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Premessa

Chissà qual è la didattica migliore per un argomento di matematica come questo. Qualche tempo fa per risolvere un'equazione differenziale occorreva faticare molto. Ora si va nel sito di WolphramAlpha, si scrive l'equazione, si clicca sul pulsante "=" e si hanno, in pochi secondi, soluzioni analitiche, grafici, e perfino i passaggi, con tante altre informazioni.
Insomma presentare le cose come una volta sembra tempo perso. Però è il tempo che bisogna "perdere", sia per capire ed apprezzare ciò che fa WolphramAlpha, sia per accettarne con coscienza i risultati.
Ho preso perciò un testo di matematica classico, lo Zwirner, per questa piccola lezione sulle equazioni differenziali a coefficienti costanti, fondamentali nell'analisi dei circuiti elettrici e dei sistemi fisici in genere. Ovviamente verificando poi gli esercizi con WolframAlpha

Generalità

Il modello matematico di un qualsiasi sistema fisico in regime variabile conduce alla scrittura di una o più equazioni differenziali. Un'equazione differenziale ordinaria è un'equazione che stabilisce un legame tra una funzione incognita $y = y (t)$ di una variabile $t$ , le sue derivate, e la variabile $t$ stessa. L'ordine, $n$ , dell'equazione è quello della derivata più alta. Può essere scritta nella forma

$F(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime},...,y^{(n)})=0$

Ogni funzione che soddisfa il legame, è detta soluzione o integrale dell'equazione. Risolvere l'equazione significa trovare tutte le soluzioni.
L'equazione si dice in forma normale, quando è data risolta rispetto alla derivata di ordine maggiore, cioè nella forma

$y^{(n)}=f(t, y^{\prime},y^{\prime \prime},...,y^{(n-1)})$

Un'equazione differenziale è lineare se la funzione e le sue derivate compaiono con esponente unitario.
La sua espressione generale è

$y^{(n)} + a_1 (t)y^{(n - 1)} + a_2 (t)y^{(n - 2)} + ... + a_{n - 1}(t) y^{\prime} + a_n (t)y = g(t)$

dove i coefficienti $a i (t)$ ed il termine noto $g (t)$ sono funzioni continue e derivabili in un dato intervallo.
Se $g (t) = 0$ l'equazione si dice omogenea.
Se i coefficienti sono indipendenti da t, quindi se $a i (t) = c o s t a n t e$ con $i = 1,2,.. n$ , l'equazione si dice a coefficienti costanti. Sono le più facili da risolvere e per fortuna le più frequenti nei sistemi fisici. O meglio, quelle che capitano più frequentemente quando per il fenomeno sono accettabili le ipotesi che portano a tali equazioni.

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

L'equazione ha questo aspetto

$y^{(n)} (t) + a_1 y^{(n - 1)}(t) + y^{(n - 2)}(t) + ... +a_{n - 1} y^{\prime}(t) + a_n y(t) = 0 \quad [1]$

La variabile $t$ è sempre reale.
I coefficienti $a i$ possono essere invece numeri complessi.
Le soluzioni possono essere funzioni complesse della variabile reale $t$ .

Consideriamo la funzione

y = e λ t

con

λ = c o s t a n t e

Si ha

$y^{\prime}=\lambda e^{\lambda t} \, , \, y^{\prime \prime}=\lambda^2 e^{\lambda t} \, ...\, y^{(n)}= \lambda^n e^{\lambda t}$

Sostituendo nell'equazione si ottiene

$e^{\lambda t} \left( {\lambda ^n + a_1 \lambda ^{n - 1} + ... + a_{n - 1} \lambda + a_n } \right) =0$

Se $λ$ è una radice dell'equazione

$\lambda ^n + a_1 \lambda ^{n - 1} + ... + a_{n - 1} \lambda + a_n =0 \quad [2]$

la funzione scritta è una soluzione dell'equazione differenziale di partenza.
La [2] è detta equazione caratteristica.

