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TLC Bignami 2a parte

Indice

Premessa

L’intento di questo EYBignami è divulgativo: vuole offrire una panoramica sulle telecomunicazioni senza entrare nei dettagli ma presentando una sintesi dei principali concetti e formule usati nella tecnica delle telecomunicazioni. I contenuti sono estratti dal libro on line “Trasmissione dei Segnali e Sistemi di Telecomunicazione” di Alessandro Falaschi, docente presso l’Università La Sapienza di Roma, che ne ha gentilmente autorizzato l’uso, disponibile su http://www.teoriadeisegnali.it

e che potrà essere usato per gli approfondimenti.

Introduzione

La seconda parte (che non è l'ultima) di questo Bignami inizia affrontando i segnali "non certi", non deterministici; un segnale deterministico è ad esempio y = sin(t) perchè per ogni istante t il valore di y è conosciuto. Nella realtà delle telecomunicazioni, infatti, i segnali deterministici sono una rara eccezione. Sono di gran lunga più presenti i segnali aleatori, o "casuali" come quelli che sono generati da una conversazione telefonica. Ma prima di proseguire è necessario chiarire un aspetto che spesso sfugge e cioè la distinzione tra Segnali di Potenza e Segnali di Energia e che avrei dovuto aggiungere alla prima parte già pubblicata.

Segnali aleatori

Ciò che interessa comunicare è, dal punto di vista del sistema, completamente CASUALE. Ciò non deve stupire: si pensi a una conversazione telefonica, a un'immagine, a dati informativi di qualsiasi tipo. L'informazione in sé a noi non appare casuale, naturalmente, perchè cerchiamo sempre un senso in quello che ci arriva. Però un contenuto è tanto più significativo quanto meno è probabile. Ma soprattutto, anche se il contenuto informativo è basso e quindi altamente probabile, i segnali fisici che lo rappresentano non sono probabili affatto, non sono prevedibili, non sono "deterministici". I segnali deterministici possono essere usati in fase di test del sistema, ma non sono praticamente mai i segnali che un sistema reale dovrà trasportare. Ne consegue che è opportuno attrezzarsi con descrizioni adeguate a questo tipo di segnali, detti "aleatori" o random, per progettare e dimensionare al meglio i sistemi TLC. Questa impostazione "probabilistica e statistica" risale agli anni 50, quando il matematico Claude Shannon produsse la nota "teoria dell'informazione" che permise progressi prima impensabili. prima di allora, infatti, i sistemi venivano dimensionati solo in base alla banda di frequenza e alla potenza dei segnali, mentre il rumore della sorgente o quello che si intromentteva nel canale di trasmissione costituiva un limite invalicabile. Con la nuova impostazione statistica non fu più così.

Riprendiamo continuandolo il primo capitolo "Una visione d'insieme":

Lo studio dei segnali aleatori inizia con la definizione di "probabilità"

Variabile aleatoria

Alle variabili aleatorie sono associate operazioni utili nei calcoli statistici: Valore atteso, Momento, Media e Varianza

La varianza è il quadrato della cosiddetta deviazione standard σX.

Nel caso dei segnali elettrici il concetto di media è semplice: il valore medio corrisponde alla componente continua che, come è noto si cerca sempre di eliminare dalle linee fisiche. Quindi molto spesso il valore medio dei segnali elettrici è uguale a 0 (lo è sempre, ovviamente, se i segnali viaggiano nello spazio aperto). Un'eccezione a questo erano le linee telefoniche, in cui fino a poco tempo fa era presente la componente continua "batteria di Centrale" (24 o 48 V), usata per la connessione di linea e per la segnalazione ad impulsi. Veniva usata anche per la telegrafia, che, per i due stati binari (ON -OFF) utilizzava una corrente continua di ben 20 mA. Similmente il concetto di varianza, che potremmo considerare una "media di secondo grado", riguarda invece la dispersione (al quadrato) dei valori intorno alla media: più la varianza è bassa, più i valori della variabile aleatoria si "addensano" intorno alla media.

