Premessa

In questa seconda parte verrà analizzato l’aspetto energetico delle onde, ovvero il modo in cui il fenomeno ondoso trasporta energia dal punto di vista quantitativo.

A questo scopo, è fondamentale partire dall'esame della celebre equazione delle onde di Jean le Rond d’Alembert. Il matematico e fisico francese la formulò nel 1747, studiando la vibrazione delle corde tese.

Jean le Rond d’Alembert

Questa sezione potrebbe risultare più impegnativa della precedente a causa della presenza di diverse formule matematiche, che ho cercato di ridurre al minimo, riuscendoci però solo in parte.

Nella terza parte, affronterò il tema della propagazione delle onde, concentrandomi in particolare su quelle sonore e affrontando alcuni aspetti di acustica.

L’Equazione delle Onde Meccaniche

I fisici descrivono i fenomeni naturali attraverso equazioni, che, quando coinvolgono variazioni continue come le onde, si traducono in equazioni differenziali.

Un punto di partenza fondamentale per descrivere le onde meccaniche è il secondo principio della dinamica di Newton:

F= m*a.

dove la forza applicata a un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l'accelerazione, essendo forza e accelerazione due vettori.

Per studiare il moto ondulatorio, consideriamo un elemento infinitesimo di un mezzo elastico, trattandolo come una particella e cercando di stabilire il legame tra la sua accelerazione e il suo spostamento u(x,t), che dipende sia dallo spazio che dal tempo.

Caso della Corda Tesa

corda tesa

Un esempio semplice di onda meccanica è quella che si propaga lungo una corda tesa orizzontale, soggetta a una tensione costante τ.Si assume che la velocità delle particelle della corda sia molto inferiore alla velocità di propagazione dell’onda: v_particelle ≪ v_onda

Questa condizione garantisce che:

• il moto locale delle particelle rimanga distinto dalla propagazione dell'onda,
• le equazioni matematiche utilizzate siano valide,
• il comportamento dell'onda sia lineare, evitando fenomeni complessi come turbolenze o deformazioni non lineari.

Applicazione del Secondo Principio di Newton

Consideriamo un tratto infinitesimo di corda di lunghezza Δx e densità lineare di massa μ (in kg/m). La massa del segmento è: Δm = μ*Δx.

corda tesa

Se la corda subisce una perturbazione trasversale, la tensione T avrà una componente verticale pari a:

F= T*sin(θ)

Dove θ è l’angolo che la corda forma con l’orizzontale. Per piccoli angoli, possiamo approssimare:

sin(θ)≈θ≈∂u/∂x

Quindi la forza verticale è:

F(x)=T*∂u/∂x​

Derivando rispetto a x:

∂F/∂x=T*∂²u/∂x²

Sostituendo Δm=μ*Δx , otteniamo:

T*∂²u/∂x² =μ*∂²u/∂t²

Dividendo entrambi i membri per μ, si arriva all’equazione delle onde in una dimensione:

∂²u/∂t² = T/μ*∂²u/∂x²

Definiamo ora la velocità v di propagazione dell’onda:

v²=T/μ

e quindi otteniamo la forma standard dell’equazione d’onda in una dimensione (sempre tenendo conto che u(x,t) è un vettore):

∂²u/∂t²=v²*∂²u/∂x²

Questa equazione descrive la relazione tra spazio e tempo nella propagazione di un'onda e, benché dedotta da un caso particolare, si può dimostrare che vale nel caso generale, con tutte le premesse necessarie, che ho indicato in precedenza in modo discorsivo, senza rigore matematico.

Considerando l’equazione dell’onda scritta sopra, possiamo dedurre che l’accelerazione di una particella è direttamente proporzionale sia alla radice quadrata del rapporto tra tensione elastica e densità, sia alla curvatura del profilo dell’onda.