Radici distinte

Se le n radici dell'equazione caratteristica sono distinte
$\lambda_1, \, \lambda_2, \, ...,\lambda_n$
Le funzioni
$y_1=e^{\lambda_1 t}, \, y_2=e^{\lambda_2 t} \,..., \, y_n=e^{\lambda_n t} \,$
sono $n$ soluzioni dell'equazione $[1]$
L'integrale generale della [1] può allora essere scritto nella forma

$y=c_1 e^{\lambda_1 t}+ c_2 e^{\lambda_2 t} + ...+ c_n e^{\lambda_n t} \quad [3]$

dove le $c_i \, (i=1, \, 2, \,.. \, n)$
sono costanti arbitrarie complesse.

Radici multiple

Se una radice, $λ x$ , dell'equazione caratteristica è multipla di ordine $r$ , la funzione

$y=t^m e^{\lambda_x t}$

con

$m \le r - 1$

è soluzione della $[1]$
Quindi se $λ i$ con $(i = 1,2... q)$ sono le (radici dell'equazione caratteristica di molteplicità $r i$ con $\sum\limits_{i = 1}^q {r_i } = n$ l'integrale generale è dato da

$y = \sum\limits_{i = 1}^q {\sum\limits_{k = 1}^{r_i - 1} {c_{ik} } } t^k e^{\lambda _{ik} } \quad [4]$

Coefficienti reali

Se i coefficienti della [1] sono numeri reali, quando l'equazione caratteristica ha come soluzione il numero complesso $α + j ω$ , ha come soluzione anche $α - j ω$ .
Supponendo le due soluzioni di molteplicità r,

$\begin{array}{l} y_1 = t^p e^{(\alpha + j\omega )t} ;y_2 = t^p e^{(\alpha - j\omega t)t} \\ p = (1,2,...r, - 1) \\ \end{array}$

sono soluzioni pure

$\begin{array}{l} y_a=\frac{{y_1 + y_2 }}{2} = t^p \frac{{e^{(\alpha + j\omega )t} + e^{(\alpha - j\omega )t} }}{2} = t^p e^{at} \frac{{e^{j\omega t} + e^{ - j\omega t} }}{2} = t^p e^{at} \cos \omega t \\ y_b=\frac{{y_1 - y_2 }}{{2j}} = t^p \frac{{e^{(\alpha + j\omega )t} - e^{(\alpha - j\omega )t} }}{{2j}} = t^p e^{at} \frac{{e^{j\omega t} - e^{ - j\omega t} }}{{2j}} = t^p e^{at} \sin \omega t \\ \end{array}$

La combinazione lineare

$c_1 y_a + c_2 y_b = t^p e^{at} \left( {c_1 \sin \omega t + c_2 \cos \omega t} \right)$

che è parte dell'integrale generale può essere sostituita dalla

$y_i = At^p e^{at} \sin \left( {\omega t + \alpha } \right)$

con

$\begin{array}{l} A = \sqrt {c_1^2 + c_2^2 } \\ \alpha = \arctan \frac{{c_2 }}{{c_1 }} \\ \end{array}$

Equazioni non omogenee

Se il termine noto $g(t) \ne 0$ la soluzione della [1] si ottiene aggiungendo all'integrale generale della equazione omogenea associata, un integrale qualsiasi $y p (t)$ (particolare) dell'equazione non omogenea. Quindi

$y = \sum\limits_{i = 1}^q {\sum\limits_{j = 1}^{r_i - 1} {c_{ij} } } t^j e^{\lambda _{ij}t }+y_p(t)\quad [5]$

L'integrale particolare $y p (t)$ lo si può trovare ipotizzandolo e verificando che l'equazione sia soddisfatta.
Un metodo più generale è quella della variazione delle costanti arbitrarie detto

