo formate da coppie di numeri interi, i razionali siano molti di più degli interi stessi. D'altra parte ogni razionale ha infinite rappresentazioni equivalenti (i punti colorati nelle rette sopra), insomma il risultato, "strano" pure lui, è che

\mathbb{Q} è un insieme infinito numerabile cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra \mathbb{Q} ed \mathbb{N} , i due insiemi hanno la stessa cardinalità.

come dire che i loro infiniti hanno la stessa "forza".

Ci sono tanti razionali quanti interi (così come ad esempio i numeri pari sono tanti quanti tutti i numeri)

Già tutto ciò pare abbastanza contro-intutivo, forse folle, ma il bello deve ancora venire...

Quanti ce ne sono in un intervallo

Prendiamo due qualsiasi numeri razionali e cerchiamo di capire quanti altri ce ne sono tra loro.

Siano x_1=\frac{a_1}{b_1}\ne x_2=\frac{a_2}{b_2}\quad\text{con}\quad a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z}\quad b_1,b_2\ne 0 due numeri razionali qualsiasi (distinti)


come dire due rapporti tra interi qualsiai a condizione che non siano equivalenti e i numeratori non siano zero


direi che la loro semisomma s=\frac{x_1+x_2}{2} è sempre compresa tra i due, ma dato che come abbiamo già visto a volte l'intuizione fallisce controlliamo....

se sono distinti uno sarà maggiore dell'altro, facciamo l'ipotesi che x1 < x2, se fosse l'inverso non cambierebbe niente scambiando i pedici. Allora si potrebbe scrivere il maggiore come

x_2=x_1+d\quad \text{con}\quad d>0

come dire il più grande uguale al più piccolo più una quantità d positiva

allora la semisomma diventa

s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_1+x_1+d}{2}=x_1+\frac{d}{2}>x_1

come dire il minore più una quantità positiva, cioè la semisomma è maggiore del più piccolo

sostituendo invece l'altro si ottiene

s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_2-d+x_2}{2}=x_2-\frac{d}{2}<x_2

come dire il maggiore meno una quantità positiva, cioè la semisomma e minore del più grande


Riassumendo si ha x1 < s < x2 come volevasi dimostrare. Il risultato si può leggere come dati due numeri qualsiasi distinti ne esiste almeno un'altro compreso tra i due.

Ancora non abbiamo tirato in ballo il fatto che questi numeri siano razionali, ci si potrebbe chiedere se questa operazione di semisomma sia sempre possibile con qualsiasi coppia di razionali e se il risultato è un'altro numero razionale, proviamo a svolgerla con le classiche regole della somma delle frazioni

s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}}{2}=\frac{a_1b_2+a_2b_1}{2b_1b_2}

esaminiamo il risultato, al numeratore abbiamo due prodotti di interi, sempre possibili, e poi la loro somma, anch'essa sempre possibile quindi nessun problema. Il risultato sarà poi un numero intero.

A denominatore abbiamo un prodotto, l'unico possibile problema sarebbe avere questo prodotto a zero, ma questo non è possibile, all'inizio, quando abbiamo definito i due razionali, abbiamo esplicitamente escluso che b1 o b2 siano zero quindi anche per il loro prodotto non c'è questa possibilità. Anche questo risultato sarà comunque un numero intero.

Allora anche la semisomma s sarà il rapporto di due interi, cioè un numero razionale.

Effettivamente sarebbe stato sufficiente notare che \mathbb{Q} è chiuso rispetto le quattro operazioni fondamentali.

In definitiva abbiamo dimostrato tra due numeri razionali qualsiasi ma distinti c'è sempre un terzo. Questo si chiama in matematica un insieme denso


Ripetendo lo stesso procedimento ad libitum

è facile immaginare che in effetti ci siano tanti razionali quanti si vuole in qualsiasi intervallo anche piccolo -che non significa niente ma enfatizza il punto- e cioè sembra proprio che qualsiasi numero voglia rappresentare ci sarà un razionale in grado di farlo.

Il sogno di Pitagora

A questo punto io sarei convinto dell'affermazione conclusiva del paragrafo precedente, abbiamo un edificio matematico proprio elegante e solido.

Abbiamo un insieme di numeri, i razionali, che è in grado di rappresentare qualsiasi quantità, abbiamo le quattro operazioni elementeri, i criteri di ordine che permettono di confrontarne due.

Pare però che -il dubitativo è d'obbligo parlando del leggendario matematico- siamo in buona compagnia, Pitagora avesse in effetti la convinzione che questa fosse la "base" su cui costruire la matematica.

SFORTUNATAMENTE TUTTO CIO' E' SBAGLIATO, la leggenda narra che un certo Ippaso, giovane allievo di Pitagora, si presentò al maestro con una dimostrazione che provava come non potesse esistere un numero razionale che rappresenti la quantità \sqrt{2}. Per tutta risposta il brillante allievo fu fatto affogare dal maestro che non riuscì a sopportare che il suo elegante edificio fosse fatto crollare così miseramente.