Infatti, mentre la prima derivata parziale della funzione rispetto alla coordinata spaziale descrive l'andamento della sua 'pendenza', la seconda derivata parziale rappresenta la 'variazione della pendenza', ovvero la 'curvatura' in ogni punto. La derivata seconda è infatti proporzionale all'inverso del raggio di curvatura, ossia al raggio del cerchio tangente (o 'osculante') in un dato punto, la cui misura dipende anche dalla derivata prima, che risulta trascurabile 'per un'onda sinusoidale in cui A*k≪1. '. Se consideriamo l’aspetto dimensionale, troviamo al primo membro m/s² mentre al secondo membro abbiamo N/(Kg/m) *1/m o, scritto altrimenti, N*m²/kg. Dal secondo principio abbiamo che N=Kg*m/s² quindi il secondo membro diventa (Kg*m/s²)/(Kg/m)*1/m = m/s², come il primo membro: la verifica dimensionale è salva.

Perché la derivata seconda ha dimensioni 1/m? Perché la derivata prima essendo un rapporto di lunghezze è adimensionale. Di conseguenza la sua derivata rispetto allo spazio ha dimensione 1/m, la stessa dell’inverso del raggio di curvatura. Se ad esempio la derivata seconda è =0, il raggio di curvatura è infinito e il cerchio osculante degenera in una retta, che ha curvatura pari a zero.

Soluzione dell’equazione delle onde

Dopo aver derivato l’equazione delle onde, possiamo ora esaminare le sue soluzioni più semplici. Come è noto, le soluzioni dipendono dai vincoli imposti dal sistema, detti "condizioni al contorno".

Soluzione Generale

Una soluzione generale dell’equazione differenziale d’onda ha la forma:

u(x,t)=f(x−vt) oppure u(x,t)=f(x+vt)

dove:

• f(x−vt) rappresenta un'onda che si propaga verso destra con velocità v.
• f(x+vt) rappresenta un'onda che si propaga verso sinistra con velocità v.
• f(x) descrive il profilo dell'onda, che può essere sinusoidale, triangolare, impulsivo, ecc.

Onda progressiva

Caso dell’Onda Sinusoidale

Una soluzione particolarmente importante è quella di un’onda sinusoidale, che assume la forma:

u(x,t)=A*cos(ẞ+φ)

dove ẞ=ẞ(x,t); ciò significa che l’angolo di fase ẞ è funzione lineare sia dallo spazio x sia del tempo t, come ricavato nella soluzione generale, mentre φ è la fase iniziale, determinata dalla posizione dell’onda all’istante t=0.

Bisogna allora convertire tempo e spazio in angoli tramite due costanti di proporzionalità, ω per il tempo e k per lo spazio. L'angolo "spaziale" sarà k*x mentre quello "temporale" sarà ω*t.

La quantità ω ci dice quanti radianti di fase temporale cambiano per ogni secondo, e si chiama infatti "velocità angolare", visto che l’onda temporale fa un’oscillazione completa (che corrisponde a 2*π radianti) in un periodo T di onda. Quindi ω =2*π/T rad/s. e T è il “periodo temporale”.

La quantità k, analogamente, ci dice quanti radianti di fase spaziale cambiano per ogni metro, visto che l’onda spaziale fa un’oscillazione completa (che corrisponde a 2*π radianti) percorrendo lo spazio di una lunghezza d’onda λ . Quindi k =2*π/ λ rad/m. e λ è il “periodo spaziale”. Ma k non si chiama "velocità spaziale" (espressione che potrebbe generare confusione) bensì "numero d'onda", una dizione che a me è sempre suonata bizzarra; tuttavia bisogna forse considerare che la dizione vuole significare "quante onde (spaziali), ossia quante lunghezze d'onda, troviamo in 1 metro di percorso, oppure: λ metri corrispondono a 1 ciclo angolare (cioè a 2*π radianti), 1 metro corrisponde a k radianti (λ: (2*π)=1:k).

Infine,

• l’inverso del periodo temporale (1/T) si chiama solo “frequenza” f (e non "frequenza temporale"),
• l’inverso della lunghezza d’onda (1/λ) si chiama “frequenza spaziale” (termine usato soprattutto in ottica).