Abbiamo visto sopra il concetto di "densità di probabilità", che è una funzione dei valori della variabile aleatoria: ad ogni valore della variabile corrisponde un valore di probabilità. Se in valori di della variabile a. sono in numero finito, come nel caso del lancio del dado, la densità di probabilità (d.d.p.) è per forza espressa tramite impulsi matematici, perché essa è composta da altrettanti valori isolati. Se invece la variabile a. è continua, cioè assume infiniti valori all'interno di un intervallo, allora anche la d.d.p. è continua ("quasi dovunque" per completezza: potrebbero esserci anche valori isolati insieme a valori continui).

Le funzioni d.d.p possono essere di qualunque tipo purché l'integrale della d.d.p esteso da – ∞ a + ∞ dia come risultato 1, perché la somma di tutte le probabilità deve essere sempre il 100%. Esistono tuttavia alcune d.d.p. che si trovano molto più frequentemente di tutte le altre nello studio dei fenomeni probabilistici. Ne vediamo due

ddp  1.jpg

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Ora, dopo il concetto di variabile aleatoria dobbiamo vedere il concetto di processo aleatorio, che è un po' meno immediato. Uno potrebbe pensare che per descrivere un segnale aleatorio basti una variabile a., ed è vero. Ma un sistema di TLC deve essere progettato per trasmettere tutta una classe di segnali, ad esempio le voci umane, i suoni musicali, le immagini, i rumori di un cantiere. Occorre quindi considerate tutto un insieme di possibili segnali e caratterizzarne la statistica, a partire dalla conoscenza (magari ipotetica in prima battuta) delle relative d.d.p. A questo insieme si dà il nome di Processo aleatorio.

Processo aleatorio

Tipicamente un tale processo è definito su un intervallo di tempo in cui i valori di una variabili aleatorie identificano un elemento dell'insieme, cioè uno dei possibili segnali, detti membri del processo. Ogni membro corrisponde a un partcolare valore θi della variabile a. Θ

Ne consegue che le medie che abbiamo visto per una variabile a. si possono calcolare anche su tutto l'insieme dei segnali.

In particolare si può calcolare la media temporale di un segnale, che corrisponde a un determinato valore di Θ:

ma in un processo aleatorio si può calcolare la media d'insieme a un determinato istante tj

Processo stazionario

Si dice stazionario un processo in cui la media temporale non dipende dall'intervallo di tempo in cui tale media viene effettuata. Quindi l'intervallo di integrazione può non essere infinito, ma finito e di valore qualsiasi.

Processo ergodico

Si dice ergodico un processo la statistica di ogni membro è rappresentativa della statistica di tutti gli altri menbri. Semplificando, questo equivale a dire che media temporale = media di insieme.

In questo caso, se è nota la d.d.p. del processo, si possono calcolare le medie temporali, soprattutto del secondo ordine, a partire dalla d.d.p

Questo risultato è molto importante, perchè per fortuna la maggioranza dei segnali che trattiamo nelle TLC rientrano nella categoria dei processi ergodici.

Nell'esempio sopra si vede come la potenza di un segnale (tensione o corrente su una resistenza da 1 Ohm) si componga della parte continua (il valore medio al quadrato) sommata alla parte variabile (la varianza).

Se il segnale non è aleatorio, la sua varianza è nulla e quindi la potenza è data dal solo valore medio al quadrato. Ricordiamo che parliamo di potenza perchè si sottintende che un segnale sia espresso come tensione o corrente in funzione del tempo applicabile su una resistenza da 1 Ohm

Spettro di frequenza di un segnale aleatorio

Il prossimo passo nella caratterizzazione di un segnale aleatorio è, se non la determinazione, la stima del suo spettro di frequenza. Dato che non è possibile applicare direttamente la Trasformata di Fourier al segnale (visto che il suo andamento nel tempo è inconoscibile a priori) non resta che agire sulla statistica, ossia sulle medie, in particolare sulla quella particolare media temporale chiamata funzione di autocorrelazione, che conduce alla potenza come la intendiamo normalmente ma che soprattutto conduce allo spettro di frequenza della potenza o meglio alla sua densità, tipicamente espressa in Watt/Hertz ("Densità spettrale").