Metodo di Lagrange

Consiste nell'assumere, per l'integrale cercato, la forma dell'integrale generale dell'omogenea, sostituendo alle costanti arbitrarie funzioni della variabile indipendente.
Si impone quindi che soddisfi alla [1] e che le n-1 derivate successive di $y p (t)$ si possano eseguire come se i coefficienti-funzioni fossero delle costanti.
Questo comporta $n - 1$ condizioni successive cui gli $n$ coefficienti-funzione devono soddisfare. Si impone infine che $y p (t)$ sia una soluzione della [1], condizione che permette di scrivere l'ennesima condizione che porta al sistema di n equazioni per ricavare gli n coefficienti-funzioni, quindi l'integrale particolare.
Se indichiamo con $\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t)$ gli integrali dell'omogenea associata, le $n$ condizioni sono (tralasciando di indicare la variabile indipendente t)

$\begin{array}{l} c_1^\prime \varphi _1 + c_2^\prime \varphi _2 + ... + c_n^\prime \varphi _n = 0 \\ c_1^\prime \varphi _1^\prime + c_2^\prime \varphi _2^\prime + ... + c_n^\prime \varphi _n^\prime = 0 \\ .......... \\ c_1^\prime \varphi _1^{\left( {n - 2} \right)} + c_2^\prime \varphi _2^{\left( {n - 2} \right)} + ... + c_n^\prime \varphi _n^{\left( {n - 2} \right)} = 0 \\ c_1^\prime \varphi _1^{\left( {n - 1} \right)} + c_2^\prime \varphi _2^{\left( {n - 1} \right)} + ... + c_n^\prime \varphi _n^{\left( {n - 1} \right)} = g(x) \\ \end{array}$

Illustreremo tale metodo con un esempio, ma un altro è il modo di trovare l'integrale particolare nelle equazioni differenziali che descrivono i

Circuiti elettrici

L'equazione differenziale a coefficienti costanti è quella che maggiormente interessa nello studio dei circuiti elettrici. Si ottiene dall'applicazione dei principi di Kirchhoff, ed i coefficienti coinvolgono resistenze, induttanze e capacità che si suppongono costanti.
L'integrale particolare invece si ricava determinando le grandezze a regime con i generatori accesi.
L'equazione omogenea si ottiene spegnendo i generatori della rete, cioè aprendo i rami contenenti generatori di corrente, e sostituendo con un cortocircuito i generatori ideali di tensione.
La soluzione dell'omogenea corrisponde all'evoluzione libera, cioè all'andamento delle grandezze elettriche determinato dall'energia immagazzinata nei componenti accumulatori: induttori e condensatori.
L'integrale generale, soluzione dell'equazione differenziale cui soddisfa la funzione che rappresenta la grandezza incognita, tensione o corrente, è dunque la somma dell'evoluzione libera $y l (t)$ e del regime permanente $y p (t)$ .

$y (t) = y l (t) + y p (t)$

Le costanti arbitrarie di integrazione, che compaiono nell'espressione dell'evoluzione libera, sono univocamente determinate dalle condizioni iniziali, quindi dalle correnti negli induttori e dalle tensioni dei condensatori, esistenti all'istante t=0; da tali grandezze dipende l'energia presente nel circuito all'istante zero. Tali valori sono quelli determinati dal regime esistente prima dell'istante t=0. Le correnti negli induttori non possono infatti cambiare bruscamente, e neppure le tensioni sui condensatori, (principio di continuità) per cui si ha

${i_L}\left( {{0^ - }} \right) = {i_L}\left( {{0^ + }} \right) = {i_L}\left( 0 \right) = {i_{{L_l}}}\left( 0 \right) + {i_{{L_p}}}\left( 0 \right)$
${v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {v_C}\left( {{0^ + }} \right) = {v_C}\left( 0 \right) = {v_{{C_l}}}\left( 0 \right) + {v_{{C_p}}}\left( 0 \right)$

Nelle equazioni precedenti sono note $i_L\left( 0 \right) \, i_{{L_p}}\left( 0 \right) \, v_C\left( 0 \right) \, v_{{C_p}}\left( 0 \right)$ , quindi permettono di scrivere il sistema di equazioni per ricavare le costanti di integrazione presenti nell'evoluzione libera. Per ulteriori particolari può anche dare un'occhiata all'articolo Sistemi lineari in regime variabile