Dalla soluzione generale, possiamo porre :ẞ =k*x- ω*t

e di conseguenza

u(x,t)=A*cos(k*x−ω*t+φ)

dove:

• A è l’ampiezza dell’onda (massimo spostamento di una particella dalla posizione di equilibrio).
• k=2*π/λ è il numero d’onda, che misura il numero di oscillazioni per unità di lunghezza, con λ = lunghezza d’onda, cioè la distanza fisica tra due creste consecutive.
• ω=2*π*f è la velocità angolare (o pulsazione), con f frequenza dell’onda.
• v=ω/k=λ*f è la velocità di propagazione dell’onda, ossia la velocità con cui un fronte d'onda si muove nello spazio.
• φ è la fase iniziale.

Condizioni al Contorno e Vincoli Fisici

La fase iniziale φ, la frequenza f e la lunghezza d’onda λ sono determinate dalle condizioni fisiche del sistema, tradotte matematicamente in "condizioni al contorno". Ad esempio:

• Se l’onda è vincolata a un’estremità fissa (come una corda fissata a un'estremità), ciò impone un nodo in quel punto, perché lì lo spostamento u è nullo.
• Se l’onda si propaga in uno spazio infinito, può avere qualsiasi fase iniziale e profilo.
• Se due onde interferiscono, la loro combinazione è soggetta al principio di sovrapposizione.

Velocità delle particelle e Pressione in un’onda elastica

La velocità delle particelle è semplicemente la derivata prima della funzione spostamento u(x,t) fatta rispetto al tempo:

v_particelle = ∂u/∂t

Per la pressione, dobbiamo distinguere tra onde longitudinali e trasversali.

Consideriamo solo le onde longitudinali (come quelle sonore), perché nelle onde trasversali (come nella corda tesa) le variazioni di pressione sono minime (si verifica però il cosiddetto “stress tangenziale” o “shear stress” che qui non prendiamo in considerazione).

Nel caso di un fluido (liquido o gas), la variazione di pressione p è collegata alla variazione relativa di volume ΔV/V​ attraverso il modulo di comprimibilità adiabatico K (che corrisponde al modulo di elasticità per un fluido):

p=−K*ΔV/V​

Per un’onda piana si dimostra che la variazione di volume è il rapporto tra la variazione dello spostamento delle particelle e lo spazio percorso lungo l’asse x di propagazione:

ΔV/V = ∂u/∂x da cui:

p(x,t)= K*∂u/∂x

Ma K è legato alla velocità di propagazione v tramite la densità ρ come visto nella prima parte:

K=ρ*v² da cui:

p(x,t)= ρ*v² *∂u/∂x

Riassumendo, la variazione di pressione in un gas è proporzionale a 3 fattori:

• densità ρ
• velocità di propagazione v²
• compressione/dilatazione del mezzo, ossia alla derivata spaziale dello spostamento ∂u/∂x

Nel caso in cui lo spostamento sia una funzione sinusoidale, la derivata spaziale è ancora sinusoidale e in anticipo di 90° su di esso.

u(x,t)=A*cos(k*x−ω*t+φ)

derivando rispetto a x:

p(x, t)=-ρ*v²*A*k*sin(k*x−ω*t+φ)

Dopodiché, ponendo p₀=-ρ*v²*A*k

p(x, t)=p₀*A*k*sin(k*x−ω*t+φ)

La pressione di una particella dell'onda elastica sinusoidale (come quelle che compongono un'onda sonora) varia quindi in funzione dello spazio e del tempo come lo spostamento ma è in anticipo di 90° su di esso.

Il valore massimo della pressione dipende non solo dal valora massimo dello spostamento (A) ma anche dalla densità del gas, dal quadrato della velocità di propagazione e dal numero d'onda (cioè dall'inverso della lunghezza d'onda).

Spostamento e Pressione

Energia delle onde

Densità di Energia delle onde elettromagnetiche

Nelle onde EM, l'energia non è legata al movimento oscillatorio di particelle materiali ma è trasportata dai fotoni, le particelle quantistiche che costituiscono l'onda elettromagnetica.

La relazione energia-frequenza deriva dalla fisica quantistica, che esprime l’energia E_f di un singolo fotone:

E_f=h*f dove h è la costante di Planck h vale 6,62607015x10^-34 J/Hz e f è la frequenza, perché il fotone è visto come un’onda.

L’energia di un’onda elettromagnetica è legata al numero di fotoni che la compongono.

