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Indice

1 Abstract
2 Calcolo delle variazioni
- 2.1 Lemma fondamentale del calcolo variazionale
  - 2.1.1 Enunciato
  - 2.1.2 Dimostrazione
- 2.2 Metodo della perturbazione verticale
3 Lagrangiana circuitale
- 3.1 Esempi
- 3.2 Gradi di libertà
4 Il principio di minima azione
- 4.1 Enunciato
- 4.2 Soluzione del problema variazionale
5 Equazione di Eulero-Lagrange
- 5.1 Eulero-Lagrange multi maglia
- 5.2 Potenziale di Rayleigh
6 Un caso concreto
7 Conclusioni ed auspici
8 Riferimenti

Abstract

In questo articolo mi propongo di sviluppare formalmente un processo per la determinazione dell'evoluzione temporale di circuiti dinamici, postulando solamente il Principio di minima azione di Hamilton. L'articolo è destinato a tutti coloro che abbiano buone basi di analisi 1 e 2, fisica ed elettrotecnica. Non è necessaria alcuna conoscenza di calcolo delle variazioni e di meccanica razionale. Anche se tali conoscenze gioverebbero alla lettura.

Calcolo delle variazioni

Di seguito sono presentati alcuni elementi di calcolo delle variazioni, essenziali per la derivazione della teoria dal Principio di minima azione. Questo paragrafo è necessario dal momento che tali argomenti, non vengono trattati in un normale corso di laurea triennale in ingegneria elettrica o elettronica, i cui studenti sono di fatto il target di questo articolo. Chi è già ferrato in questi argomenti può agevolmente saltare oltre.

Lemma fondamentale del calcolo variazionale

Enunciato

Sia $V=\left \{ v \in C^1[a,b] : v(a)=v(b)=0 \right \}$ , l'insieme delle funzioni a derivata continua in [a,b] che si annullano agli estremi. Allora

$\int_{a}^{b} f(x)v(x)\text{d}x=0 \; \; \; \; \; \; \forall v \in V$

implica

$f(x) \equiv 0$

per ogni x in [a,b].

Dimostrazione

Per assurdo, si supponga $f(x) \neq 0$ per qualche $x \in [a,b]$ .

Allora senza perdita di generalità possiamo dire che esiste $x_0 \in [a,b]$ tale che $f (x 0) > 0$ .
Per continuità esisterà un $δ > 0$ tale per cui $f(x) > \frac{1}{2}f(x_0)$ per ogni $x \in [x_0-\delta,x_0+\delta].$ Si consiglia di ragionare sulla figura 1 per prender coscienza di questo fatto.

Ipotizzando $f (x 0) > 0$ non perdiamo la generalità perché se avessimo assunto $f (x 0) < 0$ , sarebbe stato sufficiente invertire i versi delle disuguaglianze ottenendo una dimostrazione del tutto equivalente [6]. Ma a rigor di logica sarebbe da dimostrare anche ciò.

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Ora scegliamo una v(x) con le seguenti caratteristiche:

$v (x) = 1$ per ogni $x \in \left [x_0-\delta/2,x_0+\delta/2 \right ]$
$0 < v (x) < 1$ per ogni $x \in (x_0-\delta,x_0-\delta/2) \cup (x_0+\delta/2,x_0+\delta)$
$v (x) = 0$ altrimenti.
e naturalmente v deve essere in V.

Potete osservare un esempio di grafico di v(x) con queste caratteristiche in figura 1.

Per come abbiamo costruito v(x) è banale l'uguaglianza

$\int_{a}^{b} f(x)v(x)\text{d}x = \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)v(x)\text{d}x$

Un po' meno facile è convincersi della seguente disuguaglianza, ma con l'aiuto della figura 2, che non ha alcuna pretesa di esattezza, non dovrebbe essere complicato accettare la disuguaglianza.