Autocorrelazione

In generale la correlazione tra due segnali indica quanto i due segnali tra loro dipendenti. Se i due segnali sono indipendenti la loro correlazione è nulla. La correlazione si esprime come media temporale del prodotto tra i due. Tale media è esprimibile concettualmente anche come prodotto scalare.

Ad esempio la media del prodotto sin(ω1t)sin(ω2t) è = 0 se ω1 è ≠ ω2. Ne segue che questi due segnali sono ortogonali.

Se invece i due segnali sono aleatori, la media temporale va pesata con le rispettive d.d.p.

Se i due segnali sono parte di un processo ergodico (come per fortuna accade nella maggior parte dei casi) allora la media temporale si può calcolare come media di insieme.

La funzione di autocorrelazione di un segnale è una media congiunta del segnale con il segnale stesso spostato nel tempo di una quantità τ

Per illustrare l'utilità della funzione di autocorrelazione riporto un brano della spiegazione di G. Verbana in https://www.vialattea.net/content/2227/

"L’autocorrelazione per i segnali casuali è molto importante, poiché ci fornisce una misura della regolarità del processo. Ritardando un segnale, che contiene numerose componenti di disturbo, possiamo verificare se esistono delle periodicità.

Mentre la densità di probabilità contiene l’informazione relativa alle variazioni d’ampiezza del processo, l’autocorrelazione contiene l’informazione relativa alle variazioni sull’asse dei tempi.

Spesso è interessante determinare la funzione dell’autocorrelazione di una funzione x(t) di un processo casuale ergodico, di un segnale desiderato s(t) e di una componente di rumore non voluta.

Quindi un’applicazione è la determinazione di segnali periodici presenti in una forma d’onda arbitraria.

Come esempio, tramite mathcad, ho calcolato la funzione d’autocorrelazione di un segnale transitorio (energia finita) immerso nel rumore.

Si osserva che La funzione d’autocorrelazione ottenuta ci fornisce il segnale voluto pulito dal rumore.

Se lo scopo era solo eliminare il rumore lo stesso risultato, si poteva ottenere operando nel dominio delle frequenze tramite un filtro passa-basso.

Talvolta, nei DSP (Digital Signal Processor), è comodo operare nel dominio del tempo e talvolta nel dominio delle frequenze.

Nel caso di caratteristiche di rumore a larga banda, la funzione d’autocorrelazione può dare un’informazione sulla larghezza di banda del segnale. Nel campo acustico per la rivelazione d’echi in un segnale ,dove la misura dell’intensità è associata ad un valore di ritardo."

Anche se forse non è molto intuitivo, si vede che la nozione di autocorrelazione è strettamente legata a quella di filtraggio, un'operazione, come si sa, fondamentale nelle comunicazioni.

Questo risultato ha le sue basi nel seguente teorema

Insomma, per calcolare lo spettro di frequenza di un segnale aleatorio occorre conoscerne la statistica, in modo da disporre della funzione di autocorrelazione. Benché questa funzione sia spesso difficile da calcolare per via analitica, lo si può fare con metodi numerici.

Aspetti ulteriori

Se ci riferiamo alla rappresentazione vettoriale di una funzione e alla visione della Trasformata di Fourier come semplice cambiamento della base ortonormale dei vettori (come ho mostrato nel mio articolo sulla TdF), bisogna pensare a un segnale aleatorio come a un vettore che cambia continuamente modulo e fase secondo la propria d.d.p. Ciò significa che cambierebbe continuamente anche la TdF "istantanea", perchè cambierebbero continuamente le componenti vettoriali nella base ortonormale della TdF. Occorrerebbe allora calcolare la media di tale TdF, un compito forse non impossibile ma certamente arduo. Il problema si risolve, dice il teorema di Wiener, se la TdF viene calcolata non sul segnale aleatorio ma sulla sua funzione di autocorrelazione, che è già una media per conto proprio.