Esempio

Se l’onda EM ha una potenza costante di 5 W e la frequenza di 92 MHz, in 3 secondi trasporta un numero di fotoni N pari a circa 2,46 x 10²⁶ fotoni, perché 5*3 = N*6,6…*10^-34*92*10⁶.

L’energia EM dipende dal quadrato dell’ampiezza e dalla frequenza

E∝A²*f.

Però nella pratica la dipendenza dalla frequenza “sparisce”, perché l’ampiezza A “ingloba” la frequenza dei fotoni. La potenza istantanea dipende sì dalla frequenza: p(t) = k*v²(t)=A²*sin²(w*t) ma quando si calcola la media l’oscillazione quadratica dà contributo pari a 1/2 e il risultato (su una resistenza di 1 ohm) è:

P =A²/2.

Vettore di Poynting

Il flusso di energia, cioè la quantità di energia trasportata da un'onda EM attraverso una superficie nell'unità di tempo, è espressa tramite il vettore di Poynting "S" che nel vuoto vale S = ExH = 1/μ₀*(ExB)

La figura indica anche la relazione con la velocità della luce c nel vuoto.

Ricordiamo anche che c²=1/(ϵ₀*μ₀)

dove:

• ϵ₀ = 8,85 * 10^-12 F/m è la permettività elettrica nel vuoto
• μ₀ = 4*π*10^–7 H/m è la permeabilità magnetica del vuoto

Il vettore di Poynting ha come dimensioni W/m²

Densità di Energia delle onde meccaniche

L'energia per unità di lunghezza o di superficie o di volume (secondo i casi) di un'onda meccanica si può chiamare “densità di energia”. Essa è distribuita tra:

-Densità di Energia potenziale (E_p​) che è associata alla deformazione elastica del mezzo.

-Densità di Energia cinetica (E_k ​) che è associata al movimento delle particelle del mezzo.

La densità di energia totale (E) trasportata dall'onda è data dalla somma di queste due componenti e dipende sia dall’ampiezza che dalla frequenza.

E = E_p + E_k ​

In particolare, se l'onda è sinusoidale, la densità di energia totale risulta proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell'onda.

E∝A²

La relazione tra densità di energia e frequenza invece è legata alla velocità delle particelle.

Per onde trasversali su una corda, ad esempio, più alta è la frequenza dell’onda, più alta è la velocità delle particelle del mezzo (e quindi la loro energia cinetica). Poiché l’energia cinetica dipende in generale sempre dal quadrato della velocità di un corpo, nel caso dell’onda meccanica, che rappresenta un movimento continuo oscillatorio di porzioni di materia, la densità di energia totale è proporzionale al quadrato della frequenza dell’oscillazione (che a sua volta è strettamente legata alla velocità angolare, o “velocità di rotazione”).

E∝⋅f²

In definitiva la densità di Energia totale di un’onda sinusoidale è proporzionale sia al quadrato dell’ampiezza che a quello della frequenza.

E∝A²⋅f²

Lo stesso vale per le onde longitudinali, come quelle sonore.

Il concetto si estende naturalmente a onde non sinusoidali scomponendole in somme di sinusoidi, ognuna con la sua ampiezza e la sua frequenza. La densità di energia totale è la somma delle densità di energia delle singole sinusoidi.

Se si vuole considerare l’energia che transita in un certo volume spaziale occorre moltiplicare la densità di energia per il volume considerato. Questo nell’ipotesi che la densità si mantenga costante in quel volume, altrimenti occorre passare al calcolo integrale.

Densità media di energia dell’onda meccanica

Consideriamo l’energia volumica totale dell’onda meccanica, ossia l’energia per unità di volume, già accennata sopra.

Energia cinetica

L'energia cinetica per una particella infinitesima di massa dm è:

dE_k=1/2*dm*v²

Poiché la massa dell'elemento di volume è dm=ρ*dV, dove ρ al solito è la densità del mezzo che supponiamo costante eindipendente dal volume, possiamo scrivere l'energia cinetica per unità di volume come:

E_k=1/2*ρ*v_particella² = ½*ρ*(∂u/∂t)²

Energia potenziale

Per trovare un’analoga espressione dell’energia potenziale possiamo partire dalla legge di Hook:

In un materiale elastico, la relazione tra la tensione (o sforzo) σ e la deformazione relativa ϵ è data da:

σ=T*ϵ

dove T = E (modulo di Young nel caso di una deformazione assiale), oppure T =K (modulo di comprimibilità nel caso di una deformazione volumetrica).