$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)v(x)\text{d}x \geq \int_{x_0-\frac{\delta}{2}}^{x_0+\frac{\delta}{2}} f(x)v(x)\text{d}x=\int_{x_0-\frac{\delta}{2}}^{x_0+\frac{\delta}{2}} f(x)\text{d}x$

Qualche commento d'ausilio per il disegno di $f (x) v (x)$ :

Essendo $0 < v (x) < 1$ in $[x_0-\delta,x_0-\delta/2] \cup [x_0+\delta/2,x_0+\delta]$ , allora $f (x) v (x) < f (x)$ nello stesso insieme.

Mentre $f (x) v (x) = f (x)$ per ogni $x \in \left [x_0-\delta/2,x_0+\delta/2 \right ]$ .

Naturalmente $f (x) v (x)$ è identicamente nulla altrove.

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Per finire abbiamo che l'integrale di sinistra è sicuramente maggiore dell'aria del rettangolo $\frac{1}{2}f(x_0) \delta$ , che è strettamente maggiore di zero.

$\int_{x_0-\frac{\delta}{2}}^{x_0+\frac{\delta}{2}} f(x)\text{d}x \geq \frac{1}{2}f(x_0) \delta > 0$

Collegando le disuguaglianze si ha:

$\int_{a}^{b} f(x)v(x)\text{d}x > 0$ In palese contraddizione con le ipotesi, quindi l'assunto $f(x) \neq 0$ per qualche x, non può che essere sbagliato.
Banalmente $f (x) = 0$ per ogni x nell'intervallo [a,b].

Metodo della perturbazione verticale

Sia $Y \subset C^{2}[a,b]$ .

Sia $F:Y \to \mathbb{R}$ , con minimo in $y_0 \in Y$ .

Allora banalmente

$\frac{\partial F}{\partial y}\bigg |_{y_0} = 0$

Scegliamo $y (x) = y 0 + x v$ , come la retta passante per il punto di minimo di $F (y)$ e direzione $v \in C^1[a,b]$ , dove $x \in [-\delta,\delta]$ con $δ > 0$ .

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allora si avrà

$\frac{\partial F}{\partial x}\bigg |_{x=0}= \frac{\partial F}{\partial y} \; \frac{\partial y}{\partial x}\bigg |_{x=0} = \frac{\partial F}{\partial y} v \bigg|_{y_0} = 0$

essendo $y (0) = y 0$ . In altri termini, affinché $y 0$ sia punto di minimo per $F (y)$ , tutte le derivate direzionali di $F (y)$ devono essere nulle in $y 0$ (Condizione necessaria) [6][4][1] .

Lagrangiana circuitale

Prima di definire la lagrangiana è utile ricordare alcuni risultati di fisica 2, [3].

L'energia immagazzinata nel campo elettrico di un condensatore è

$U_c = \frac{1}{2}C v^2 =\frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$

Dove $q = q (t)$ è la quantità di carica in funzione del tempo.

L'energia immagazzinata immagazzinata nel campo magnetico di un induttore è

$U_L = \frac{1}{2}Li^2 =\frac{1}{2} L \dot q^2$

Nel seguito utilizzerò indiscriminatamente notazione di Newton e Leibniz per indicare le derivare temporali.

Assumiamo l'energia erogata da un generatore di tensione con la convenzione dei generatori essere

$U_e = -v \cdot q$

mentre con la convenzione degli utilizzatori

$U_e = v \cdot q$

Queste ultime due relazioni derivano dalla definizione operativa di differenza di potenziale elettrico.

Ora definiamo la lagrangiana di un circuito come la differenza tra l'energia magnetica (T), immagazzinata negli induttori e l'energia potenziale elettrica (V), immagazzinata nei condensatori ed erogata dai generatori [9].

$\mathcal L \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \ T-V$

Esempi

Prima di procedere esaminiamo alcuni semplici circuiti e scriviamo le lagrangiane associate.