Qualche esercizio

Es.1

Trovare l'integrale generale dell'equazione omogenea
$\frac{{{\rm{d}}^4 y}}{{{\rm{d}}t^4 }} - 13\frac{{{\rm{d}}^2 y}}{{{\rm{d}}t^2 }} + 36y = 0$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono
$\begin{array}{l} \lambda ^4 - 13\lambda ^2 + 36 = 0 \\ \lambda ^2 = \frac{{13 \pm \sqrt {169 - 144} }}{2} = \left\langle \begin{array}{l} 9 \\ 4 \\ \end{array} \right. \\ \Rightarrow \lambda _1 = + 2;\lambda _2 = - 2;\lambda _3 = 3;\lambda _4 = - 3 \\ \end{array}$
L'integrale generale è $y = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t + c 3 e 3 t + c 4 e - 3 t$

che troviamo subito con WolframAlpha, scrivendo

y''''(t)-13y''(t)+36y(t)=0

Ecco l'integrale generale (Differential equation solution)

Es. 2

Trovare l'integrale generale dell'equazione

$\frac{{{\rm{d}}^2 y(t)}}{{{\rm{d}}t^2 }} + y(t) = \frac{1}{{\sin t}}$

Integrale dell'omogenea associata

$\begin{array}{l} \lambda ^2 + 1 = 0 \\ \lambda _{1,2} = \pm j \\ y = c_1 \cos t + c_2 \sin t \\ \end{array}$

Integrale particolare

Usando il metodo di Lagrange, l'integrale particolare ha la forma dell'integrale dell'omogenea; quindi ponendo
$y p = c 1 cos t + c 2 sin t$
dove $c 1$ e $c 2$ sono funzioni di $t$ , si hanno le condizioni
$\begin{array}{l} c_1^\prime \cos t + c_2^\prime \sin t = 0 \\ - c_1^\prime \sin t + c_2^\prime \cos t = \frac{1}{{\sin t}} \\ \end{array}$
Sistema nelle incognite $c_1^\prime,c_2^\prime$ che può essere risolto con Cramer

$\begin{array}{l} \Delta = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\cos t} & {\sin t} \\ { - \sin t} & {\cos t} \\ \end{array}} \right| = \cos ^2 t + \sin ^2 t = 1 \\ c_1^\prime = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}c} 0 & {\sin t} \\ {\frac{1}{{\sin t}}} & {\cos t} \\ \end{array}} \right|}}{\Delta } = - 1 \\ c_2^\prime = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}c} {\cos t} & 0 \\ { - \sin t} & {\frac{1}{{\sin t}}} \\ \end{array}} \right|}}{\Delta } = \frac{{\cos t}}{{\sin t}} \\ \end{array}$

da cui si ricava

$\begin{array}{l} c_1 = - t \\ c_2 = \log \left| {\sin t} \right| \\ \\ y_p \left( t \right) = - t\cos t + \sin t\log \left| {\sin t} \right| \\ \end{array}$
quindi l'integrale generale
$y( t ) = c_1 \cos t +c_2 \sin t - t\cos t + \sin t\log \left| {\sin t} \right|$

Se si vuol fare più presto, basta scrivere in Wolphram alpha

y''+y=1/sint

ed il gioco è fatto! ;-)

Es. 3

Risolvere l'equazione $y^{\prime \prime}(t) - y^{\prime}(t) - 2y = 1$
con le condizioni iniziali
$y^{\prime}(0)=1$
$y (0) = 0$

equazione caratteristica

$\alpha ^2 - \alpha - 2 = 0 \to \alpha_1=-1 \, \; \alpha_2=2$
quindi l'integrale dell'omogenea è
$y = c_1 e^{\alpha _1 t} + c_2 e^{\alpha _2 t}$
$y = c 1 e - t + c 2 e 2 t$