La densità di Energia potenziale elastica si ottiene integrando l’elemento di sforzo dσ sulla deformazione dϵ, ossia

E_p =∫​σ*dϵ = ∫T*ϵ*dϵ=1/2​*T*ϵ²

Nel caso dell'onda elastica si deduce (senza riportare la dimostrazione, piuttosto complessa) che la deformazione coincide con la pendenza della funzione u(x), cioè ϵ = ∂u​/∂x; ne deriva:

E_p =1/2*T*(∂u​/∂x)²

In definitiva la densità energetica totale è

E=1/2*​ρ*(∂u/∂t​)²+1/2*​T*(∂u/∂x​)²

dove:

ρ = densità del mezzo, ma da intendere secondo i casi come massa volumica, densità superficiale, densità lineare.

T: tensione o modulo elastico o di comprimibilità (a seconda del tipo di onda), riferito anch’esso a 3, 2 o 1 dimensioni spaziali.

Mentre il primo termine dell'espressione "densità energetica" ha una fisionomia nota, del tipo ½*m*v², cioè una dipendenza temporale quadratica, il secondo mostra un’analogia con il primo, in cui alla massa corrisponde T (forza o pressione) e alla velocità corrisponde l’andamento della pendenza del profilo d’onda (derivata spaziale), compreso l’elevamento al quadrato.

Per un'onda che si propaga lungo una corda (o in un mezzo elastico), la derivata prima spaziale dello spostamento, ∂u/∂x​, rappresenta il cambiamento dello spostamento u(x,t) lungo la direzione spaziale x e quantifica l'entità della deformazione locale del mezzo.

Sappiamo infatti che la derivata prima rispetto a x non è altro che la pendenza della funzione u(x,t), cioè dello spostamento verticale in funzione di quello orizzontale.

L'energia potenziale elastica E_p è il lavoro necessario per deformare il mezzo elastico.

La forza elastica associata alla deformazione è proporzionale alla derivata spaziale ∂u/∂x, come accade con una molla, dove la forza è proporzionale allo spostamento cioè F=k*x; k è la costante elastica della molla ed è anche la derivata prima della funzione.

L'energia potenziale elastica è data dall'integrale della forza rispetto alla deformazione. L’integrale è necessario perché la forza dipende dallo spostamento e genera il fattore 1/2. Nel caso di una molla, questo ci porta alla formula E_p =k*x².

Allo stesso modo, per un mezzo elastico, l'energia potenziale elastica infinitesima associata a una deformazione è proporzionale al quadrato della derivata spaziale:

dE_p∝(∂u/∂x)²

Anche qui la forza elastica è proporzionale alla deformazione: F∝∂u/∂x. La forza elastica è detta anche “compressione” e la pressione elastica Pe (o "stress elastico") è proporzionale alla compressione tramite il modulo di comprimibilità K:

P_e=−K* ∂u​/∂x

L'energia potenziale è il lavoro fatto contro questa forza: E_p=∫F*dx

Poiché la forza varia linearmente con la deformazione, il lavoro accumulato è proporzionale al quadrato della deformazione.

In termini matematici:

E_p=1/2*K*(∂u/∂x)²,

dove K è il fattore generale di proporzionalità che caratterizza l'elasticità del mezzo: ha le dimensioni di una forza riferita a una o più dimensioni spaziali (N/m, N/m2, N/m3) e può essere il modulo di comprimibilità o un altro fattore simile.

Uguaglianza delle due energie

Per un’onda meccanica sinusoidale vale la pena notare che l’energia potenziale e quella cinetica risultano uguali.