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I primi tre casi sono banali:

$\mathcal L_a = -\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}+vq$

$\mathcal L_b = \frac{1}{2}L \dot q^2-\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$

$\mathcal L_c = \frac{1}{2}L \dot q^2-\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}+vq$

Il circuito d ha due maglie, questo vuol dire che il numero di correnti linearmente indipendenti è 2. In termini meccanici, diremmo che il circuito ha due gradi di libertà. Scegliamo come variabili di stato [5], la carica del condensatore $q c$ e l'integrale della corrente che attraversa l'induttore nell'intervallo di tempo $q L$ .

$\mathcal L_d = \frac{1}{2}L \dot q_L^2-\frac{1}{2}\frac{q_C^2}{C}+v(q_L+q_C)$

Gradi di libertà

Si definisce: numero di gradi di libertà di un circuito, il massimo numero delle correnti linearmente indipendenti.
In termini rigorosi, se $K$ è la matrice che rappresenta le KCL, allora il numero di maglie fondamentali è
$f = rango(K)$ .

Segue un esempio,

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La KCL del circuito in figura 5 è

$\begin{bmatrix}I_1\\ I_2\\ I_3\\ I_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 & 1\\ 1 &-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 &0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_5\\ I_6\\ I_7\\ I_8\end{bmatrix}$

Il rango di K è 3, quindi f=3. Ai fini pratici è utile scegliere un numero di variabili di stato, pari al numero delle finestre [7].

Si osservi che la scelta delle variabili di stato $q 1, q 2,..., q f$ è di per se una codifica della KCL. Come si osserva nell'esempio di figura 4d.

Il principio di minima azione

Il principio di minima azione di Hamilton, che riveste il ruolo di unico assioma della nostra teoria analitica dei circuiti, verrà formulato in un linguaggio famigliare all'ambiente elettrotecnico. Tuttavia esso è un principio molto più generale, in altra sede si possono trovare formulazioni generalizzate del principio, o più comunemente nell'ambito della meccanica [1][2][11].

Enunciato

L'evoluzione temporale di un circuito dinamico non dissipativo a singola maglia, è un punto di minimo del funzionale azione $\mathcal{S}$ , per piccole variazioni della carica q(t).

$\mathcal{S}[q] \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\ \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(q(t),\dot{q}(t),t)\, \operatorname dt$

dove $\mathcal L(q,\dot{q},t)$ denota la lagrangiana circuitale, presentata nel paragrafo precedente.

Soluzione del problema variazionale

Perturbiamo verticalmente la quantità di carica in funzione del tempo, attorno al punto stazionario dell'azione $q 0 (t)$ .

$q (t,α) = q 0 (t) + α v (t) = q (t,0) + α v (t)$

dove v è a deriva prima continua ed è nulla agli estremi $v (t 1) = v (t 2) = 0$ .

$\mathcal{S}[q(t,\alpha)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(q(t,\alpha),\dot{q}(t,\alpha),t)\, \operatorname dt$

Calcoliamone la derivata prima alla ricerca dei punti stazionari.

$\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial \alpha} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \frac{\partial \dot q}{\partial \alpha}\operatorname dt=\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} v(t) + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \dot v(t)\operatorname dt$

Integrando per parti il secondo termine

$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \dot v(t)\operatorname dt = v(t) \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \bigg|_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}v(t)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} dt = -\int_{t_1}^{t_2}v(t)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} dt$

Essendo $v (t 1) = v (t 2) = 0$ . Sostituendo questo risultato nella precedente

$\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) v(t) dt$

Per per i fatti discussi in Metodo della perturbazione verticale

$\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \alpha} \bigg|_{\alpha =0} = 0 \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; \int_{t_1}^{t_2} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) v(t) dt = 0$

E per il Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}=0$

Che prende il nome di equazione di Eulero-Lagrange del secondo tipo in forma differenziale [6][1][2]. In altri termini, si è dimostrato che affinché una certa quantità carica $q 0 (t)$ minimizzi l'azione allora essa deve rispettare l'equazione di Eulero-Lagrange.