Integrale particolare

Ipotizzziamo $y P = K$
Sostituendo nell'equazione si ha $y=k \to \begin{array}{l} - 2k = 1 \\ k = - \frac{1}{2} \\ \end{array}$

L'integrale generale

è perciò

$y = c_1 e^{-t} + c_2 e^{2 t} - \frac{1}{2}$

Per le condizioni iniziali

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {c_1 + c_2 = \frac{1}{2}} \\ {c_1 \alpha _1 + c_2 \alpha _2 = 1} \\ \end{array}} \right. \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {c_1 + c_2 = \frac{1}{2}} \\ { - c_1 + 2c_2 = 1} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \begin{array}{*{20}c} {c_1 = 0} \\ {c_2 = \frac{1}{2}} \\ \end{array} \\ \end{array}$

La soluzione è $y = \frac{1}{2}\left( {e^{2t} - 1} \right)$

Ma se si vuol fare più presto, basta scrivere in Wolphram alpha

y''(t)-y'(t) -2y(t) =1, y(0)=0,y'(0)=1

ed ecco la soluzione (Differential Equation solution)!

ES. 4

Vediamo infine un classico transitorio RLC serie alimentato da un generatore di tensione continua

$\begin{array}{l}E = 25 \, {\rm{ V}}\\ R = 50 \, {\rm{ }}\Omega \\ L = 100 \, {\rm{ mH}}\\ C = 5 \, {\rm{ }}\mu {\rm{F}} \end{array}$
condizioni iniziali
$\begin{array}{l} {i_L}\left( {{0^ - }} \right) = {i_L}\left( {{0^ + }} \right) = 0\\ {v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {v_C}\left( {{0^ + }} \right) = 0 \end{array}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per la KVL, alla chiusura del tasto deve essere
$v R + v L + v C = e (t)$
quindi
$L\frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}} + Ri + {v_c} = E$
derivando primo e secondo membro e dividendo per $L$ si ha
$\frac{{{{\rm{d}}^2}i}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac R L \frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}} + \frac 1 L \frac{{{\rm{d}}{v_c}}}{{{\rm{d}}t}} = 0$
$\frac{{{{\rm{d}}^2}i}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac R L \frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{i}{LC} = 0$
si ha
$\begin{array}{l} \frac{{R}}{L} = \frac{{50}} {{2 \times 100 \times {{10}^{ - 3}}}}= 500 \, \frac {1}{\rm{ s}}\\ \frac{1}{{LC}} = \frac{1}{{100 \times {{10}^{ - 3}} \times 5 \times {{10}^{ - 6}}} } = 2 \times 10^6 \, {\rm{ (rad/s)}^2} \end{array}$
dunque
$\frac{{{{\rm{d}}^2}i}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + 500 \frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}} + 2 \times10^6 i = 0$
che è già un'equazione omogenea. L'integrale generale è dunque uguale all'evoluzione libera.
In essa occorre determinare le costanti $A$ e $\varphi$ imponendo le condizioni iniziali.
La corrente nulla impone
$i(0) = 0 \Rightarrow A\sin \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0$
La tensione ai capi del condensatore è
$\begin{array}{l} {v_C}(t) = E - Ri(t) - L\frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}}\\ {v_C}(t) = 25 - 50A{e^{ - 250t}}\sin \left( {250\sqrt {31} t} \right) - \\ - 0,1A\left[ { - 250{e^{ - 250t}}\sin \left( {250\sqrt {31} t} \right) + {e^{ - 250t}}250\sqrt {31} \cos \left( {250\sqrt {31} t} \right)} \right] \end{array}$
quindi imponendo la condizione iniziale di condensatore scarico possiamo ricavare $A$
$\begin{array}{l} {v_C}(0) = 25 - A25\sqrt {31} = 0\\ A = \frac{1}{{\sqrt {31} }} \end{array}$
La cche corrisponde a scrivere il sistema diorrente ha dunqe l'espressione
$i(t) = \frac{{{e^{ - 250t}}\sin \left( {250\sqrt {31} t} \right)}}{{\sqrt {31} }}$
mentre quella della tensione sul condensatore è
${v_C}(t) = 25 - \frac{{25}}{{\sqrt {31} }}{e^{ - 250t}}\sin \left( {250\sqrt {31} t} \right) - 25\cos \left( {250\sqrt {31} t} \right)$
Come al solito, digitando con WolframAlpha
10^(-1)i'(t)+50i(t)+v(t)=25,i(t)=5*10^(-6)*v'(t),i(0)=0,v(0)=0
che significa scrivere il sistema costituito dalle equazioni differenziali del primo ordine corrispondenti alla KVL ed alla relazione di definizione del condensatore, corredate delle condizioni iniziali, si sarebbe fatto molto prima :).