Infatti, sempre considerando la densità di energia, E_k​=1/4*​ρ*A²*ω²

Mentre E_p​=1/4*​T*A²*k²

Ma T=ρ*v² e k=ω/v

quindi:

E_p= 1/4 *ρ*v²*A²*(ω/v)²= ¼*​ρ*A²*ω² = E_k

Quanto sopra presuppone che l'onda meccanica , nel suo propagarsi, non subisca attenuazione, cosa che nella pratica non può avvenire, perchè l'onda subisce quanto meno l'attrito del mezzo; tuttavia in molti casi l'attenuazione è così piccola rispetto alle altre grandezze in gioco che può essere trascurata, almeno in prima approssimazione.

Potenza trasportata da un’onda sinusoidale in una corda

La Potenza P è esprimibile come Forza x Velocità, che in questo caso è velocità delle particelle, parallela all’asse u. Se la corda è tesa e la forza che la tende è T, parallela alla corda stessa, e T_u è la componente verticale, mentre T_o è la componente orizzontale annullata dalla reazione dei sostegni agli estremi.

P = T_u*v_particelle=T_u*∂u/∂t

La componente verticale della tensione per piccoli spostamenti è

T_u =-T*∂u/∂x quindi :

P=|-T*∂u/∂x*∂u/∂t|

Se u(x,t) =A*cos(k*x−ω*t+φ) con φ=0 allora, derivando:

P=|-T[*A*k*(- sin(k*x−ω*t))]*[-A*ω*(sin(k*x−ω*t))]|= T*k* ω*A2*sin2(k*x−ω*t) che è lapotenza istantanea.

La Potenza media viene ottenuta integrando la potenza istantanea su un periodo, ottenendo

P_media = ½*T*k* ω*A²

Ma T= μ*v² dove μ è la densità lineare.

La potenza P è esprimibile come Forza x Velocità, che in questo caso è la velocità delle particelle, parallela all’asse u.

P = T_u*v_particelle=T_u*∂u/∂t

La componente verticale della tensione per piccoli spostamenti è

T_u =-T*∂u/∂x quindi:

P=|-T*∂u/∂x*∂u/∂t|

Se u(x,t) =A*cos(k*x−ω*t+φ) con φ=0 allora, derivando:

P=|-T[*A*k*(- sin(k*x−ω*t))]*[-A*ω*(sin(k*x−ω*t))]|= T*k* ω*A²*sin²(k*x−ω*t) che è la potenza istantanea.

La Potenza media viene ottenuta integrando la potenza istantanea su un periodo, ottenendo

P_media = ½*T*k* ω*A²

Ma T= μ*v² quindi:

P_media = ½* μ*v* ω²*A²

Dividendo la potenza media per v ritroviamo la densità di energia lineare:

E=½* μ* ω²*A²

Un caso pratico: suono di un flauto

Facciamo un caso di calcolo pratico, applicato all’energia di un suono emesso da un flauto, la cui frequenza fondamentale è di 440 Hz. Approssimando la forma dell’onda del flauto con quella sinusoidale, se la potenza acustica P emessa è 10^-4 W corrispondente a 80 Db acustici (un suono piuttosto forte!). Sapendo che l'Intensità I è definita come flusso di potenza, ossia I=Potenza/superficie attraversata, determinare:

1. l’ampiezza istantanea massima dello spostamento delle particelle

2. la pressione istantanea massima all’uscita del flauto

3. l’intensità in dB (livello di intensità) a 4 metri di distanza dal flauto

Flautista

Soluzione

1. l’ampiezza istantanea massima dello spostamento delle particelle

Usiamo la funzione dello spostamento u(x,t)=A*cos(k*x−ω*t) dove

- ω=2*π*600=3769.91 rad/s

- λ=343/600≈0.5717 m

- k=2*π*λ≈10.99 rad/m Inoltre - ρ = densità dell'aria ≈1.2 kg/m³ a temperatura ambiente 20°C, - K_aria = modulo di comprimibilità dell'aria = 1,42*10⁵ Pa

La densità energetica, qui energia volumica, è la somma di energia cinetica e potenziale

E=1/2*​ρ*(∂u​/∂t)²+1/2*​T*(∂u/∂x​)²

che con le assunzioni fatte diventa

E = 1/2*​ρ* A²*ω²*sin²(k*x−ω*t) + 1/2*​T* ²*k²*sin²(k*x−ω*t)

Per ottenere la densità di energia media su un periodo, calcoliamo il valore medio temporale di sin⁡²(k*x−ω*t) che risulta = 1/2 . Quindi, la densità di energia media diventa:

E_media = ¼*A²*(ρ* ω²+T*k²)

Poiché le due energie cinetica e potenziale si possono ritenere uguali:

E_media = 1/2*A²*ρ*ω²

in cui tutte le grandezze sono conosciute eccetto l’ampiezza massima A.