Equazione di Eulero-Lagrange

Per famigliarizzare con il risultato ottenuto, si applichi l'equazione di Eulero-Lagrange ai circuiti a,b e c, di figura 4 di cui già si conoscono le lagrangiane circuitali.

La carica che minimizza l'azione del circuito a deve soddisfare l'equazione di Eulero-Lagrange. Calcolando

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L_a}{\partial \dot q}-\frac{\partial \mathcal L_a}{\partial q} = 0 + \frac{q}{C}-v = 0$

da cui si ottiene

$q(t)=C \cdot v(t)$

che è la ben nota relazione caratteristica del condensatore. Notare che il termine $\frac{\partial \mathcal L_a}{\partial q}$ rappresenta la differenza di potenziale ai capi del condensatore.

Per il circuito b

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L_b}{\partial \dot q}-\frac{\partial \mathcal L_b}{\partial q} = L \ddot q +\frac{q}{C}=0$

ossia l'equazione dell'oscillatore armonico non smorzato.
Si noti che il termine $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}$ dell'equazione di Eulero-Lagrange rappresenta la differenza di potenziale autoindotta ai capi dell'induttore.

Per finire, calcolando la carica che minimizza l'azione di $\mathcal L_c$ si ha

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L_c}{\partial \dot q}-\frac{\partial \mathcal L_c}{\partial q} = L \ddot q +\frac{q}{C}-v=0$

la classica equazione del moto armonico forzato, non smorzato.
Da quest'ultimo esempio si osserva che in un circuito mono maglia, il minimo dell'azione si ha per quella q(t) che rispetta la KVL alla maglia.

Eulero-Lagrange multi maglia

Si vuole ora generalizzare l'equazione di Eulero-Lagrange a circuiti multi maglia, dagli esempi precedenti si deduce che l'equazione codifica la KVL alla maglia. Inoltre si è già constatato che la KCL è codificata nella scelta delle variabili di stato, $q 1, q 2,..., q f$ .
Risultato della teoria dei grafi [7] è che un circuito con $f$ maglie fondamentali ha $f$ equazioni alle tensioni linearmente indipendenti. Quindi se il circuito ha f maglie fondamentali (gradi di libertà) allora dovremmo risolvere un sistema di $f$ equazioni che soddisfano l'equazione di Eulero-Lagrange.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} =0 \; \; \; \; \; \; i = 1, 2, ..., f$

Questo risultato è di fatto direttamente derivabile dal principio di minima azione [1][2], assumendo la lagrangiana come funzione di $\mathbf q = [q_1, q_2, ..., q_f]$ .

Ora si hanno tutti gli elementi per calcolare le equazioni che modella il circuito figura 4d. Nota la lagrangiana circuitale, determinare l'equazione differenziale è un processo piuttosto meccanico.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L_d}{\partial \dot q_L}-\frac{\partial \mathcal L_d}{\partial q_L} =L \ddot q_L-v=0$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L_d}{\partial \dot q_c}-\frac{\partial \mathcal L_d}{\partial q_c} =0+\frac{q_c}{C}-v=0$

Da cui si ottengono le due equazioni

$v=\frac{q_c}{C}$

$v=L \ddot q_L$

Potenziale di Rayleigh

Volendo includere nella formulazione analitica della teoria dei circuiti, le cadute di tensione dovute ad elementi resistivi, si incontrano non pochi problemi. La lagrangiana di un circuito dinamico è una misura del bilancio tra energia magnetica ed energia elettrica. Ovviamente gli elementi resistivi non possono rientrare in questo bilancio, essendo causa di fenomeni irreversibili (dissipazione termica).

Si consideri la seguente generalizzazione dell'equazione di Eulero-Lagrange:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} +\frac{\partial \mathcal R}{\partial \dot q} =0$

Dove $\mathcal R$ è una funzione della variabile $\dot q$ detta, potenziale di Rayleigh.