D'altra parte, se il segnale è periodico, esso coincide con la propria funzione di autocorrelazione spostata nel tempo. Proprio questa ultima proprietà corrisponde a una capacità di filtraggio nel dominio del tempo. Infatti si può pensare che, se il segnale varia in modo casuale, la somma delle sue repliche temporali con il segnale di partenza tenda a dare un risultato nullo, dato che si sommano le oscillazioni in più e in meno. Mentre se il segnale è deterministico, di energia (durata limitata) o periodico (potenza limitata), l'autocorrelazione per τ = 0 (o uguale a suoi multipli interi) è uguale al quadrato della funzione temporale, cioè alla Potenza e quindi il segnale "emerge".

Rumore gaussiano bianco e segnale dati

Risposta in frequenza

La formula di H(f) vale anche per i processi ergodici.

Campionamento e Segnali numerici

Quando si vuole utilizzare un sistema numerico (detto anche digitale) per la trasmissione, occorre prima trasfomare un segnale analogico a banda limitata, come suono o immagine, in un segnale digitale (numerico). Lo si fa tramite un processo detto campionamento.

Si vede come il segnale campionato presenti infinite repliche dello spettro del segnale da campionare (repliche che poi vengono "filtrate via") centrate a frequenze multiple intere della frequenza di campionamento.

Ciò è dovuto al fatto che il campionamento non è altro che una moltiplicazione nel dominio del tempo che, come abbiamo visto, produce una convoluzione nel dominio della frequenza. Il campionamento si può vedere anche come una modulazione di ampiezza (che esamineremo più avanti).

Se il campionamento avviene a frequenza inferiore a 1/2W si ha il fenomeno detto aliasing: le repliche si sovrappongono e la prima di esse altera lo spettro del segnale originale.

Dove si vede che lo spettro del segnale originale risulta alterato e, dopo il filtraggio, tagliato. La pratica consiglia quindi di sovracampionare, cioè usare un frequenza di campionamento maggiore del doppìo della banda W. Ad esempio, volendo che la banda di un CD rimanga di 20.000 Hz, la frequenza di campionamento del segnale analogico è stata scelta di 44.100 Hz.

Nella realtà non si possono usare impulsi matematici e quindi per la moltiplicazione (campionamento) si usano impulsi di altezza e durata definita, ottenuti tramite un circuito detto Sample & Hold:

A questo punto, occorre convertire gli impulsi ottenuti, la cui ampiezza (valore in volt o in A) è proporzionale all'ampiezza del segnale di ingresso x(t) negli istanti di campionamento, in numeri (conversione A/D analogico - digitale). Per ottenere ciò si opera un processo di "quantizzazione", cioè si predispongono L livelli di ampiezza e li si confrontano con l'ampiezza di ciascun impulso, ottenendone una "misura". Maggiore è il numero di livelli disponibili, maggiore è la precisione con cui si misurano gli impulsi ottenuti, minore la distorsione (detta anche "errore di quantizzazione). Il livello misurato sarà espresso poi da un numero binario K, rappresentato con M bit, ossia 2M = L. Si trasmetteranno poi gli M bit di K per ciascun campione e in ricezione si ricostruirà il segnale di partenza "accostando" gli impulsi costruiti con ampiezza K (conversione D/A digitale - analogico).

Il rapporto segnale/rumore SNR in dB dovuto all'errore di quantizzazione risulta

Ad esempio utilizzando una quantizzazione a 16 bit otteniamo un SNR di 96 dB.

Trasformata di Fourier discretizzata e Filtraggio numerico

A questo punto basta ricordare che il blocco caratterizzato dalla risposta all'impulso h(t) o, corrispondentemente dalla sua TdF H(f), può essere molto spesso chiamato filtro e che il filtraggio in frequenza si ottiene per convoluzione tra segnale di ingresso e blocco h(t). Disponendo di un segnale campionato con campioni xn l'uscita filtrata yn si ottiene per convoluzione discreta , ovviamente predisponendo adeguatamente frequenza di campionamento e capacità di calcolo per ottenere le approssimazioni e i ritardi massimi desiderati in uscita.

Distorsione e rumore

Conclusione della seconda parte

La terza parte tratterà dei segnali in banda base e modulati, oltre a cenni della Teoria dell'informazione, e concluderà la Teoria dei segnali. Le parti successive tratteranno la Trasmissione dei segnali e i Sistemi di comunicazione.

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Commenti e note

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Oh che bel vedere! :)

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