Ci sono vari modi di replicare a questa dimostrazione, che ormai oggi può essere fatta senza timori per la propria incolumità; a me piace questo che coinvolge i numeri primi.
Supponiamo che esista un razionale in grado rappresentare la radice di due, questo sarà nella forma

\sqrt{2}=\frac{a}{b}\quad a,b\in\mathbb{N}\quad b\ne 0

dove abbiamo ristretto la definizione di razionale a rapporto di naturali per non complicarci la vita con i segni e cercando così implicitamente la radice aritmetica.

Elevando al quadrato ambo i membri abbiamo

2=\frac{a^2}{b^2}

Pensiamo ora di sviluppare in prodotto di numeri primi i due termini della frazione; indipendentemente da quali siano effettivamente i numeri, sappiamo che deve essere qualcosa tipo

a=p_{a_1}^{\alpha_1}p_{a_2}^{\alpha_2}\ldots p_{a_k}^{\alpha_k}

dove abbiamo i k fattori primi pa di a, ciascuno con il suo esponente intero positivo α

chiarifico la scrittura con un esempio, se \,\!a fosse \,\!180 si avrebbe \,\!180=2^2 \times 3^2 \times 5

procedendo analogamente con b, i suoi h fattori primi pb di esponente intero positivo β e sostituendo si ha

2=\frac{a^2}{b^2}=\frac{\left (p_{a_1}^{\alpha_1}p_{a_2}^{\alpha_2}\ldots p_{a_k}^{\alpha_k}\right)^2}{\left(p_{b_1}^{\beta_1} p_{b_2}^{\beta_2} \ldots p_{b_h}^{\beta_h}\right)^2}=
\frac{p_{a_1}^{2\alpha_1}p_{a_2}^{2\alpha_2}\ldots p_{a_k}^{2\alpha_k}}{p_{b_1}^{2\beta_1} p_{b_2}^{2\beta_2} \ldots p_{b_h}^{2\beta_h}}

ora vediamo cosa abbiamo scritto; a destra ci troviamo una frazione, l'unico modo perché questa sia uguale a due, come richiesto, è che tutti i termini a numeratore si semplifichino con altri uguali a denominatore eccetto un termine pari a due.

Dato che abbiamo solo fattori primi sia a numeratore che denominatore, non sono possibili semplificazioni "incrociate", ciascun fattore primo a numeratore si può semplificare solo con lo stesso fattore primo a denominatore.

Supponiamo pure di essere particolarmente fortunati, si semplificano tutti i fattori eccetto i 2^{2\alpha_2} a numeratore e i 2^{2\beta_2} a denominatore

2=\frac{2^{2\alpha_2}}{2^{2\beta_2}}=2^{2\left(\alpha_2-\beta_2\right)}

si vede che dato il fattore due ad esponente a destra dovrebbe essere \,\!\alpha_2-\beta_2=\frac{1}{2} per rispettare l'uguaglianza, questo è impossibile, gli esponenti dello sviluppo in numeri primi sono interi (e positivi), non c'è proprio modo per far venir fuori 1/2 !

Il punto è che elevando al quadrato a destra tutti gli esponenti divantano doppi, cioè comunque pari, mentre a sinistra ho due che ha esponente uno, dispari...

Verso i reali

Beh questa cosa a me proprio resta strana, possibile che "In un intervallo piccolo a piacere ci siano quanti razionali si vuole" ma questi non siano sufficienti a "beccare" esattamente radice di due? Eppure è così!

In matematica si dice che questo insieme non è completo, il concetto di completezza non è difficile da definire ma non vorrei appesantire troppo. Per riassumere in due parole si potrebbe dire che "giocando" con i razionali si riesce a costruire delle somme di infiniti termini che convergono, cioè danno un risultato finito, ma questo risultato non appartiene allo stesso insieme dei razionali.

Per rappresentare una qualsiasi quantità sono invece necessari i numeri reali, e la loro completezza è assunta per assioma, come dire per definizione.

La formalizzazione dei reali è tuttavia cosa piuttosto ostica, queste note potrebbero essere un punto di partenza.

Conclusioni

In realta è pure molto peggio di quello che sembra da queste righe, i razionali che pure sembrano "così tanti" sono "infinitamente meno" degli irrazionali, se dalla retta dei numeri "togliessimo" tutti i razionali non avremmo in pratica tolto niente, sarebbe ancora possibile rappresentare con accuratezza arbitraria qualsiasi numero.

In effetti Lebesgue, la sua misura e il suo integrale sarebbero illuminanti su questo punto, ma lascerei tranquillamente perdere in questa sede.


La cosa buona è che possiamo tranquillamente continuare a far di conto come abbiamo sempre fatto, qualsiasi conto numerico è sempre tra razionali, invece simbolicamente abbiamo qualche freccia in più ma è facilmente gestibile anche senza tutta la teoria dei numeri che ci stà dietro.

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Commenti e note

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di ,

Bravo Carlo! Sette più sqrt(2)! :-)

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di ,

Sarà perché confondiamo i numeri con oggetti, gli spazi astratti con quelli fisici, sarà perché gli abissi fanno paura, certo è che questa "stranezza", per quanto spiegata rimane sempre sorprendente, come hai saputo metter in evidenza. Grazie carloc!

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di ,

Bello! Bravo! Sette piu`! :)

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di ,

Complimenti! Comprensibile, schematico, scorrevole, fruibile anche da semplici estimatori come me.

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