Derivare questa generalizzazione dal principio di minima azione è un po macchinoso. Tuttavia è possibile [10]. Invece considerando la tensione che si instaura tra i capi di una resistenza attraversata da corrente, come una tensione esterna, si può introdurre in maniera piuttosto naturale il termine dissipativo [1].

Il potenziale di Rayleigh [1] ha la seguente forma

$\mathcal R = \frac{1}{2}R \dot q ^2$

Si consideri il semplice circuito

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Allora

$\mathcal L = v(q_1+q_2)$

$\mathcal R = \frac{1}{2}R_1 \dot q_1 ^2+\frac{1}{2}R_2 \dot q_2 ^2$

Da cui si ricavano le equazioni

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_1}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_1} +\frac{\partial \mathcal R}{\partial \dot q_1} = -v+R_1 \dot q_1=0$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_2}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_2} +\frac{\partial \mathcal R}{\partial \dot q_2} = -v+R_2 \dot q_2=0$

Ossia la legge di Ohm per le due resistenze.

Un caso concreto

Si consideri il circuito dinamico in figura 7

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Il circuito ha due maglie fondamentali, è necessario scegliere due variabili di stato. Una possibile scelta di variabili è $\mathbf q = [q_L q_c].$

La lagrangiana circuitale è

$\mathcal L = \frac{1}{2}Lq_L^2-\frac{1}{2}\frac{q_c^2}{C}+v(q_L+q_c)$

Mentre il potenziale di Rayleigh è

$\mathcal R = \frac{1}{2}R_1(\dot q_L+ \dot q_c)^2+\frac{1}{2}R_2 \dot q_c^2$

Da cui si ricavano le equazioni che minimizzano l'azione

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_L}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_L} +\frac{\partial \mathcal R}{\partial \dot q_L} = L \ddot q_L-v+R_1 (\dot q_L+\dot q_c)=0$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_c}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_c} +\frac{\partial \mathcal R}{\partial \dot q_c} = \frac{q_c}{C}-v+R_1(\dot q_L+\dot q_c) + R_2 \dot q_c=0$

Conclusioni ed auspici

Come si è visto, l'equazione di Eulero-Lagrange è un potente strumento per la modellazione di circuiti dinamici. Essa è del tutto equivalente alle leggi di Kirchhoff. La KCL è equivalente alla scelta delle variabili di stato, mentre l'equazione di per se, codifica la KVL.
Questo riduce il problema elettrotecnico all'identificazione delle variabili di stato e la scrittura della funzione di Lagrange ed il potenziale di Rayleigh, che sono funzioni scalari. Il resto è semplice automatismo matematico facilmente implementabile in un qualsiasi CAS come Maxima o Mathematica.
Un'idea per un futuro articolo può essere: la sistematizzazione nella scelta delle variabili di stato, per mezzo del metodo delle correnti di maglia. Un tale algoritmo renderebbe piuttosto semplice l'implementazione di un modellatore di circuiti automatico, che dall'immagine del circuito, identifichi le finestre ed i componenti, per poi ottenere la lagrangiana circuitale e la funzione dissipativa.

Riferimenti

Classical Mechanics : Herbert Goldstein, Charles P. Poole & John Safko
Mechanics : L.D. Landau & E.M. Lifshitz
Fundamentals of Electric Circuits : Charles Alexander & Matthew Sadiku
Mathematical Analysis I : Vladimir A. Zorich
Analisi dei Sistemi Dinamici : Alessandro Giua & Carla Seatzu
Elementi di Calcolo delle Variazioni : Massimo Gobbino
Teoria dei grafi : Alessandra Fanni
Analytical Mechanics : Grzegorz Bąk
Lagrangian description of electric circuits : Yasser Kadhim
Is it possible to formulate least action principle for dissipative systems? : Qiuping A. Wang & Ru Wang
Why the Principle of Least Action? : Jonathan Gleason, Mark Eichenlaub, ...

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