Per trovarla, bisogna considerare la potenza acustica P (80 dB <=> 10^-4 W) che attraversa il volume V del tubo del flauto, del quale conosciamo la superficie S = 2*π*0,007² = 3,07*10^-4 m²

La potenza P è energia/tempo, ossia energia volumica*volume/tempo

P = E_media *V/t

Nel caso di un’onda acustica l’energia simuove con velocità v (qui velocità del suono nell’aria).

Ma V= S*v*t e quindi P=1/2*​ρ*v*A²*ω²*S da cui,

A^2​=2*P/( ρ*ω²*v *S)

sostituendo tutti i valori, si ricava l'ampiezza massima dello spostamento:

A ≈6,42×10⁻⁵ m

che, come si vede, è uno spostamento molto piccolo rispetto alla lunghezza d'onda, che a 440 Hx è 0,77 m.

L’energia media per unità di volume risulta E_media,440​≈1,89×10⁻² J/m³

Se avessimo calcolato l’energia volumica ad altre frequenze avremmo trovato un’ampiezza minore per una frequenza più alta, ma l’energia non sarebbe cambiata perché sarebbe aumentato il termine ρ*ω²+T*k².

2. la pressione istantanea massima all’uscita del flauto

L'onda sonora è un'onda longitudinale, quindi la pressione varia alternando compressione e rarefazione delle particelle. La pressione sonora istantanea per un'onda piana (a cui assimiliamo il nostro suono) è data da:

p(x,t)=−ρ*v* ∂u​/∂x

Questa relazione ci dice che la pressione è proporzionale alla densità, alla velocità di propagazione e alla compressione locale delle particelle di aria. Il segno "–" emerge perché la derivata spaziale negativa rappresenta un avvicinamento delle particelle, cioè un aumento della densità locale, ossia una compressione.

Quindi, per l'onda sinusoidale u(x,t)= A*cos(k*x−ω*t):

p(x,t)=−ρ*v*(−A*k*sin(k*x−ω*t)) = ρ*v*A*k*sin(k*x−ω*t)

L'espressione p₀= ρ*v*A*k rappresenta quindi l'ampiezza massima della pressione sonora

A 440 Hz troviamo

p₀  = 0,23 Pa

un valore molto basso rispetto alla pressione atmosferica normale che è circa 10⁵ Pa

Verifica:

Il minimo livello di pressione udibile è P_ref = 20*10⁻⁶ Pa

Il livello sonoro per la pressione di p₀  = 0,234 Pa corrispondente a p_0eff = 0,234/radq(2) =0,165 è 20*Log₁₀(0,165/(20*10⁻⁶) = circa 79 dB, valore che nei limiti degli errori di approssimazione corrisponde a 80 dB, dato dal problema.

3. l’intensità in dB (livello di intensità) a 4 metri di distanza dal flauto

Introduciamo la densità di potenza che attraversa la superficie S, detta anche Intensità sonora I,

I=P/S

Supponiamo per semplicità che l'onda sonora sia sferica di raggio 4 metri. Quindi

I_4m=P/(4*π*(4)²) = 4,97*10^-7 W/m²

L_4metri= 10*Log₁₀(I_4m/I₀) = 57 dB

dove I₀ = 10^-12

In acustica i dB di intensità sono chiamati dB_SPL dove SPL=Sound Pressure Level e la pressione è strettamente legata all'intensità tramite l'espressione:

I=p_efficace²​/(ρ*v) W/m²

                   Fine della seconda parte

La terza parte affronterà gli aspetti più rilevanti della propagazione delle onde (soprattutto sonore) e alcuni elementi di acustica.