E se si vogliono tracciare i grafici basta scrivere
t) sin(250 sqrt(31) t))/sqrt(31), t=0 to t=0.01
per la corrente e
25-25 e^(-250 t) cos(250 sqrt(31) t)-(25 e^(-250 t) sin(250 sqrt(31) t))/sqrt(31) from t=0 to 0.01
per la tensione.
NB: per fare prima si clicca sulle espressioni in precedenza ottenute, e poi si definisce l'intervallo desiderato per il tempo con from t=0 to t=0.01, in questo caso

Es. 5

Determinare la tensione sul condensatore e la tensione ai capi del generatore di corrente, quando la sua corrente si inverte

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$j(t) =\begin{cases} J_0, & \mbox{per }t<0 \\ -J_0, & \mbox{per }t>0 \end{cases}$ $J 0 = 1 A$
$R = 1 \Omega; \, L = 10 \, \text{mH}; \, C = 1 \, \text{mF}$

Sostituendo il generatore reale di corrente con l'equivalente di tensione si ottiene il circuito nel riquadro rosso.
La KVL fornisce
$Li^{\prime}(t)+2Ri(t)+v(t)=-Rj(t)$ con
$i(t)=Cv^{\prime}(t)$
Le condizioni iniziali forniscono
$v (0) = R J$
$i (0) = 0$
Sostituendo i valori
$10^{-2}i^{\prime}(t)+2i(t)+v(t)=-1$
$i(t)=10^{-3}v^{\prime}(t)$
Quindi, per trovare la tensione sul condensatore, $v (t)$ oltre alla corrente $i (t)$ basta scivere in WolframAlpha
10^(-2)i'(t)+2i(t)+v(t)=-1,i(t)=10^(-3)v'(t),i(0)=0,v(0)=1
La tensione ai capi del generatore di corrente è
$v j (t) = - 1 - i (t)$
Già che ci siamo vediamo tutti i grafici:

Conclusione

Non è certo una scoperta, ma disponiamo di strumenti di calcolo di una potenza inimmaginabile qualche decennio fa. Sono strumenti che non potrebbero esistere senza la teoria ed i metodi di calcolo messi a punto dai matematici molto prima. Hanno catturato l'intelligenza di passate generazioni, ma non sono in grado di sostituirla, né di fare a meno di quella di chi li usa. Insomma non è ancora giunto il momento di abbandonare lo studio tradizionale e chissà se mai giungerà. Lo si deve affrontare con una coscienza diversa, questo si', sapendo che si possono concentrare gli sforzi di apprendimento su ciò che è più importante per la comprensione dei fenomeni fisici che le equazioni differenziali cercano di interpretare.

Bibliografia

Lezioni di Analisi matematica - Giuseppe Zwirner ed. Cedam 1969

Il capitolo del testo - particolare

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Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

Indice

Premessa

Generalità

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

Radici distinte

Radici multiple

Coefficienti reali

Equazioni non omogenee

Metodo di Lagrange

Circuiti elettrici

Qualche esercizio

Es.1

Es. 2

Integrale dell'omogenea associata

Integrale particolare

Es. 3

equazione caratteristica

Integrale particolare

L'integrale generale

ES. 4

Es. 5

Conclusione

Bibliografia

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